最新高一数学必修1知识点总结全优秀名师资料.docx
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高一数学必修1知识点总结全
高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
（1）元素的确定性如:
世界上最高的山
（2）元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:
{„}如:
{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集（即自然数集）记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1）列举法:
{a,b,c„„}
2）描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合
的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3）语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
4）Venn图:
4、集合的分类:
（1）有限集含有有限个元素的集合
（2）无限集含有无限个元素的集合2（3）空集不含任何元素的集合例:
{x|x=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A,B注意:
有两种可能
（1）A是B的一部分，;
（2）A与B是同一集合。
,,,反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2（“相等”关系:
A=B（5?
5，且5?
5，则5=5）2实例:
设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
AA
?
真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
?
如果AB,BC,那么AC
?
如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
nn-1,有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集
-1-
三、集合的运算
运算交集并集补集
类型
定设S是一个集合，A是由所有属于A且属由所有属于集合A或
义S的一个子集，由S中于B的元素所组成属于集合B的元素所
所有不属于A的元素组的集合,叫做A,B的组成的集合，叫做A,B成的集合，叫做S中子
:
:
交集（记作A（读BB的并集（记作:
A集A的补集（或余集）
作‘A交B’），即（读作‘A并B’），，即记作CAS
:
:
AB=,x|xA，且即AB={x|xA，,,
SCA={x|x,S,且x,A}SxB,（或xB}）（,,A
韦
SAABB恩A
图
图2图1示
:
:
AA=AAA=A性:
（CA）（CB）uu
:
:
AΦ=ΦAΦ=A:
=C（AB）u:
:
:
:
AB=BAAB=BA:
（CA）（CB）uu:
:
ABAAB,,,
:
=C（AB）u:
:
ABBABB,,质
:
A（CA）=Uu
:
A（CA）=Φ（u
1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个
23.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x?
0}，则M与N的关系是.,
4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是axxa,xx12,,,,,,
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.22227.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若B?
C?
Φ，A?
C=Φ，
求m的值
二、函数的有关概念
1（函数的概念:
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数（记作:
y=f（x），x?
A（其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x?
A}叫做函数的值域（
注意:
1（定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
（1）分式的分母不等于零;
（2）偶次方根的被开方数不小于零;
-2-
（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x
的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零，
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
?
表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）;?
定义域一致（两点
必须同时具备）（见课本21页相关例2）
2（值域:
先考虑其定义域
（1）观察法
（2）配方法（3）代换法
3.函数图象知识归纳
（1）定义:
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x?
A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，
y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x?
A）的图象（C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反
过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.
（2）画法
描点法:
图象变换法;
常用变换方法有三种
1平移变换2伸缩变换3对称变换
4（区间的概念
（1）区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
）区间的数轴表示（（3
5（映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f（对应关系）:
A（原象）B（象）”,
对于映射f:
A?
B来说，则应满足:
（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况（
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集（
补充:
复合函数
如果y=f（u）（u?
M）,u=g（x）（x?
A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x?
A）称为f、g
的复合函数。
二（函数的性质
1.函数的单调性（局部性质）
（1）增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个自变量x，x，当xD上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x，x，当xf（x），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调2
减区间.
-3-
注意:
函数的单调性是函数的局部性质;
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法:
1任取x，x?
D，且x2作差f（x）,f（x）;12?
3变形（通常是因式分解和配方）;?
4定号（即判断差f（x）,f（x）的正负）;12?
5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）（?
（B）图象法（从图象上看升降）
（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律:
“同增异减”
注意:
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8（函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（,x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数（
2）（奇函数（
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（,x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数（
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称（
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;?
2确定f（,x）与f（x）的关系;?
3作出相应结论:
若f（,x）=f（x）或f（,x）,f（x）=0，则f（x）是?
偶函数;若f（,x）=,f（x）或f（,x），f（x）=0，则f（x）是奇函数（
注意:
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义判定;
（2）由f（-x）?
f（x）=0或f（x）,f（-x）=?
1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有:
1）凑配法
2）待定系数法
3）换元法
4）消参法
10（函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值?
2利用图象求函数的最大（小）值?
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值:
?
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函
-4-
数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函
数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）;
例题:
1.求下列函数的定义域:
2x,1xx,,2152?
?
y,,1（）y,x，1x，,33
22.设函数的定义域为，则函数的定义域为__fx（）[]01，fx（）3.若函数的定义域为，则函数的定义域是fx
（1），fx（21）,[],23，
xx，,,2
（1）,,4.函数，若，则=x2fx（）3,fxxx（）（12）,,,,,,2
（2）xx,,
5.求下列函数的值域:
22?
?
x,[1,2]yxx,，,23yxx,，,23（）xR,
2（3）（4）yxx,,,12yxx,,，，45
26.已知函数，求函数，的解析式fx（）fx（21），fxxx
（1）4,,,
7.已知函数满足，则=。
fx（）fx（）2（）（）34fxfxx，,,，
38.设是R上的奇函数，且当时,,则当时fx（）=fx（）x,,,（,0）x,，,[0,）fxxx（）
（1）,，
在R上的解析式为fx（）
9.求下列函数的单调区间:
222?
?
?
yxx,,,61yxx,，，23yxx,,，，23
310.判断函数的单调性并证明你的结论（y,,x，1
21，x111.设函数判断它的奇偶性并且求证:
（f（x）,f（）,,f（x）21,xx
第二章基本初等函数一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
nx,a1（根式的概念:
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，xann*N且n?
（
n0,0,负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
a（a,0）,nnnna,|a|,a,a当n是奇数时，，当n是偶数时，,,a（a,0）,2（分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定:
m*nmn，a,a（a,0,m,n,N,n,1）
m,11*na,,（a,0,m,n,N,n,1）mnmana
-5-
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3（实数指数幂的运算性质
rrr，sa,aa
（1）?
;（a,0,r,s,R）
rsrs（a）,a
（2）;（a,0,r,s,R）
rrs（ab）,aa（3）
（（a,0,r,s,R）
（二）指数函数及其性质
x1、指数函数的概念:
一般地，函数叫做指数函数，y,a（a,0,且a,1）其中x是自变量，函数的定义域为R（
注意:
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1（2、指数函数的图象和性质
a>1066554433221111-4-2246-4-224600-1-1
定义域R定义域R
值域y,0值域y,0
在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数
函数图象都过定函数图象都过定
点（0，1）点（0，1）
注意:
利用函数的单调性，结合图象还可以看出:
x
（1）在[a，b]上，值域是或[f（a）,f（b）]f（x）,a（a,0且a,1）
;[f（b）,f（a）]
x,0x,R
（2）若，则;取遍所有正数当且仅当;f（x）,1f（x）
x（3）对于指数函数，总有;f
（1）,af（x）,a（a,0且a,1）
二、对数函数
（一）对数
xa,N1（对数的概念:
一般地，如果，那么数x叫做以a为（a,0,a,1）NNx,logNlogN底的对数，记作:
（a—底数，—真数，—对aa数式）
a,0a,1说明:
1注意底数的限制，且;?
x2a,N,logN,x;?
a
logN3注意对数的书写格式（?
a
两个重要对数:
1常用对数:
以10为底的对数lgN;?
e,2.71828？
lnN2自然对数:
以无理数为底的对数的对数（?
-6-
指数式与对数式的互化
幂值真数
b,N,balogN,a
底数
指数对数
（二）对数的运算性质
a,0a,1M,0N,0如果，且，，，那么:
1?
?
，;log（MlogMlogNN）,aaa
M2?
log,,;logMlogNaaaN
n3?
（logM,n（n,R）logMaa
注意:
换底公式
logbclogb,a,0a,1c,0c,1b,0（，且;，且;）（alogac
利用换底公式推导下面的结论
1nn;
（2）（
（1）logb,logb,logbmaaamlogab
（二）对数函数
1、对数函数的概念:
函数，且叫做对数函数，其y,logx（a,0a,1）a
中是自变量，函数的定义域是（0，+?
）（x
注意:
1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如:
?
x，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（y,2logxlog2y,55
2对数函数对底数的限制:
，且（（a,0a,1）?
2、对数函数的性质:
a>10定义域x,0定义域x,0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过函数图象都过定点
定点（1，0）（1，0）
（三）幂函数
,（a,R）1、幂函数定义:
一般地，形如的函数称为幂函数，其中y,x
为常数（
2、幂函数性质归纳（
-7-
（1）所有的幂函数在（0，+?
）都有定义并且图象都过点（1，1）;
,0
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数（特[0,，,）
,10,,,1别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上
凸;
,0（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数（在第一象限内，（0,，,）
当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋yyxx
时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴（于xx，,
例题:
x1.已知a>0,a0,函数y=a与y=log（-x）的图象只能是（）a
2.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=[a,2a]f（x）,logx（0,a,1）a
1，x3.已知，
（1）求的定义域
（2）求使的的取值范围xfx（）fx（）0,fxaa（）log（01）,,,且a1,x
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数，把使成立的实数xy,f（x）（x,D）f（x）,0叫做函数的零点。
y,f（x）（x,D）
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根，亦即函y,f（x）f（x）,0数的图象与轴交点的横坐标。
xy,f（x）
即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数xf（x）,0y,f（x）,,
有零点（y,f（x）
3、函数零点的求法:
1（代数法）求方程的实数根;f（x）,0?
2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的y,f（x）?
图象联系起来，并利用函数的性质找出零点（
4、二次函数的零点:
2二次函数（y,ax，bx，c（a,0）
2ax，bx，c,0x
（1）?
,，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（
2ax，bx，c,0x
（2）?
,，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（
2ax，bx，c,0x（3）?
,，方程无实根，二次函数的图象与轴无交
点，二次函数无零点（
-8-
（英文版）
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9
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