直线和圆锥曲线的位置关系.docx

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直线和圆锥曲线的位置关系

聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系

　　直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。

　　具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。

与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。

　　纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：

1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：

一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。

2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。

3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。

灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。

热点透析

题型1：

直线与圆锥曲线的交点个数问题

例1已知双曲线C:

2x2－y2=2与点P（1，2）

（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在.

解:

（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k（x－1）,代入C的方程，并整理得

　（2－k2）x2+2（k2－2k）x－k2+4k－6=0.（*）

（ⅰ）当2－k2=0,即k=±

时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点

（ⅱ）当2－k2≠0,即k≠±

时

　Δ=［2（k2－2k）］2－4（2－k2）（－k2+4k－6）=16（3－2k）

①当Δ=0,即3－2k=0,k=

时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点.

②当Δ＞0,即k＜

又k≠±

　故当k＜－

或－

＜k＜

或

＜k＜

时，方程（*）有两不等实根，l与C有两个交点.

③当Δ＜0，即k＞

时，方程（*）无解，l与C无交点.

　综上知:

当k=±

或k=

，或k不存在时，l与C只有一个交点；

　当

＜k＜

或－

＜k＜

或k＜－

时，l与C有两个交点；

　当k＞

时，l与C没有交点.

（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1,y1）,B（x2,y2），

　则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:

2（x1－x2）（x1+x2）=（y1－y2）（y1+y2）

　又∵x1+x2=2,y1+y2=2　∴2（x1－x2）=y1－y1　　即kAB=

　但渐近线斜率为±

结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

[分析]第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”.

易错点提醒:

第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.

技巧与方法:

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.

热身训练1直线

与双曲线

的右支交于不同的两点A、B。

（1）求实数k的取值范围。

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

【解】

（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程

后，整理得

。

①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故

　解得k的取值范围为

（2）设A、B两点的坐标分别为

、

，则由①式得

　②

　假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点

，

　则由

得：

，即

。

　整理得

。

　　③

　把②式及

代入③式，化简得

。

　解得

或

（舍去）。

　∴存在

使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。

题型2：

有关弦长问题

【例2】如图所示，已知椭圆

与抛物线

有公共焦点

，M是它们的一个交点，若

，且

。

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）是否存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出l

的方程；若不存在，说明理由。

【解】

（1）

的焦点

，

　准线

：

，∴p=2c。

设

，

　由

，得

，

　由

，得

，

　∵

，

　∴

，∴c=2。

∴

，代入

，解得

，

　∴椭圆方程为

，抛物线方程为

。

（2）设直线l的方程为

，与

联立，得

。

　将l的方程与椭圆方程联立，得：

　∴

　由

。

　∴存在直线l，其方程为：

或

。

题型3：

与中点弦有关的问题

【例3】已知双曲线方程

。

（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB的方程。

（2）是否存在直线l，使

为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

【解】本题涉及弦的中点问题，可以选用差分法解决。

（1）设

，则

，

　则有

　　　①

　　　　②

　①-②得

。

　∵

，∴

。

　若

，由

知

，则点A、B均不在双曲线上，与题设矛盾，

　∴

。

∴

。

　∴直线AB的方程为

，即x-2y+1=0。

　∵双曲线的一条渐近线方程为

，而

，

　∴直线x-2y+1=0与双曲线交于两点，∴x-2y+1=0为所求。

（2）假设过N的直线l交双曲线于

，则有

，

。

　两式相减，得

。

　依题意，

，　∴

。

　∵双曲线的一条渐近线方程为

，而

，

　∴直线l与双曲线没有公共点，

　∴以

为弦中点的直线不存在。

题型4：

对称问题

【例4】在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为

的直角顶点，已知

，且点B的纵坐标大于零。

（1）求向量

的坐标；

（2）求圆

关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a，使抛物线

上总有关于直线OB对称的两个点若不存在，理由；若存在，求a的取值范围。

【说明】这是一个非常好的、综合性强的题目要认真研究。

【解】

（1）设

，则由

，

　得

，　解得

，　或

　∵

，∴

，得

。

　故

。

（2）由

，得B（10，5），于是直线OB的方程为：

。

　由题设可知，圆的标准方程为：

。

　得圆心（3，-1），半径为

。

　设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y），则

，　得

。

　故所求圆的方程为

。

（3）设

为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

，　得

，

　即

为方程

的两个相异实根。

　于是由

，得

。

　故当

时，抛物线

上总有关于直线OB对称的两点。

【评析】对称性问题是高考的热点，一般包括点对称与直线对称，要重视此类问题的常规解法，如本题主要考查两个方面：

一是中点在对称轴上；二是利用垂直关系，通过联立方程组求解。

一般情况下，对称问题都可以转化为点的对称来加以解决。

热身训练1若抛物线

上总存在关于直线

对称的两点，求

的范围.

解法一:

（对称曲线相交法）

　曲线

关于直线

对称的曲线方程为

　如果抛物线

上总存在关于直线

对称的两点，则两曲线

与

必有不在直线

上的两个不同的交点（如图所示），从而可由:

∵　

　∴

代入

得　

有两个不同的解，

∴　

解法二:

（对称点法）

设抛物线

上存在异于于直线

的交点的点

，

且

关于直线

的对称点

也在抛物线

上.则

　必有两组解.

（1）-

（2）得:

必有两个不同解.

　∵

，

有解.

　从而有

有两个不等的实数解.

　即:

有两个不等的实数解.

　∴

.　∵

，

解法三:

（点差法）

设抛物线

上以

为端点的弦关于直线

对称，且以

为中点是抛物线

（即

）内的点.从而有　

　由

（1）-

（2）得:

　∴　

　由

　从而有　

热身训练2试确定

的取值范围，使得椭圆

上有不同两点关于直线

对称.

解:

设椭圆

上以

为端点的弦关于直线

对称，且以

为中点是椭圆

内的点.

　从而有　

　由

（1）-

（2）得:

　∴　

　由

在直线

上

　从而有　

热身训练3　已知直线

过定点A（4,0）且与抛物线

交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求

的值.

解:

可设直线

的方程为

代入

　得　

.设

，

　则　

　由题意知，OP⊥OQ，则

　即　

∴

　此时，抛物线的方程为

题型5：

圆锥曲线中几何量的范围问题

【例5】已知常数a>0，向量m=（0，a），n=（1，0），经过定点A（0，-a）以m+λn为方向向量的直线与经过定点B（0，a），以n+2λm为方向向量的直线相交于点P，其中

。

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）若

，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求

的取值范围。

【解】

（1）设P点的坐标为（x，y），则

，

，又n

，m

，故m

，n

。

由题知向量

与向量m

n平行，故

。

又向量

与向量n

m平行，故

。

两方程联立消去参数

，得点P（x，y）的轨迹方程是

，即

。

（2）∵

，故点P的轨迹方程为

，此时点E（0，1）为双曲线的焦点。

①若直线l的斜率不存在，其方程为x=0，l与双曲线交于

，

　此时

。

②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，代入

　化简得

。

　直线l与双曲线交于两点，

　∴

且

，即

。

　设两交点为

，

　则

。

　此时

。

　当-1

，故

，

　当k>1或k<-1时，

，故

。

　综上所述，

的取值范围是

。

热身训练1如图，已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1,y1）,C（x2,y2）满足条件:

|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.

（1）求该椭圆的方程；

（2）求弦AC中点的横坐标；

（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

命题意图:

本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强.

知识依托:

椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.

错解分析:

第三问在表达出“k=

y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.技巧与方法:

第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义（即焦半径公式）求解,第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围

解:

（1）由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,

　所以b=

=3.故椭圆方程为

=1.

（2）由点B（4,yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=

　因为椭圆右准线方程为x=

离心率为

，根据椭圆定义，有|F2A|=

（

－x1）,|F2C|=

（

－x2），

　由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得　

（

－x1）+

（

－x2）=2×

由此得出:

x1+x2=8.

　设弦AC的中点为P（x0,y0）,则x0=

=4.

（3）解法一:

由A（x1,y1）,C（x2,y2）在椭圆上.

　得

①－②得9（x12－x22）+25（y12－y22）=0,

　即9×

=0（x1≠x2）

　将

,（k≠0）

　代入上式，得9×4+25y0（－

）=0:

（k≠0）

　即k=

y0　（当k=0时也成立）.

　由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,

　所以m=y0－4k=y0－

y0=－

y0.

　由点P（4，y0）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，

　得－

＜y0＜

所以－

＜m＜

解法二:

因为弦AC的中点为P（4,y0），所以直线AC的方程为

　y－y0=－

（x－4）（k≠0）　 ③

　将③代入椭圆方程

=1,得　（9k2+25）x2－50（ky0+4）x+25（ky0+4）2－25×9k2=0

　所以x1+x2=

=8, 解得k=

y0.（当k=0时也成立）

　（以下同解法一）.