数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲.docx

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数理与信息科学学院数学与应用数学专业课程教学大纲

数学系信息与计算科学专业课程教学大纲

1.数学分析Ⅰ教学大纲……………………………………………………………………………1

2.几何学教学大纲…………………………………………………………………………………7

3.数学分析Ⅱ教学大纲…………………………………………………………………………10

4.高等代数I教学大纲…………………………………………………………………………15

5.普通物理I教学大纲……………………………………………………………………………20

6.数学分析Ⅲ教学大纲……………………………………………………………………………23

数学分析Ⅰ教学大纲

一、说明

（一）课程性质

《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深入理解中学教学内容的基础．在第1学期开设．

（二）教学目的

通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、变实函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练．

（三）教学内容

集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数系的连续性．

（四）教学时数及学分

102学时．学分：

5分

二、本文

一实数集与函数（10学时）

[教学要点]

集合、映射与函数的概念，一元函数的定义表示及初等函数的定义，函数的简单特性．非空数集上（下）确界的概念．

[教学内容]

1实数

实数及其性质；绝对值与不等式．

2数集与确界原理

集合的概念、运算、Descartes乘积集合．区间、邻域、数集的上（下）界与最大（小）值的概念．上确界与下确界、确界存在原理．

3映射与函数

映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函数．

4具有某些特性的函数

函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性．

二数列极限（16学时）

[教学要点]

本段为整个课程的基础，数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型．运用单调有界原理和Cauchy收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用．

[教学内容]

1数列极限概念

数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限．

2收敛数列的性质

收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性，无穷小量以及无穷小量的基本性质，数列极限的四则运算，迫敛性．无穷大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系，待定型．子列、收敛子列定理．

3数列极限存在的条件

单调数列、单调有界定理．基本列、Cauchy收敛准则．

三函数极限（16学时）

[教学要点]

函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Heine归结原则、Cauchy收敛准则．两个重要极限，无穷小量与无穷大量及其阶的比较．

[教学内容]

1函数极限概念

趋于无穷大时函数的极限，

趋于某一定数时函数的极限，单侧极限．

2函数极限的性质

函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算．无穷小量、无穷大量的定义及其无穷大量与无穷小量的关系．函数极限定义的推广．复合函数的极限．

3函数极限存在的条件

Heine归结原则．单侧极限存在定理，Cauchy收敛准则．

4两个重要极限

两个重要极限的推导及其应用．

5无穷小量与无穷大量的阶

无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量，无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量，等价量、等价量的代换．

四函数的连续性（14学时）

[教学要点]

连续函数的定义、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质、一致连续的概念．

[教学内容]

1连续性概念

连续函数的定义、单侧连续，间断点的类型，区间上的连续函数．

2连续函数的性质

连续函数的四则运算，连续函数的局部性质，反函数连续性定理、复合函数的连续性．闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、根的存在定理、一致连续性及闭区间上连续函数的一致连续性的Cantor定理．

3初等函数的连续性

指数函数的连续性，基本初等函数的连续性，初等函数的连续性．

五导数与微分（14学时）

[教学要点]

导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，微分的定义、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则，Leibniz公式．

[教学内容]

1导数概念

导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数，可导与连续的关系．用定义求导数．

2求导法则

求导的四则运算、反函数求导法则，复合函数求导法则——链式法则．基本求导公式，基本初等函数的导数．双曲函数的导数．

3微分

微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计．

4高阶导数和高阶微分

高阶导数的定义、运算、Leibniz公式、高阶微分的概念．

5参量方程所确定的函数的导数

六微分中值定理与不定式极限（20学时）

[教学要点]

微分中值定理、Taylor公式及其应用，L`Hospital法则并应用极限计算．用导数判断函数单调性、极值、最大值和最小值的方法，函数凸性和拐点的定义、函数的凸性条件推导和证明、函数的凹凸性和拐点的判定，应用函数的单调性和凸性证明不等式，函数的渐近线、函数作图．

[教学内容]

1微分中值定理

极值、Fermat引理、Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理．函数的单调性与单调区间、运用不等式原理证明不等式．

2L`Hospital法则

待定型极限、L`Hospital法则、

型、

型、

型、

型、

型、

型、

型的极限．

3Taylor公式

Taylor中值定理、Taylor公式及其Peano型余项、Lagrange型余项、Cauchy型余项．Maclaurin公式，Taylor公式的应用、近似计算、求极限．

3函数的极值

函数极值、最大值和最小值，最值问题．

4函数的凸性和拐点

函数凸性和拐点的概念，函数凸性和拐点存在的各种条件，Jessen不等式、运用函数的凹凸性证明不等式．

5函数图像的讨论

函数的渐进线，运用函数的各种几何性态描述函数的图像．

七极限与连续性（续）（12学时）

[教学要点]

在第二、三、四部分我们讨论了极限存在的各种条件，本部分是在上述讨论的基础上通过讨论实数系的连续性继续详细讨论极限存在的各种条件及其内在联系，本段的内容主要包括Cantor闭区间套定理、聚点、Bolzano-Weierstrass聚点定理、Heine—Borel有限覆盖定理的证明和应用，及其运用上述定理证明闭区间上连续函数的性质．

[教学内容]

1实数完备性的基本定理

Cantor闭区间套定理及其‘闭区间套技术’、Cauchy收敛准则、Weierstrass聚点定理、致密性定理、Heine—Borel有限覆盖定理及其‘有限覆盖技术’，实数完备性的基本定理的等价性的讨论与推导．

2闭区间上连续函数性质的证明

运用上节定理证明闭区间上连续函数的性质—有界性、最大值和最小值、介值性与根的存在定理、一致连续的Cantor定理．

三、参考书目

1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京：

高等教育出版社，1996．

2、陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．北京：

高等教育出版社，2002．

3、陈纪修，於崇华，金路著．数学分析（第-一版）．北京：

高等教育出版社，2002．

4、

菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京：

人民教育出版社，1957．

5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京：

人民教育出版社，1958．

数学系信息与计算科学专业课程教学大纲

几何学教学大纲

一、说明

（一）课程性质

《几何学》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．既是学习后继课程的基础，又对中学教学有着指导作用．

（二）教学目的

通过《空间解析几何》部分的学习，使学生初步掌握解析几何的基本思想、基本理论和研究方法，积累必要的数学知识，培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理和演算能力，提高学生利用解析几何知识分析问题和解决问题的能力.通过《射影几何学》部分的学习，使学生初步了解近代几何的公理化方法和体系，较深入地理解中学几何的逻辑结构，特别是解析几何的理论与方法，从而获得在比较高的观点上来处理中学几何问题的能力.另外，通过本课程的学习，为学习相关专业课程及以后实际应用提供必要的基础．

（三）教学内容

在《空间解析几何》部分的学习矢量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论.《射影几何学》部分的学习仿射几何学的基本概念，欧氏平面的拓广，一维射影几何学.

（四）教学时数及学分

78学时，学分：

4分.

二、本文

第一部分　空间解析几何（78学时）

一向量与坐标（22学时）

[教学要点]

向量及其线性运算；向量的内积、外积与混合积；  向量的坐标；向量代数在初等几何中的应用．

[教学内容]

1、向量、向量的模、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、自由向量、共线向量与共面向量的概念，掌握向量的表示方法；

2、向量线性相关与线性无关的概念及相关结论；

3、向量的基本运算，运用向量法证明较简单的几何问题，运用向量的基本知识解决关于共线、共面、定比分点等问题；能解决关于长度、夹角、面积、体积等度量问题；

4、坐标进行向量的相关运算及一些简单问题的证明.

二轨迹与方程（10学时）

[教学要点]

平面的方程、点到平面的距离；平面间的相关位置；  直线的方程、点到直线的距离；  直线、平面之间的相关位置关系；平面束．

[教学内容]

1、平面曲线、曲面、空间曲线的方程的定义，轨迹与其方程之间的关系；

2、在直角坐标系下建立曲线或曲面方程的基本方法；

3、曲线、曲面普通方程和参数方程的相互转化.

三平面与空间直线（16学时）

[教学要点]

平面和空间中曲线的概念；平面和空间直线方程的各种表示形式及其相关位置；平面和空间曲线的方程及其各种方程之间的转换，应用．

[教学内容]

1、平面和空间直线方程的各种表示形式；

2、建立平面和空间直线的方程的方法；

3、根据已知条件判断平面与平面、平面与空间直线、空间直线与空间直线之间的相关位置；

4、平面的一般方程与法式方程、空间直线的一般方程与标准方程的互化方法；

5、求两异面直线的距离与公垂线方程的计算方法.

四柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（14学时）

[教学要点]

空间中曲面的概念；球面、柱面、锥面；旋转曲面；二次曲面；直纹面．

[教学要点]

1、柱面、锥面、旋转曲面的定义及特征，了解直纹曲面的概念，了解椭球面、双曲面、抛物面的标准方程及图形特征；

2、求柱面、锥面及旋转曲面的方程，坐标面内的曲线绕该面内的一条坐标轴旋转时所得旋转曲面的方程的求解方法.

3、求单叶双曲面与双曲抛物面的直母线.

五二次曲线的一般理论（16学时）

[教学要点]

欧氏平面上的坐标变换；坐标变换下二次方程系数的变化； 二次曲线方程的化简与二次曲线的分类；

二次曲线的不变量．

[教学要点]

1、二次曲线及其相关定义，了解平面直角坐标变换公式；

2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、主方向与主直径；

3、能够将二次曲线的一般方程化为标准方程.

三、参考教材

1、吕林根、许子道编《解析几何》（第四版）．北京：

高等教育出版社，2005

2、朱德祥编《高等几何》．北京：

高等教育出版社，2004

3、梅向明编《高等几何》（第二版）．北京：

高等教育出版社，2004

数学系信息与计算科学专业课程教学大纲

数学分析Ⅱ教学大纲

一、说明

（一）课程性质

《数学分析（Ⅱ）》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．研究的主要内容是如何求解不定积分和定积分，如何理解和讨论级数和反常积分的敛散性，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础．在第2学期开设．

（二）教学目的

掌握不定积分的概念、计算方法，掌握定积分的概念、可积条件、计算方法及几何意义、定积分的几何应用和物理应用；反常积分和级数的概念和敛散性的基本判别方法及幂级数的基本知识；初步培养具有用定积分解决实际问题的能力和敛散性的思想，为分析数学及其后继课程的学习打好必要的基础知识．

（三）教学内容

不定积分，详细讨论定积分和非正常积分的基本理论及其定积分的应用；讨论数项级数和函数项级数的基本理论，幂级数、Fourier级数的基本知识．

（四）教学时数及学分

108学时，学分：

6分．

二、本文

九不定积分（16学时）

[教学要点]

不定积分的概念、性质和换元积分法、分部积分法，不定积分的基本公式，有理函数积分的计算，区分三角函数、无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型．

[教学内容]

1、不定积分的概念和基本公式

原函数、不定积分的定义、不定积分的线性性质、不定积分的基本公式．

2、换元积分法和分部积分法

换元积分法——凑微法、代入法，分部积分法、基本积分表．

3、有理函数的不定积分及其应用

有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情形．积分表的使用．

十定积分（28学时）

[教学要点]

定积分的概念，定积分的思想，可积的判断方法，微积分基本定理和定积分的计算，定积分的近似计算．非正常积分的概念和计算及敛散性判别法．

[教学内容]

1、定积分的概念

定积分的引入和概念，定积分的几何意义、利用极限计算定积分

2、可积条件

可积的必要条件、Darboux和的基本概念，Riemann可积的充要条件和可积函数类．

3、积分的基本性质

定积分的基本性质：

线性性质、乘积可积和商可积、区间可加性，非负性、保序性、绝对值不等式，估值不等式和积分第一中值定理等．积分上、下限函数．介绍积分第二中值定理．

4、微积分基本定理、定积分的计算

微积分基本定理，Newton—Leibniz公式，定积分的换元积分法和分部积分法，周期函数、奇偶函数的定积分．一些特殊的定积分．Taylor公式的积分型余项．应用定积分求极限．

5、非正常积分

非正常积分的引入，无穷限非正常积分和瑕积分敛散性概念，非正常积分的计算．绝对收敛和条件收敛的概念，非正常积分的Cauchy收敛原理，非负函数非正常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数非正常积分的Abel，Dirichlet判别法．

十一定积分的应用（8学时）

[教学要点]

定积分在几何和物理方面的应用．

[教学内容]

1、平面图形的面积

求直角坐标系、参量方程下、极坐标下平面图形的面积

2、由截面面积求立体体积

几何体的体积和旋转体的体积．

3、曲线的弧长与曲率

求直角坐标系、参量方程下、极坐标下平面曲线的弧长，介绍曲线的曲率．

4、旋转曲面的面积

微元法，旋转曲面的面积简单的计算．

5、定积分在物理学上的某些应用

质量、质心、转动惯量、功、水压力、引力、平均值和均方根．

6、定积分的近似计算

矩形法、梯形法、抛物线法近似计算定积分

十二数项级数（20学时）

[教学要点]

数项级数及敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法．

[教学内容]

1、数项级数的收敛性

数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，级数收敛的Cauchy收敛准则，一些简单的级数求和．

2、正项级数

正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法．和运用上述判别法判别数项级数的敛散性．

3、一般项级数

交错级数及其Leibniz级数判别法，条件收敛和绝对收敛概念，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质（更序级数等），Abel变换、Abel、Dirichlet判别法，级数的乘法．

十三函数列与函数项级数（16学时）

[教学要点]

函数列和函数项级数一致收敛的概念和其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性

[教学内容]

1、一致收敛性

函数列一致收敛的概念及其判别法，函数项级数点态收敛、收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛．函数项级数的Cauchy收敛原理，上确界判别法、Weierstrass判别法，Abel、Dirichet判别法．

2、一致收敛函数列与函数项级数的性质

一致收敛的函数列与函数项级数的连续性、可积性和可导性．

十四幂级数（12学时）

[教学要点]

幂级数概念、幂级数的敛散性及其判定，幂级数的性质，幂级数的运算．Taylor级数、初等函数的幂级数展开，应用幂级数的展开式做近似计算．Euler公式．

[教学内容]

1、幂级数

幂级数概念，Abel定理，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判别法求幂级数的收敛半径、收敛域，幂级数的四则运算，幂级数的连续性、可导性和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和．

2、函数的幂级数展开

Taylor级数的概念，函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开．应用幂级数的展开式做近似计算．Euler公式．

十五Fourier级数（8学时）

[教学要点]

函数的Fourier级数展开．Fourier级数的分析性质；Fourier级数收敛性的证明．

[教学内容]

1、函数的Fourier级数

Fourier级数历史背景及与Taylor展开的比较；周期为2

的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数．

2、以

为周期的函数的展开式

以

为周期的函数的Fourier级数，偶函数和奇函数的Fourier级数．

3、Fourier级数收敛定理的证明

Parseval不等式及其应用．了解Fourier级数收敛定理的证明

三、教材及参考书

1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京：

高等教育出版社，1996．

2、陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．北京：

高等教育出版社，2002．

3、陈纪修，於崇华，金路著．数学分析（第-一版）．北京：

高等教育出版社，2002．

4、

菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京：

人民教育出版社，1957．

5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京：

人民教育出版社，1958．

数学系信息与计算科学专业课程教学大纲

高等代数I教学大纲

一、说明

（一）课程性质

《高等代数Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．也是理科各学科的一门重要基础课．它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域．高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论．其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用．目前在师范院校，除了文学专业和外语专业外，大部分专业都开设了线性代数课程，值得一提的是，在体育专业和政治专业也开设了线性代数课程，而且大家一致认为十分必要．

（二）教学目的

通过高等代数的学习，使学生掌握其基本理论和方法，主要是从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，这和中学代数思想方法有着很大的不同．掌握了高等代数的基本知识和思想方法，必然会提高学生分析问题和解决问题的能力，对数学专业后继课程的学习至关重要，教师必须清楚地认识到这一点，教学目的不能偏离这个方向．

（三）教学内容

高等代数I的主要内容有：

多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组．

（四）教学时数及学分

90学时，学分：

5分．

二、本文

一基本概念（14学时）

[教学要点]

集合；映射、单射、满射、双射；数学归纳法；整数的整除性质、素数、合数；最小数原理；数环、数域．

[教学内容]

1．集合

主要讲授集合的概念、集合的关系、集合的运算．

2．映射

主要讲授映射概念的形成，结合中学函数概念，加以引深和推广，在映射的基础上讲授单射、满射、双射的概念及基本性质，本节的重点是讲授逆映射．

3．数学归纳法

主要介绍数学归纳法原理，它的理论基础是最小数原理．其中分别介绍第一数学归纳法和第二数学归纳法．

4．整数的整除性质

主要介绍整除的定义，其次是介绍带余除法、素数、合数、最大公因数等概念及性质．

5．数环与数域

主要介绍数环、数域这两个基本概念及二者之间的关系．

二多项式（34学时）

[教学要点]

一元多项式的定义及运算、多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、重因式、多项式的根、C上和R上的多项式、多元多项式、对称多项式．

[教学内容]

1．一元多项式的定义及运算

介绍一元多项式的定义，重点讲解多项式的形式表达式．规定多项式的加法、减法与乘法运算的法则及性质，给出多项式次数的定义，介绍零次多项式与零多项式．

2．多项式的整除性

介绍多项式整除的概念，重点讲解带余除法定理，它是多项式理论的核心内容．

3．最大公因式

介绍最大公因式的概念、性质和辗转相除法，另外介绍多项式互素的概念、性质和判断互素的充分必要条件．

4．多项式的分解

介绍多项式因式分解的思想，重点强调一个多项式能分解到什么程度与它的系数所在的数域有着密切的关系．

5．重因式

介绍多项式重因式及多项式导数的概念，给出利用多项式导数判定多项式有无重因式的充分必要条件．

6．多项式函数多项式的根

介绍从函数的观点看待多项式的思想，给出多项式根的定义和性质．

7．复数域和实数域上的多项式

介绍代数学基本定理（不给出证明）及其推论，指出复系数多项式只有一次因式是不可约的，而实系数多项式只有一次的和某些二次的是不可约的．

8．有理系数多项式

指出有理系数多项式在有理数域的可约性问题可以转化为整系数多项式在整数环上可约性．给出判定整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦因方法及有理系数多项式有理根的求法．

9．多元多项式

介绍多元多项式的概念及运算，给出项的字典排序方法．

10．对称多项式的概念及运算，给出项的字典排序方法．

介绍对称多项式的概念，给出任一个对称多项式都可表成初等对称多项式的方法．

三行列式（14学时）

[教学要点]

线性方程组、排列、n阶行列式、子式和代数余子式、Cramer规则．

[教学内容]

1．线性方程组与行列式

介绍2×2线性方程组与二阶行列式的关系，3×3线性方程组与三阶行列式的关系，由此提出一个问题，n×n线性方程组与n阶行列式是什么关系．

2．排列

介绍排列概念及基本性质，其中包括偶排列、奇排列、反序数．讲授一个主要结论：

n元排列中奇排列、偶排列各占一半．

3．n阶行列式

介绍n阶行列式的定义、性质．指出按定义计算一个n阶行列式是很困难的，要计算出一个n阶行列式必须掌握它的7个性质．

4．子式和代数余子式）

介绍子式和代数余子式的定义，使学生掌握另一种计算n阶行列式的方法，即按行按列展开的计算方法，