选修2-3-1.2排列与组合.ppt

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排列与组合排列与组合排列排列N=m1+m2+mn做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以有有有有nn类办法类办法类办法类办法,在第一类办法在第一类办法在第一类办法在第一类办法中有中有中有中有mm11种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有mm22种不同的种不同的种不同的种不同的方法，方法，方法，方法，在第，在第，在第，在第nn类办法中有类办法中有类办法中有类办法中有mmnn种不同的方法。

那么种不同的方法。

那么种不同的方法。

那么种不同的方法。

那么完成这件事共有完成这件事共有完成这件事共有完成这件事共有.种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理N=m1m2mn做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成nn个步骤个步骤个步骤个步骤，做第一步，做第一步，做第一步，做第一步有有有有mm11种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有mm22种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，做第，做第，做第，做第nn步有步有步有步有mmnn种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有_种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法.分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理问题问题1：

从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项名参加一项活动，其中活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

午的活动，有多少种不同的选法？

分析：

把题目转化为分析：

把题目转化为从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？

顺序排列，求一共有多少种不同的排法？

上午上午上午上午下午下午下午下午相应的排法相应的排法相应的排法相应的排法甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙丙丙丙丙甲甲甲甲乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙甲甲甲甲乙乙乙乙乙甲乙甲乙甲乙甲乙丙乙丙乙丙乙丙丙甲丙甲丙甲丙甲丙乙丙乙丙乙丙乙第一步：

确定参加上午活动的同学即从第一步：

确定参加上午活动的同学即从3名中任名中任选选1名，有名，有3种选法种选法.第二步：

确定参加下午活动的同学，有第二步：

确定参加下午活动的同学，有2种方法种方法根据分步计数原理：

根据分步计数原理：

32=6即共即共6种方法。

种方法。

把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素元素元素,于是问题于是问题于是问题于是问题就可以叙述为：

就可以叙述为：

就可以叙述为：

就可以叙述为：

从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？

的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？

ab,ac,ba,bc,ca,cb问题问题2：

从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

分析：

解决这个问题分三个步骤：

分析：

解决这个问题分三个步骤：

分析：

解决这个问题分三个步骤：

分析：

解决这个问题分三个步骤：

第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在44个字母中任取个字母中任取个字母中任取个字母中任取11个，个，个，个，有有有有44种方法；种方法；种方法；种方法；第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的33个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有33种方法；种方法；种方法；种方法；第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的22个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有22种方法。

种方法。

种方法。

种方法。

根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有4324322424种不同的排法。

如下图所示种不同的排法。

如下图所示种不同的排法。

如下图所示种不同的排法。

如下图所示有此可写出所有的三位数：

有此可写出所有的三位数：

有此可写出所有的三位数：

有此可写出所有的三位数：

123123，124124，132132，134134，142142，143;143;213213，214214，231231，234234，241241，243243，312312，314314，321321，324324，341341，342;342;412412，413413，421421，423423，431431，432432。

同样，问题可以归结为：

同样，问题可以归结为：

同样，问题可以归结为：

同样，问题可以归结为：

从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素aa，bb，cc，dd中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

abcabc,abdabd,acbacb,acdacd,adbadb,adcadc;bacbac,bad,bad,bcabca,bcdbcd,bdabda,bdcbdc;cab,cad,cab,cad,cbacba,cbdcbd,cdacda,cdbcdb;dab,dab,dacdac,dbadba,dbcdbc,dcadca,dcbdcb.上面两个问题有什么共同特征？

上面两个问题有什么共同特征？

上面两个问题有什么共同特征？

上面两个问题有什么共同特征？

可以用怎样的数学模型来刻画？

可以用怎样的数学模型来刻画？

可以用怎样的数学模型来刻画？

可以用怎样的数学模型来刻画？

（1）有顺序的有顺序的

（2）不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等?

一般的，从一般的，从一般的，从一般的，从nn个不同的元素中取出个不同的元素中取出个不同的元素中取出个不同的元素中取出m（mm（mnn）个元素，个元素，个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，叫做从叫做从叫做从叫做从nn个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm个元素的一个排列。

个元素的一个排列。

个元素的一个排列。

个元素的一个排列。

排列的定义：

排列的定义：

排列的定义：

排列的定义：

排列的特征排列的特征排列的特征排列的特征

（1）

（1）排列问题实际包含两个过程：

排列问题实际包含两个过程：

排列问题实际包含两个过程：

排列问题实际包含两个过程：

先从先从先从先从nn个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm个不同的元素个不同的元素个不同的元素个不同的元素;再把这再把这再把这再把这mm个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列.

（2）

（2）两个排列相同的条件：

两个排列相同的条件：

两个排列相同的条件：

两个排列相同的条件：

元素完全相同元素完全相同元素完全相同元素完全相同;元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同.例如例如例如例如123123与与与与213213为什么是为什么是为什么是为什么是不同的排列。

不同的排列。

不同的排列。

不同的排列。

例例例例11下列问题中哪些是排列问题？

下列问题中哪些是排列问题？

下列问题中哪些是排列问题？

下列问题中哪些是排列问题？

（1111）1010名学生中抽名学生中抽名学生中抽名学生中抽22名学生开会的选法；名学生开会的选法；名学生开会的选法；名学生开会的选法；（2222）1010名学生中选名学生中选名学生中选名学生中选22名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；（3333）从）从）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；（4444）从）从）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数；（5555）2020位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；（6666）以圆上的）以圆上的）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；（7777）以圆上的）以圆上的）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；（8888）有）有）有）有1010个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；（9999）安排）安排）安排）安排55个学生为班里的个学生为班里的个学生为班里的个学生为班里的55个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位.那那那那些些些些是是是是全全全全排排排排列列列列？

排列中的注意点：

排列中的注意点：

排列中的注意点：

排列中的注意点：

1、元素不能重复。

、元素不能重复。

n个中不能重复，个中不能重复，m个中也不能重复。

个中也不能重复。

2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题就是与位置有关，这是判断一个问题是是否是排列问题的关键。

否是排列问题的关键。

3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

同，而且元素的排列顺序也完全相同。

4、mn时的排列叫全排列。

时的排列叫全排列。

5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用采用“树形图树形图”。

排列数：

排列数：

从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m（mn）个元素的所有排列个元素的所有排列的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的排列个元素的排列数。

用符号数。

用符号表示。

表示。

“排列排列排列排列”和和和和“排列数排列数排列数排列数”有什么区别和联系？

有什么区别和联系？

有什么区别和联系？

有什么区别和联系？

“一个排列一个排列一个排列一个排列”是指：

从是指：

从是指：

从是指：

从nn个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取mm个个个个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数排列数排列数排列数”是指从是指从是指从是指从nn个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取mm个