七年级数学相交线与平行线教师讲义带答案.docx
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七年级数学相交线与平行线教师讲义带答案
第4章相交线与平行线
一、知识结构图
相
交
线
与
平
行
线
余角
余角补角
补角
角两线相交对顶角
同位角
三线八角内错角
同旁内角
平行线的判定
平行线
平行线的性质
尺规作图
二、基本知识提炼整理
（一）余角与补角
1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一
个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与
角的位置无关。
4、余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
（1）12900（1800）,13900（1800）,则23（同角的余角或补角相
等）。
（2）12900（1800）,34900（1800）,且14,则23（等角的余角
（或补角）相等）。
1
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
（二）对顶角
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：
对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依
据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
（三）同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：
两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，
这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：
两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这
样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：
两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，
这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的
大小关系。
（四）六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
（五）尺规作线段和角
1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺的功能是：
2
（1）在两点间连接一条线段；
（2）将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是：
（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；
（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5、熟练掌握以下作图语言：
（1）作射线××；
（2）在射线上截取××=××；
（3）在射线××上依次截取××=××=××；
（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；
（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；
（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；
6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用
一句话概括叙述就可以了。
（1）画线段××=××；
（2）画∠×××=∠×××；
（六）平行线的判定与性质
平行线的判定平行线的性质
1、同位角相等，两直线平行1、两直线平行，同位角相等
2、内错角相等，两直线平行2、两直线平行，内错角相等
3、同旁内角互补，两直线平行3、两直线平行，同旁内角互补
4、平行于同一条直线的两直线平行4、经过直线外一点，有且只有一条直
5、垂直于同一条直线的两直线平行线与已知直线平行
3
【经典例题】
例1.判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；
（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。
分析：
本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。
（1）、
（2）都是对点到直线的距离的
描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断
（1）、
（2）
都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两
条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。
解答：
（1）这种说法是错误的。
因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。
（2）这种说法是错误的。
因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。
（3）这种说法是正确的。
（4）这种说法是错误的。
因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。
如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。
说明：
此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。
例2.如下图
（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问1与4，2与4，3与4
各是什么角？
A
D
1
23
E
4
BC
图
（1）
分析：
已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图
（2）的样子，这样就容易看了。
A
D
1
2
3
E
4
B
C
图
（2）
答案：
1与
4是同位角，
2与
4是内错角，
3与
4是同旁内角。
4
例3如下图
（1），
l2
3
6
4
5
1
2
l1
l3
图
（1）
（1）
1与
2是两条直线
_________________与_________________被第三条直线
_________________所截构成的___________________角。
（2）
1与
3是两条直线_______________与_________________被第三条直线
____________________所截构成的________________角。
（3）
3与
4是两条直线_______________与___________________被第三条直线
_________________________所截构成的_______________角。
（4）
5与
6是两条直线
_______________与_______________，被第三条直线
______________________所截构成的________________角。
分析：
从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到1与3是由直线l1，l3
被第三条直线l2所截构成的同位角，如下图
（2），类似可知其他情况。
l2
3
1
l1
l3
图
（2）
答案：
（1）
1与
2是两条直线l2与l3被第三条直线l1所截构成的同位角。
（2）
1与
3是两条直线l1与l3被第三条直线l2所截构成的同位角。
（3）
3与
4是两条直线l1与l3被第三条直线
l2所截构成的内错角。
5
（4）5与6是两条直线l1与l2被第三条直线l3所截构成的同旁内角。
例4如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN的大小
EG
C
B
MN
A
P
FHD
答案：
50°
解析：
因为∠AMF=∠BNG=75°，又因为∠BNG=∠MNP，所以∠AMF=∠MNP，所
以EF∥GH，所以∠MPN=∠CME，又因为∠AMF=75°，∠CMA=55°，所以∠AMF+∠
CMA=130°，即∠CMF=130°，所以∠CME=180°－130°=50°，所以∠MPN=50°
例5如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠
PCM
答案：
57.5°
解析：
因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以AB
1
∥DE，所以∠BCN=∠4=115°，所以∠ACM=115°，又因为CP平分∠ACM，所以∠PCM=2
1
∠ACM=2×115°=57.5°，所以∠PCM=57.5°
例6如图，已知：
∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小
答案：
102°
解析：
因为∠2=∠CDB，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠CDB=180°，所以得到AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°
6
例7如图，已知：
∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明：
∠E=∠F
解析：
因为∠BAP与∠APD互补，所以AB∥CD，所以∠BAP=∠CPA，又因为∠1=
∠2，所以∠BAP－∠1=∠CPA－∠2，即∠EAP=∠FPA，所以EA∥PF，所以∠E=∠F
例8如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：
∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？
用式子表示并证明
答案：
∠HOP=∠AGF－∠HPO
解析：
过O作CD的平行线MN，因为AB∥CD，且CD∥MN，所以AB∥MN，所以
∠AGF=∠MOF=∠HON，因为CD∥MN，∠HPO=∠PON，所以∠HOP=∠HON－∠PON=
∠HON－∠HPO，所以∠HOP=∠AGF－∠HPO
例9如图，已知AB∥CD，说明：
∠B＋∠BED＋∠D=360°
ABAB
EFE
CDCD
分析：
因为已知AB∥CD，所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线，将∠B＋∠BED＋∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。
解：
过点E作EF∥AB，则
∠B＋∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）
EF∥AB（作图）
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠D＋∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF=360°
∵∠B＋∠BED＋∠D=∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF
7
∴∠B＋∠BED＋∠D=360°
例10.小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学
校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？
说明你的
理由。
解：
∵AE∥BD（已知）
∴∠BAE=∠DBA（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAE=40°（已知）
∴∠ABD=40°（等量代换）
∵∠CBD=∠ABC＋∠ABD（已知）
∴∠ABC=∠CBD－∠ABD（等式性质）
∵∠ABD=40°（已知）
∴∠ABC=75°－40°=35°
例11如图，∠ADC=∠ABC，∠1＋∠2=180°，AD为∠FDB的平分线，说明：
BC为∠DBE的平分线。
分析：
从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们都平行，这时
欲证BC为∠DBE的平分线，只须证∠3=∠4，而∠3=∠C=∠6，∠4=∠5，由AD为∠FDB
的平分线知∠5=∠6，这样问题就转化为证AE∥CF，且AD∥BC了，由已知条件∠1＋∠
2=180°不难证明AE∥CF，利用它的平行及∠ADC=∠ABC的条件，不难推证AD∥BC。
证明：
∵∠1＋∠2=180°（已知）
∠2＋∠7=180°（补角定义）
∴∠1=∠7（同角的补角相等）
∴AE∥CF（同位角相等，两直线平行）
∴∠ABC＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∠ADC=∠ABC（已知），CF∥AB（已证）
∴∠ADC＋∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠6=∠C，∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）
又∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠3=∠6（等量代换）
又AD为∠BDF的平分线
∴∠5=∠6
∴∠3=∠4（等量代换）∴BC为∠DBE的平分线
例12如图，DE，BE分别为∠BDC，∠DBA的平分线，∠DEB=∠1＋∠2
（1）说明：
AB∥CD
（2）说明：
∠DEB=90°
分析：
（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证∠CDB与∠ABD互补比
8
较困难，而∠1＋∠2=∠DEB，若以E为顶点，DE为一边，在∠DEB内部作∠DEF=∠2，
再由DE，EB分别为∠CDB，∠DBA的平分线，就不难证明AB∥CD了，
（2）由
（1）证
得AB∥CD后，由同旁内角互补，易证∠1＋∠2=90°，进而证得∠DEB=90°
证明：
（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在∠DEB的内部作∠DEF=∠2∵DE为∠BDC的平分线（已知）
∴∠2=∠EDC（角平分线定义）
∴∠FED=∠EDC（等量代换）
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）∵∠DEB=∠1＋∠2（已知）
∵∠FEB=∠1（等量代换），∠EBA=∠EBF=∠1（角平分线定义）∴∠FEB=∠EBA（等量代换）
∴FE∥BA（内错角相等，两直线平行）
又EF∥DC
∴BA∥DC（平行的传递性）
（2）∵AB∥DC（已证）
∴∠BDC＋∠DBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）
11
又∠1=2∠DBA，∠2=2∠BDC（角平分线定义）
∴∠1＋∠2=90°
又∠1＋∠2=∠DEB
∴∠DEB=90°
中考真题精讲
1．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC．
理由如下：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义），
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E=∠1（已知），∴∠2=∠3（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）
考点：
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂线．
专题：
推理填空题．
9
分析：
先利用同位角相等，两直线平行求出
AD∥EG，再利用平行线的性质求出∠
1=∠2，
∠E=∠3和已知条件等量代换求出∠
2=∠3即可证明．
解答：
解：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E=∠1（已知）∴∠2=∠3（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
点评：
本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
2．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？
考点：
平行线的判定与性质；垂线．
专题：
探究型．
分析：
由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等
量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．
解答：
解：
CD⊥AB；理由如下：
∵∠1=∠ACB，
∴DE∥BC，∠2=∠DCB，
又∵∠2=∠3，
∴∠3=∠DCB，故CD∥FH，∵FH⊥AB
∴CD⊥AB．
点评：
本题是考查平行线的判定和性质的基础题，比较容易，稍作转化即可．
3．已知：
如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：
AB∥CD．
考点：
平行线的判定与性质．
专题：
证明题．
10
分析：
首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换
可推出∠A=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．
解答：
证明：
∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB=∠GNM=90°，
∴AE∥FG，
∴∠A=∠1；又∵∠2=∠1，∴∠A=∠2，
∴AB∥CD．
点评：
本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．
4．如图，已知BE∥DF，∠B=∠D，则AD与BC平行吗？
试说明理由．
考点：
平行线的判定与性质．
专题：
探究型．
分析：
利用两直线平行，同旁内角互补可得∠B+∠C=180°，即∠C+∠D=180°；根据同旁内
角互补，两直线平行可证得AD∥BC．
解答：
解：
AD与BC平行；理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
点评：
此题主要考查了平行线的判定和性质：
两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行．
5．如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．
11
考点：
平行线的判定与性质．
专题：
计算题．
分析：
已知∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，从而可得到∠HFD=∠AEF，根据同位角相等
两直线平行可得到DC∥AB，根据平行线的性质可得到∠HDC=∠DAB，已知∠HDC
与∠ABC互补，则∠DAB也与∠ABC互补，根据同旁内角互补即可得到AD∥BC，
根据平行线的性质即可求得∠G的度数．
解答：
解：
∵∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，
∴∠HFD=∠AEF，
∴DC∥AB，
∴∠HDC=∠DAB，
∵∠HDC+∠ABC=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴∠H=∠G=20°．
点评：
此题主要考查学生对平行线的判定及性质的综合运用能力．
6．推理填空：
如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．
解：
∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠1+∠CAF（等量代换）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等量代换）
即∠4=∠DAC
∴∠3=∠∠DAC（等量代换）
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
考点：
平行线的判定与性质．
专题：
推理填空题．
分析：
首先由平行线的性质可得∠4=∠BAE，然后结合已知，通过等量代换推出∠3=∠DAC，
最后由内错角相等，两直线平行可得AD∥BE．
解答：
解：
∵AB∥CD（已知），
∴∠4=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）；
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3=∠1+∠CAF（等量代换）；
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等量代换），
12
即∠4=∠DAC，
∴∠3=∠DAC（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
点评：
本题难度一般，考查的是平行线的性质及判定定理．
7．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．
（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；
（2）试求∠AFE的度数．
考点：
平行线的判定与性质；三角形内角和定理．
专题：
探究型．
分析：
（1）先延长AF、DE相交于点G，根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°．又已知∠CDE=∠BAF，等量代换可得∠BAF+∠G=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥DE；
（2）先延长BC、ED相交于点H，由垂直的定义得∠B=90°，再由两直线平行，同旁内角互补可得∠H+∠B=180°，所以∠H=90°，最后可
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