令.v4=0,可得原方程组的一个特解〃=
令.v4=-2(注:
这里取・2为了消去分母取单位向量的倍数),得召=3入=-3心=1,于是得到导出组的一个基础解系为一;
-2
所以,原方程组的通解为X=q+kg(keR)•
X|+3x2+3x3一2x4+x5=3
2xl+6x2+x3-3x4=2
Xj+3x^—2a\——=—[
3%j+9x2+4x3一5x4+x5=5
解:
(\
3
3
-2
1
3、
2
6
1
-3
0
2
—>
1
3
-2
-1
-1
-1
<3
9
4
-5
1
5>
1
0
0
0
3
0
0
0
-2
1
3、
<1
3
3
-2
1
3、
1
-2
-4
0
0
-5
1
-2
-4
1
-2
-4
0
0
0
0
0
0
1
-2
一4丿
<0
0
0
0
0
0丿
因为r(A)=r(A)=2<5,
所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为x2,x4,抵,
x.+3x.+3x.一2兀+x.
同解
原方程组与方程组1-345
—5%3+兀4—2兀5=~~
(°)z
(34
取自由未知量孔,小,花为0,得原方程组的一个特解:
7;0=-A-AO
(0丿
x.+3心+3x.一2xa+Xc=0再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组)|:
;同解
一5些+R一2心=0
则原方程组的全部解为:
x=Cq+C2a2+C.a.+;7o
3.证明与判断
【例题9】己知%〃L73是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明+6+773也是齐
次线性方程组AX=0的一个基础解系。
证:
由已知可得:
齐次线性方程组AX=0的基础解系含有3个解向量,并且由齐次线性方程组解的性质可
知771"】+〃2+卩都是AX=0的解;因此只要证明“I,7+〃2+7线性无关即可。
设存在数匕出出使
kg+爲(7+〃2)+忍(〃1+〃2+〃3)=0成立。
整理得:
伙]+k2+心)〃1+伙2+心)〃2+k3rh=0
(1)已知〃切2"是齐次线性方程组AX=O的一个基础解系,即得meg线性无关,则由⑴得
+k2+k3=0
k2+k3=0,解得:
ki=k2=k3=O所以q,〃】+〃2‘〃i+〃2+〃3线性无关。
■心=0即Z/|,71+〃2,71+J11+%也是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系o
【例题10】己知$疋2,負,爲是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,若
7=+劣2卯2=*?
2+応3,帀3=疋3+G»“4=§4+時1°
讨论十满足什么条件时,小是齐次线性方程组ax=o的一个基础解系
解:
首先,rhmmm是齐次线性方程组AX=0的解,只须证“1・“2,弘・久线性无关.
100/
由已知有:
(7,%,"3皿)=(刍'盒境,灯)olio
1oor即鳥黑Z"
oor1
00tb
100/
因为:
Th、7h、7h、rh线性无关o:
JJg^0
00/1
所以当t#±1时,rjSE是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系
【例题11】已知力阶矩阵A的各行元素之和均为零,且rC4)=n-l,求线性方程组侶0的通解.
解:
由r(J)=7r-l知A^O的基础解系有一个非零解向量.
又41+。
2+…+ain=097=1,2,…9»即afi-1+ai2・!
■+•••+ain-1=0・・・X=R(1,1,・・・J)T,(&为任意常数)为所求通解.
【例题12】设&&•••,X是非齐次线性方程组AX=M的解向量,
证明:
对于X=AX^kz盼•••+上X
当人+沧+“・+圧=1时,兀是AX=b的解;当怡+民+…+民丸时,兀是侶0的解.
证:
AZ=A(hX+JhA5+-+^eX)=厶為+匕似決匕快…+丘尿(人+匕+…+匕)6
故:
当厶+匕+•••+心=1时,AZ二b
当厶+匕+・・・+厶二0时.AK=0
由此可见,非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的
线性组合才是非齐次方程组的解!
【例题13】已知7刀2为AX=fl的两个不同解,是AX=0的一个基础解系・«人为任意常数
答案B
则AX=p的通解为()
【例题14】设小mm是四元非齐次线性方程组丛6的三个解向量,且矩阵A的秩为3,
〃严(1,2,3,4)\〃2+〃3=(0,1,2,3)7,求曲“的通解。
解:
因为A的秩为3,则AX=O的基础解系含有4一3=1个解向量。
由线性方程组解的性质得:
%+%-2〃广(%-U)+(%-4)是AX=O的解,则解得AX=O的一个非零解为:
〃2+〃3-2口=(一2,-3,-4,-5)\由此可得AX=b的通解为:
(1,2,3,4)'+。
(2,3,4,5)'。
【例题15】设川是4阶方阵,0(工0)是4X1矩阵,《4)=24,7舟申是AX=卩的解,
且满足7+处=
'2
4
0
,2处+仏=
了
0
3
现+仏=
1
0
8
3
1
试求方程组AX=J3的通解.
j
17解:
先求AX=fl的一个特解rf=勺(几十心)=Q
4
再求AX=fi的一个基础解系
因为4-/?
(A)=2,匚爲线性无关,所以是AX=O的一个基础解系.
故方程组AX=fi的通解是
【例题16】设矩阵A=(心,灿h
证明:
AB=O的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=O的解。
证:
把矩阵B按列分块:
3=個4,…,其中侏是矩阵B的第i列向量(212…小
零矩阵也按列分块=(Q,Ow・・,Oj
贝⑷=(的应,…申)
必要性:
AB=O可得:
AB,=O,.,Q=l,2,…,s),即5是齐次方程组AX=0的解。
充分性:
矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解,
即有ABj=O「(7=12…⑶
得:
AB=(AB{.AB29'.ABs)=(O^O29-.Os)9即证。