江苏高考数学试题与答案.docx
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江苏高考数学试题与答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷
3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．如果函数
2
yaxbxa的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域
（不包含边界）为（）
bbbb
OOOO
aaaa
A．B．C．D．
2．抛物线
2
yax的准线方程是y2，则a的值为（）
A．
1
8
B．－
1
8
C．8D．－8
4
3．已知x（,0）,cosx,则tg2x（）
25
A．
7
24
B．－
7
24
C．
24
7
D．－
24
7
4．设函数
f
x
21,x0,
（x）1若f（x）1,x的取值范围是（）
则
00
x,x0
2
A．（－1，1）B．（1,）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
ABAC
OPOA（）,0,则,P的轨迹一定通过ABC的
ABAC
A．外心B．内心C．重心D．垂心
6．函数
x1
yln,x（1,）
x1
的反函数为（）
A．
x
e1
y,x（0,）
x
e1
B．
x
e1
y,x（0,）
x
e1
C．
x
e1
y,x（,0）
x
e1
D．
x
e1
y,x（,0）
x
e1
7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）
A．
3
a
3
B．
3
a
4
C．
3
a
6
D．
3
a
12
8．设
2
a0,f（x）axbxc，曲线yf（x）在点P（x0,f（x0））处切线的倾斜角的
取值范围为0,,
4
则到曲线yf（x）对称轴距离的取值范围为（）
P
A．
0,
1
a
B．
0,
1
2a
C．0,
b
2a
D．
0,
b
1
2a
2xmxxn
2
9．已知方程（x2）
（2）0的四个根组成一个首项为
1的的等差数列，
4
则|mn|（）
A．1B．
3C．
4
1D．
2
3
8
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线yx1与其相交于M、N
两点，MN中点的横坐标为
2
3
，则此双曲线的方程是（）
2y
2
x
A．1
34
2y2
x
B．1
43
2y
2
x
C．1
52
2y2
x
D．1
25
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从
AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB
上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则
tg的取值范围是（）
A．（
1，1）B．（
3
1
3
，
2）C．（
3
2
5
，
1
2
）D．（
2
5
，
2
3
）
12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．3B．4C．33D．6
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上
13．
（
1
9
x2）的展开式中
2x
9
x系数是
14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该
公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次
应抽取___________，__________，___________辆
15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不
5
614
3
2
同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有
___________________种（以数字作答）
16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若ABAC,BDCD,则BCAD
②若ABCD,ACBD,则BCAD
③若ABAC,BDCD,则BCAD④若ABCD,ACBD,则BCAD
其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）
18．（本小题满分12分）
已知函数f（x）sin（x）（0,0）是R上的偶函数，其图象关于点
3
M（,0）对称，且在区间0,
4
2
上是单调函数求和的值
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧
棱AA2，D、E分别是
1
CC与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重
1
心G
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（Ⅱ）求点
A到平面AED的距离
1
C1
A1
B1
D
E
G
C
B
A
20．（本小题满分12分）
已知常数a0,向量c（0,a）,i（1,0）经过原点O以ci为方向向量的直线
与经过定点A（0,a）以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R试问：
是否存在两
个定点E、F，使得PEPF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由
21．（本小题满分12分）
已知a0,n为正整数
n
（Ⅰ）设y（xa），证明
n1
y'n（xa）；
nn
（Ⅱ）设f（x）x（xa），对任意na，证明fn1'（n1）（n1）fn'（n）
n
22．（本小题满分14分）
设a0，如图，已知直线l:
yax及曲线
2
C:
yx,C上的点Q1的横坐标为作
直线平行于x轴，交直线l于点Pn1，再从点Pn1作直线平行于y轴，交曲线
C于点Q1.Q（n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列an
nn
（Ⅰ）试求
a与a的关系，并求an的通项公式；
n1n
（Ⅱ）当
1
n
a1,a时，证明
1
2
k1
（aa）a
kk1k2
1
32
n
（Ⅲ）当a1时，证明
k1
（aa）a
kk1k2
1
3
c
yl
r2
Q3
r1
Q1
Q2
O
aa2a3
1
x
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（江苏卷）答案
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13．
2114．6,30,1015．12016．①④
2
三、解答题
17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.
解：
设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（Ⅰ）P（A）0.90,P（B）P（C）0.95，P（A）0.10,P（B）P（C）0.50.
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P（ABC）P（ABC）P（ABC）
P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）
20.900.950.050.100.950.950.176
答：
恰有一件不合格的概率为0.176.
解法一：
至少有两件不合格的概率为
P（ABC）P（ABC）P（ABC）P（ABC）
0.90
2
0.05
2
0.10
0.05
0.95
0.10
2
0.05
0.012
解法二：
三件产品都合格的概率为
P（ABC）P（A）P（B）P（C）0.90
2
0.95
0.812
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为
1[P（ABC）0.176]1（0.8120.176）0.012.
答：
至少有两件不合的概率为0.012.
（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，
满12分分。
解：
由f（x）是偶函数,得f（x）f（x）,
即sin（x）sin（x）,
所以cossinxcossinx
对任意x都成立,且0,所以得cos0.
依题设0,.
所以解得
2
由f
（
x）
的图象关于点
M
对称
得f（
3
4
x）
f
3
（
4
x）,
取x
0得
f
3
（
4
）sin（
3
4
）
2
3
cos
4
f（
3
4
）
3
sin（
3
）
cos
424
3
cos
3
0,又0,得k,k1,2,3,,
442
2
3
（
2k1）,k0,1,2,.
当
k0时,
2
3
f
（x）
sin（
2
3
x
2
）[0,
在
]上是减函数
2
;
当k1,
时2,f（x）sin（2x）[
在0,]上是减函数;
22
当
k0时,
10
3
f
（
x）
sin（
x
2
）[0,
在
]上不是单调函数
2
;
所以
综合得
2
3
或
2.
19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力.满分12分.
解法一：
（Ⅰ）解：
连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成
的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
D,
E
分别是
CC,
1
AB,又DC平面ABC,
的中点
1
CDEF
为矩形
连结DE,GADB,GDF.EFD
是的重心在直角三角形中
2
EFFGFD
1
3
FD
2
EF
1,
FD
3.
于是
ED2,EG
12
3
6
3
.
FCCD2,AB22,
AB23,EB
1
3.
sinEBG
EG
EB
6
3
1
3
2
3
.
AB
与平面
1
ABD
所成的角是
arcsin
2
3
.
（Ⅱ）连结A1D，有
VAV
AEDD
1
AAE
1
EDAB,EDEF,又EFABF,
ED平面1,设A1到平面AED的距离为h，
AAB
则ShSED
AED1AB
A
111
又1SAAABSAEED
SAAEAAB2,AED
1
242
1
6
2
.
h
2226
3
6
即AAED
.1到平面的距离为
2
3
6
.
2
解法二：
（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a,0,0）,B（0,2a,0）,D（0,0,1）
A
1
（2a,0,2）,E（a,a,1）,
2a
3
G（
2a
3
1
3
）.
CE（
a
3
a
3
2
3
）,
BD
（0,
2a,1）.
GE
BD
2
3
2
a
2
3
0.
解得
a
1.
BA
1
（2,2,2）,BG
2
3
（
4
3
1
3
）.
cos
ABG
1
|
BA
1
BA
1
BG
||BG
|
2
14
3
/
1
3
3
21
7
3
.
AB
与平面
1
ABDarccos
所成角是
7
3
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2,0,0）A1（2,0,2）,E（1,1,1）,D（0,0,1）
AEED（1,1,1）（1,1,0）0,
AA
1
ED（0,0,2）（1,1,0）0,
ED
平面AAE,又ED
1
平面
AED.
（Ⅰ）当
2
a时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
2
（Ⅱ）当
2112a11a
2
0a时，方程①表示椭圆，焦点E（a,）和F（a,）
2222222
2
1111
（Ⅲ）当a,方程①也表示椭圆，焦点））
时
E2和Faa2为合乎题意的
（0,（aa））（0,（
2
2222
两个定点.
（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12
分.
证明：
（Ⅰ）因为
（xa）
n
nC
k
n
k0
nx
kk
（a），
n
所以1
knkk
ykCn（a）x
k0
k
n
n
0
k1nkk1
Cn（a）xn（xa）
1
n
1
.
（Ⅱ）对函数
nn
fn（x）x（xa）求导数:
f
n
（x）
n
nx
1n1
n（xa）
所以f
n
（n）
n
n[n
1
（n
n
a）
1
].
当x
a0时,
f（x）
n
0.
当x
a时,f（
n
x）
n
x
（x
n
a）
是关于
x
的增函数
.
因此
n
当
a,
时
（n1）
nn
（n1a）
n
n
（n
a）
n
nnnn∴fn（n1）（n1）[（n1）（n1a）]（n1）（n（na））
1
nn
1nfn（n1）（nn（na））
（1）n（）.
即对任意na,fn1（n1）（n1）fn（n）.
22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能
力，满分14分.
111
22224
（Ⅰ）解：
∵Qn（a,a）,P（a,a）,Q（a,a）.
n1nn1nnn1nn
2
aaa
∴1,
2
ana∴
1n
a
1111
222122
2
ana1（a）（）a
nn2n
aaaa
2
11
（1）
（1）
223
2
222122
（）anan
32
aaa
（
1
a
1a
n22n112
n1n1n
122）（）
221
）a（aa
11
aa
1
a
n1
12
，∴（）.
ana
a
1
21
1
（Ⅱ）证明：
由a=1知ana,∵a,∴.
1n1
a2,a
3
2
416
1
∵当k1,a2a.
时
k3
16
∴
n
k
1
n
111
（aka1）a（aa）（aa）.
kk2kk11n1
161632
k1
n1
2
（Ⅲ）证明：
由（Ⅰ）知，当a=1时，ana,
1
因此
k
n
1
n21
n
k1kk1
222ii12i
（aka1）a（aa）a（aa）a
kk2111111
k1i1
2
（1
n3
21
a5
a1
23i21
a）aa（1a）a=.
1
1111
11
3
a
i11
11
2
1aa3
2013江苏高考数学试卷及答案（江苏卷）
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