齐次和非齐次线性方程组的解法整理.docx

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齐次和非齐次线性方程组的解法整理

线性方程组解的结构（解法）

一、齐次线性方程组的解法

【定义】r（A）=r

（1）看岛宀雋円线性无关；

⑵AX=0的）任一解都可由这组解线性表示.

则称刍易，…，蔦-为的二0的基础解系.

称X=镯刍+k為+…+为AX=0的通解。

其中人,虬…，A-,为任意常数）.

齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.

【定理】若齐次线性方程组衣二0有解，则

（1）若齐次线性方程组AT二0（A为〃7"矩阵）满足r（A）=n,则只有零解；

⑵齐次线性方程组有非零解的充要条件是r（A）

（注：

当山=/?

时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式\A\=0.）

注：

1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n-r（A）.

2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组

AX=O所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若加是系数矩阵的行数（也即方程的个数），"是未知量的个数，则有：

（1）当加<"时，r（A）

大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当/；/=//时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式卜|=0；

（3）当m=八且HA）="时，若系数矩阵的行列式则齐次线性方程组只有零解；

（4）当川>”时，若r（A）

若r（A）>n,则齐次线性方程组无解。

1、求AT=0（A为mx//矩阵）通解的三步骤

（1）A^-^C（行最简形）；写出同解方程组6T=0.

（2）求出6T=0的基础解系

⑶写出通解*=人刍+心金+•・・+/-总t其中7也为任意常数.

所以，原方程组的通解为X=k^+k2^2+k^（人，町,2R）.

二、非齐次线性方程组的解法

求AX-b的解（Amxnr（A）=r）

用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关

（1）<+1工0时，原方程组无解.

⑵=0”=”时,原方程组有唯一解.

⑶〃冲=0”S时,原方程组有无穷多解.

其通解为焉爲+•••+&・《“，也,…,咕为任意常数。

其中：

备，盒，…疋”-r为AX=b导出组AX=0的基础解系，弘为AX=b的特解,

【定理1】如果〃是非齐次线性方程组AX=b的解，a是其导出组AXR的一个解，则a+〃是非齐次线性方程组AX=b的解。

【定理2】如果％是非齐次线性方程组的一个特解，a是其导出组的全部解，则是非齐次线性方

程组的全部解。

由此可知：

如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解

可表示为：

+Ga+C2a2+…+Cn_ran_r

其中：

久是非齐次线性方程组的一个特解，一是导出组的一个基础解系。

【例题3】判断下列命题是否正确，兔为妙Qi矩阵.

⑴若砖0只有零解，则AYR有唯--解.答:

错，因r（A）=n,rC4）=n=r（A⑻？

（2）若松0有非零解，则g有无穷多解.答:

错，因r（4）Sr（J）=㈤?

⑶若如>有唯一解，则傑0只有零解.答:

对，rC4）=r（A|6）%

⑷若A¥=0有非零解，则才更也有非零解.

答:

错M为妙Qi,r（A）=a

C4）=3<4,r（jf）=3=za

⑸若r（J）=r%,则AX=b必有解.答:

对,r（J）=r=a=r（A\b）・

⑹若rC4）=r=n,则必力必有唯一解.答:

错M为少刀，当妙刀时，可以rC4丨6）=卅1・⑴唯一解：

r（A）=r（A）=nO线性方程组有唯一解

+2兀=1,

+2占=-4.

+4x,=-2

⑵无解：

r（A）^r（A）<=>线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现0=心/0,则原方程组无解）

可见r（A）=3^r（A）=2,所以原方程组无解.

⑶无穷多解:

r（A）=r（A）线性方程组有无穷多解

x}+x2-x3+2x4=3,

【例题6】解线性方程组2册+x2-3x4=1,

一2州一2七+10x4=4.

Dx2+勺

护（一1）

1

1

-1

2

3"

'1

1

-1

2

3"

2

1

0

一3

1

/jX（-2）+?

2

0

-1

2

-7

-5

qx2+q

_-2

0

-2

10

4

0

2

-4

14

10

0

1

-5

-2

1

-2

7

5

0

0

0

0

解：

A=（A\B）=

则方程组有无穷多解，其同解方程组为

1

0

0

可见r（A）=r（A）=2<4,

'一~A：

（其中占，兀为自由未知量）

x2=5+2x3一7兀・

所以，原方程组的通解为“二“+斤点+心冬.

"2

1

-1

1

f

/）x（-2）+A

"1

2

1

-1

2'

1

2

1

-1

2

斤x（-l）+八、

0

-3

-3

3

-3

J

1

2

1

3

0

-1

1

2

1_

解：

A=（A\B）=

j

2

1

-1

2"

jx（-2）+斤

'1

0

3

3

4"

0

-1

1

2

1

訥-l）>

0

1

-1

-2

-1

0

_3

-3

3

—3-

.0

0

-6

-3

_6.

可见厂（A）=r（A）=3<4,

所以方程组有无穷多解，其同解方程组为

3

令.v4=0,可得原方程组的一个特解〃=

令.v4=-2（注：

这里取・2为了消去分母取单位向量的倍数），得召=3入=-3心=1，于是得到导出组的一个基础解系为一;

-2

所以，原方程组的通解为X=q+kg（keR）•

X|+3x2+3x3一2x4+x5=3

2xl+6x2+x3-3x4=2

Xj+3x^—2a\——=—[

3%j+9x2+4x3一5x4+x5=5

解:

（\

3

3

-2

1

3、

2

6

1

-3

0

2

—>

1

3

-2

-1

-1

-1

<3

9

4

-5

1

5>

1

0

0

0

3

0

0

0

-2

1

3、

<1

3

3

-2

1

3、

1

-2

-4

0

0

-5

1

-2

-4

1

-2

-4

0

0

0

0

0

0

1

-2

一4丿

<0

0

0

0

0

0丿

因为r（A）=r（A）=2<5,

所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为x2,x4,抵,

x.+3x.+3x.一2兀+x.

同解

原方程组与方程组1-345

—5%3+兀4—2兀5=~~

（°）z

（34

取自由未知量孔,小,花为0,得原方程组的一个特解：

7；0=-A-AO

（0丿

x.+3心+3x.一2xa+Xc=0再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组）|:

；同解

一5些+R一2心=0

则原方程组的全部解为：

x=Cq+C2a2+C.a.+;7o

3.证明与判断

【例题9】己知％〃L73是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明+6+773也是齐

次线性方程组AX=0的一个基础解系。

证：

由已知可得：

齐次线性方程组AX=0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可

知771"】+〃2+卩都是AX=0的解；因此只要证明“I，7+〃2+7线性无关即可。

设存在数匕出出使

kg+爲（7+〃2）+忍（〃1+〃2+〃3）=0成立。

整理得：

伙］+k2+心）〃1+伙2+心）〃2+k3rh=0

（1）已知〃切2"是齐次线性方程组AX=O的一个基础解系，即得meg线性无关，则由⑴得

+k2+k3=0

k2+k3=0,解得：

ki=k2=k3=O所以q,〃】+〃2‘〃i+〃2+〃3线性无关。

■心=0即Z/|，71+〃2，71+J11+%也是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系o

【例题10】己知$疋2,負，爲是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，若

7=+劣2卯2=*?

2+応3，帀3=疋3+G»“4=§4+時1°

讨论十满足什么条件时，小是齐次线性方程组ax=o的一个基础解系

解：

首先，rhmmm是齐次线性方程组AX=0的解，只须证“1・“2，弘・久线性无关.

100/

由已知有：

（7，%，"3皿）=（刍'盒境，灯）olio

1oor即鳥黑Z"

oor1

00tb

100/

因为：

Th、7h、7h、rh线性无关o：

JJg^0

00/1

所以当t#±1时，rjSE是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系

【例题11】已知力阶矩阵A的各行元素之和均为零，且rC4）=n-l,求线性方程组侶0的通解.

解：

由r（J）=7r-l知A^O的基础解系有一个非零解向量.

又41+。

2+…+ain=097=1,2,…9»即afi-1+ai2・！

■+•••+ain-1=0・・・X=R（1,1,・・・J）T,（&为任意常数）为所求通解.

【例题12】设&&•••,X是非齐次线性方程组AX=M的解向量，

证明:

对于X=AX^kz盼•••+上X

当人+沧+“・+圧=1时，兀是AX=b的解；当怡+民+…+民丸时，兀是侶0的解.

证：

AZ=A（hX+JhA5+-+^eX）=厶為+匕似決匕快…+丘尿（人+匕+…+匕）6

故：

当厶+匕+•••+心=1时，AZ二b

当厶+匕+・・・+厶二0时.AK=0

由此可见，非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭，只有组合系数的和等于1的时候，解向量组的

线性组合才是非齐次方程组的解！

【例题13】已知7刀2为AX=fl的两个不同解，是AX=0的一个基础解系・«人为任意常数

答案B

则AX=p的通解为（）

【例题14】设小mm是四元非齐次线性方程组丛6的三个解向量，且矩阵A的秩为3,

〃严（1,2,3,4）\〃2+〃3=（0,1,2,3）7,求曲“的通解。

解：

因为A的秩为3,则AX=O的基础解系含有4一3=1个解向量。

由线性方程组解的性质得：

％+%-2〃广（％-U）+（%-4）是AX=O的解，则解得AX=O的一个非零解为：

〃2+〃3-2口=（一2,-3,-4,-5）\由此可得AX=b的通解为：

（1,2,3,4）'+。

（2,3,4,5）'。

【例题15】设川是4阶方阵，0（工0）是4X1矩阵，《4）=24,7舟申是AX=卩的解,

且满足7+处=

'2

4

0

，2处+仏=

了

0

3

现+仏=

1

0

8

3

1

试求方程组AX=J3的通解.

j

17解：

先求AX=fl的一个特解rf=勺（几十心）=Q

4

再求AX=fi的一个基础解系

因为4-/?

（A）=2,匚爲线性无关，所以是AX=O的一个基础解系.

故方程组AX=fi的通解是

【例题16】设矩阵A=（心，灿h

证明：

AB=O的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=O的解。

证：

把矩阵B按列分块：

3=個4,…,其中侏是矩阵B的第i列向量（212…小

零矩阵也按列分块=（Q,Ow・・,Oj

贝⑷=（的应,…申）

必要性：

AB=O可得：

AB,=O,.,Q=l,2,…,s）,即5是齐次方程组AX=0的解。

充分性：

矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，

即有ABj=O「（7=12…⑶

得：

AB=（AB{.AB29'.ABs）=（O^O29-.Os）9即证。