哈三中二模理科数学题及答案.docx
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哈三中二模理科数学题及答案
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共24题,满分150分,
考试时间120分钟。
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;
2.选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,
字体工整,字迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草
稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.集合A{x||x1|2},
1
x
B{x|39},则AB
3
A.(1,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,3)
2.设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列{a}的前n项和,则“d<0”是“数列{Sn}有
n
最大项”的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.ΔABC中,m(cosA,sinA),n(cosB,sinB),若
1
mn,则角C为
2
A.B.
3
2
3
C.
6
D.
5
6
4.已知
1
e
adx
1
x
,则
1
6
(x)
ax
展开式中的常数项为
A.20B.-20C.-15D.15
5.正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
A.
1
2
B.
1
4
C.
2
3
D.
6
4
6.已知函数()sin()3cos()(0,||)
fxxx,其图象相邻的两条对称
2
轴方程为x0与
x,则
2
A.f(x)的最小正周期为2,且在(0,)上为单调递增函数
B.f(x)的最小正周期为2,且在(0,)上为单调递减函数
C.f(x)的最小正周期为,且在(0,)
2
上为单调递增函数
D.f(x)的最小正周期为,且在(0,)
2
上为单调递减函数
7.一个几何体的三视图及尺寸如右图所示,则该几何体的
外接球半径为
A.
1
2
B.
3
16
C.
17
4
D.
17
4
8.过抛物线
22(0)
ypxp的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,直线l
与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的摄影为C,若AFFB,
BABC36,则抛物线的方程为
A.
26
yxB.
23
yxC.
212
yxD.
223
yx
9.阅读右面的程序框图,输出结果s的值为
A.
1
2
B.
3
16
C.
1
16
D.
1
8
10.在平行四边形ABCD中,AEEB,CF2FB,
连接CE、DF相交于点M,若AMABAD,则实数
λ与μ的乘积为
A.
1
4
B.
3
8
C.
3
4
D.
4
3
11.已知函数
32()1
xmxmnx
y的两个极值点分别为x1,x2,且x1(0,1),
32
x2(1,),记分别以m,n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数
yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围为
A.(1,3]B.(1,3)C.(3,)D.[3,)
12.设点P在曲线
x
ye上,点Q在曲线
1
y1(x0)
x
上,则|PQ|的最小值为
A.
2
2
(1)
eB.2(e1)C.
2
2
D.2
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
将答案填在答题卡的相应位置上。
)
13.若复数z1i,则
z
zi
__________。
14.已知双曲线
22
xy
221(a0,b0)
ab
的右焦点为F,由F向其渐近线引垂线,垂足为
P,若线段PF的中点在此双曲线上,则此双曲线的离线率为__________。
15.已知平面区域Ω=
(x,y)
y0
2
y4x
,直线l:
ymx2m和曲线C:
y4x2
有两个不同的交点,直线l与曲线C围城的平面区域为M,向区域Ω内随机投一点A,点A
落在区域M内的概率为P(M),若
2
P(M)[,1],则实数m的取值范围是__________。
2
16.已知ΔABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,则ΔABC
的周长的取值范围是__________。
三、解答题(本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
2已知正项数列满足4S(a1)。
nn
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)设
b
n
1
aa
nn
1
,求数列{bn}的前n项和Tn。
n。
18.(本小题满分12分)
从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。
据测量,被测学生身高全
部介于155cm到195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组,第一组[155,160),第二组
[160,165),⋯,第八组[190,195]。
下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部
分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。
(1)求第六组、第七组的频率,并估算高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)
的人数;
(2)学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队,在这50人中要选身高在180cm
以上(含180cm)的三人作为队长,记X为身高在[180,185)的人数,求X的分布列和数学
期望。
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分
别为PC,CD的中点,DE=EC。
(1)求证:
平面ABE⊥平面BEF;
(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐
二面角[,]
43
,求a的取值范围。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆
22
xy
C:
1(ab0)
22
ab
过点
3
(3,)
2
,离心率
1
e,若点M(x0,y0)在
2
xy
椭圆C上,则点(0,0)
N
ab
称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、
B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小
关系,并证明。
21.(本小题满分12分)
已知函数
2
f(x)axxxlnx(a0)。
(1)若函数满足f
(1)2,且在定义域内f(x)bx22x恒成立,求实数b的取值范
围;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当
1
e
xy
1
时,试比较
y
x
与
1ln
1ln
y
x
的大小。
选考题:
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)
选修4-1:
几何证明选讲
如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B、C两点,弦CD∥AP,
AD、BC相交于点E,F为CE上一点,且DE
2=EF·EC。
(1)求证:
CE·EB=EF·EP;
(2)若CE:
BE=3:
2,DE=3,EF=2,求PA的长。
23.(本小题满分10分)
选修4-4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为sin()12
4
,圆C的圆心是
C,半径为2。
(2,)
4
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求直线l被圆C所截得的弦长。
24.(本小题满分10分)
选修4-5:
不等式选讲
设函数f(x)|2x1||x3|。
(1)解不等式f(x)0;
(2)已知关于x的不等式a3f(x)恒成立,求实数a的取值范围。
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题:
题号123456789101112
答案BABBBCCDCBBD
二、填空题:
13.114.215.0,116.2,3
三、解答题:
17.(Ⅰ)整理得ana2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
n1
又a1得an2n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
1
111
(Ⅱ)由
(1)知)
bn(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
22n12n1
所以
n
Tn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2n1
18.解:
(Ⅰ)第六组
p0.08·························
··2分
第七组
p0.06·························
··4分
估计人数为
180··························6
分
(Ⅱ)X可能的取值为0,1,2,
14.························7分
P(x0)
3
5
3
9
C
C
5
42
P(x
1)
12
CC
45
3
C
9
20
42
P(x2)
21
CC
45
3
C
9
15
42
P(x
3)
3
4
C
C
3
9
2
42
所以X的分布列
X0123
P
5
42
10
21
5
14
1
21
·············10分
E(X)=
4
3
.···············
······12分
19.(Ⅰ)AB//CD,CDAD,ADCD2AB2,F分别为CD的中点,
ABFD为矩形,
ABBF·················分2
DEEC,DCEF,又AB//CD,ABEF
BFEFE,AE面BEF,AE面ABE,
平面ABE⊥平面
BEF·····················4分
(Ⅱ)DEEC,DCEF,又PD//EF,AB//CD,ABPD
又ABPD,所以AB面
PAD,ABPA··················6分
法一:
建系AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,
a
B(1,0,0),D(0,2,0)P(0,0,a),C(2,2,0),)
E(1,1,
2
平面BCD法向量n1(0,0,1),平面EBD法向量
n2(2a,a,2)··········9分
cos
2
2
5a
4
[
1
2
2
2
]
,可得
25215
a[,].·············12分
55
法二:
连AC交BF于点K,四边形ABCF为平行四边形,所以K为AC的中点,连EK,
则EK//PA,EK面ABCD,BDEK,
作KHBD于H点,所以BD面EKH,
连EH,则BDEH,EHK即为所
求·············9分
a
在RtEHK中,
5a
121
2
HK,tan[1,3]
1
2
2
55
5
解得
25215
a·············12
[,]
55
分
15.(Ⅰ)由已知
3
a
a
2
2
c
3
2
4b
2
b
1
1
2
c
22
解得4
a,b3,方程为
a2
2y
2
x
43
1
·······3分
x1yxy
122
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则)
P(,),Q(,
22
33
(1)当直线l的斜率存在时,设方程为ykxm
ykx
2y
2
x
43
m
1
2x2kmxm2
联立得:
(34k)84(3)0
48(34k
2
2
m)
0
有
x
1
x
1
x
2
x
2
8km
3
2
4(m
2
4k
3)
2
3
4k
①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得:
340
x1xyy·
212
2xxkmxxm2
整理得:
(34k)4()40②
1212
将①式代入②式得:
22
2
34km,···········6分
34k
2mm
22
0,0,48
0
又点O到直线ykxm的距离
d
m
2
1k
AB1
2
k
x
1
x1
2
k
2
43
3
3
2
4k
2
4k
2
m
1k
2
4
3
3
m
2
4k
1
2
k
4
3
2
2m
m
··········
8分
所以
2
123m
SOAB··········10分
ABd3
2
22m
(2)当直线l的斜率不存在时,设方程为xm(2m2)
联立椭圆方程得:
y
2
23(4m
4
)
2
23(4m)
代入3x1x24y1y20得到0
3m即
4
25
m,
5
y
2
15
5
SOAB
1
2
AB
d
1
2
m
y1y
2
3
综上:
OAB的面积是定值3
1
又ODE的面积233
2
,所以二者相
等.·······12分
16.(Ⅰ)由原式
1lnx
1b,················1
xx
分
令
1lnx
gx)1
(,可得g(x)在0,1上递减,
xx
在1,上递增,所以g()ming
(1)0
x
即
b0···············3
分
(Ⅱ)f(x)2axlnx,(x0)
lnx
令,
f(x)0,得2a
x
lnx
设,当xe时
h(x)
x
h(x)max
1
e
1
当a时,函数f(x)在(0,)单调递
2e
增···············5分
1
若,
0a
2e
'
g(x)2axlnx,(x0),g(x)2a
1
x
'
g(x)0,x
1
2a
,
x
(0,
1
2a
),
g
1
/gx
/
(x)0,x(,),()
2a
0
x
1
2a
时取得极小值即最小值
111
而当0a0
时g,
()1ln
2e2a2a
f,f(x)必有极值,在定义域上不单
()0
/x
必有根
调··············8分
a
1
2e
···········
·····9分
(Ⅲ)由(I)知
1lnx
g(x)1在(0,1)上单调递减
x
1
∴xy1
e
时,g(x)g(y)即
1lnx1lny
················10分xy
而1xy1
e时,
1lnx0,1lnx0
y
1···········
lny
x1lnx····12分
17.(I)∵DE2EFEC,∴EDFC,
又∵PC,∴EDFP,∴EDF∽PAE
∴EAEDEFEP又∵EAEDCEEB,∴CEEBEFEP···5分
(II)BE3,
9
CE,
2
BP
15
4
PA是⊙O的切线,PA2PBPC,
153
PA·······10
4
分
18.(Ⅰ)圆C的极坐标方程为:
)
22sin(·········5
4分
(Ⅱ)圆心到直线距离为1,圆半径为2,所以弦长为
2···········10分
19.(Ⅰ)f(x)0的解集为:
2
(,4)(,)··········5