哈三中二模理科数学题及答案.docx
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哈三中二模理科数学题及答案
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，
考试时间120分钟。
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整，字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．集合A{x||x1|2}，
1
x
B{x|39}，则AB
3
A．（1,2）B．（1,2）C．（1,3）D．（1,3）
2．设Sn是公差为d（d0）的无穷等差数列{a}的前n项和，则“d<0”是“数列{Sn}有
n
最大项”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．ΔABC中，m（cosA,sinA），n（cosB,sinB），若
1
mn，则角C为
2
A．B．
3
2
3
C．
6
D．
5
6
4．已知
1
e
adx
1
x
，则
1
6
（x）
ax
展开式中的常数项为
A．20B．-20C．-15D．15
5．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
A．
1
2
B．
1
4
C．
2
3
D．
6
4
6．已知函数（）sin（）3cos（）（0,||）
fxxx，其图象相邻的两条对称
2
轴方程为x0与
x，则
2
A．f（x）的最小正周期为2，且在（0,）上为单调递增函数
B．f（x）的最小正周期为2，且在（0,）上为单调递减函数
C．f（x）的最小正周期为，且在（0,）
2
上为单调递增函数
D．f（x）的最小正周期为，且在（0,）
2
上为单调递减函数
7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的
外接球半径为
A．
1
2
B．
3
16
C．
17
4
D．
17
4
8．过抛物线
22（0）
ypxp的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l
与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若AFFB，
BABC36，则抛物线的方程为
A．
26
yxB．
23
yxC．
212
yxD．
223
yx
9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为
A．
1
2
B．
3
16
C．
1
16
D．
1
8
10．在平行四边形ABCD中，AEEB，CF2FB，
连接CE、DF相交于点M，若AMABAD，则实数
λ与μ的乘积为
A．
1
4
B．
3
8
C．
3
4
D．
4
3
11．已知函数
32（）1
xmxmnx
y的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0,1），
32
x2（1,），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m,n）表示的平面区域为D，若函数
yloga（x4）（a1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为
A．（1,3]B．（1,3）C．（3,）D．[3,）
12．设点P在曲线
x
ye上，点Q在曲线
1
y1（x0）
x
上，则|PQ|的最小值为
A．
2
2
（1）
eB．2（e1）C．
2
2
D．2
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在答题卡的相应位置上。
）
13．若复数z1i，则
z
zi
__________。
14．已知双曲线
22
xy
221（a0,b0）
ab
的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为
P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。
15．已知平面区域Ω=
（x,y）
y0
2
y4x
，直线l:
ymx2m和曲线C:
y4x2
有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A
落在区域M内的概率为P（M），若
2
P（M）[,1]，则实数m的取值范围是__________。
2
16．已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a=1,2cosC+c=2b，则ΔABC
的周长的取值范围是__________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
2已知正项数列满足4S（a1）。
nn
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）设
b
n
1
aa
nn
1
，求数列{bn}的前n项和Tn。
n。
18．（本小题满分12分）
从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。
据测量，被测学生身高全
部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160），第二组
[160,165），⋯，第八组[190,195]。
下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部
分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。
（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）
的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm
以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180,185）的人数，求X的分布列和数学
期望。
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分
别为PC，CD的中点，DE=EC。
（1）求证：
平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐
二面角[,]
43
，求a的取值范围。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆
22
xy
C:
1（ab0）
22
ab
过点
3
（3,）
2
，离心率
1
e，若点M（x0,y0）在
2
xy
椭圆C上，则点（0,0）
N
ab
称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、
B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小
关系，并证明。
21．（本小题满分12分）
已知函数
2
f（x）axxxlnx（a0）。
（1）若函数满足f
（1）2，且在定义域内f（x）bx22x恒成立，求实数b的取值范
围；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当
1
e
xy
1
时，试比较
y
x
与
1ln
1ln
y
x
的大小。
选考题：
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）
选修4-1：
几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，
AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE
2=EF·EC。
（1）求证：
CE·EB=EF·EP；
（2）若CE:
BE=3:
2，DE=3，EF=2，求PA的长。
23．（本小题满分10分）
选修4-4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sin（）12
4
，圆C的圆心是
C，半径为2。
（2,）
4
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长。
24．（本小题满分10分）
选修4-5：
不等式选讲
设函数f（x）|2x1||x3|。
（1）解不等式f（x）0；
（2）已知关于x的不等式a3f（x）恒成立，求实数a的取值范围。
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试
数学试卷（理工类）答案及评分标准
一、选择题：
题号123456789101112
答案BABBBCCDCBBD
二、填空题：
13.114.215.0,116.2,3
三、解答题：
17.（Ⅰ）整理得ana2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
n1
又a1得an2n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
1
111
（Ⅱ）由
（1）知）
bn（⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
22n12n1
所以
n
Tn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2n1
18.解:
（Ⅰ）第六组
p0.08·························
··2分
第七组
p0.06·························
··4分
估计人数为
180··························6
分
（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2,
14.························7分
P（x0）
3
5
3
9
C
C
5
42
P（x
1）
12
CC
45
3
C
9
20
42
P（x2）
21
CC
45
3
C
9
15
42
P（x
3）
3
4
C
C
3
9
2
42
所以X的分布列
X0123
P
5
42
10
21
5
14
1
21
·············10分
E（X）=
4
3
.···············
······12分
19.（Ⅰ）AB//CD,CDAD,ADCD2AB2，F分别为CD的中点，
ABFD为矩形，
ABBF·················分2
DEEC,DCEF,又AB//CD,ABEF
BFEFE,AE面BEF,AE面ABE,
平面ABE⊥平面
BEF·····················4分
（Ⅱ）DEEC,DCEF,又PD//EF，AB//CD,ABPD
又ABPD,所以AB面
PAD,ABPA··················6分
法一：
建系AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴,
a
B（1,0,0）,D（0,2,0）P（0,0,a），C（2,2,0）,）
E（1,1,
2
平面BCD法向量n1（0,0,1），平面EBD法向量
n2（2a,a,2）··········9分
cos
2
2
5a
4
[
1
2
2
2
]
，可得
25215
a[,].·············12分
55
法二：
连AC交BF于点K,四边形ABCF为平行四边形，所以K为AC的中点，连EK,
则EK//PA,EK面ABCD,BDEK,
作KHBD于H点，所以BD面EKH,
连EH,则BDEH,EHK即为所
求·············9分
a
在RtEHK中，
5a
121
2
HK,tan[1,3]
1
2
2
55
5
解得
25215
a·············12
[,]
55
分
15.（Ⅰ）由已知
3
a
a
2
2
c
3
2
4b
2
b
1
1
2
c
22
解得4
a，b3，方程为
a2
2y
2
x
43
1
·······3分
x1yxy
122
（Ⅱ）设A（x1,y1）,B（x2,y2），则）
P（,）,Q（,
22
33
（1）当直线l的斜率存在时，设方程为ykxm
ykx
2y
2
x
43
m
1
2x2kmxm2
联立得：
（34k）84（3）0
48（34k
2
2
m）
0
有
x
1
x
1
x
2
x
2
8km
3
2
4（m
2
4k
3）
2
3
4k
①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：
340
x1xyy·
212
2xxkmxxm2
整理得：
（34k）4（）40②
1212
将①式代入②式得：
22
2
34km,···········6分
34k
2mm
22
0,0,48
0
又点O到直线ykxm的距离
d
m
2
1k
AB1
2
k
x
1
x1
2
k
2
43
3
3
2
4k
2
4k
2
m
1k
2
4
3
3
m
2
4k
1
2
k
4
3
2
2m
m
··········
8分
所以
2
123m
SOAB··········10分
ABd3
2
22m
（2）当直线l的斜率不存在时，设方程为xm（2m2）
联立椭圆方程得：
y
2
23（4m
4
）
2
23（4m）
代入3x1x24y1y20得到0
3m即
4
25
m，
5
y
2
15
5
SOAB
1
2
AB
d
1
2
m
y1y
2
3
综上：
OAB的面积是定值3
1
又ODE的面积233
2
，所以二者相
等.·······12分
16.（Ⅰ）由原式
1lnx
1b，················1
xx
分
令
1lnx
gx）1
（，可得g（x）在0,1上递减，
xx
在1,上递增，所以g（）ming
（1）0
x
即
b0···············3
分
（Ⅱ）f（x）2axlnx,（x0）
lnx
令，
f（x）0,得2a
x
lnx
设，当xe时
h（x）
x
h（x）max
1
e
1
当a时，函数f（x）在（0,）单调递
2e
增···············5分
1
若，
0a
2e
'
g（x）2axlnx,（x0）,g（x）2a
1
x
'
g（x）0,x
1
2a
，
x
（0,
1
2a
）,
g
1
/gx
/
（x）0,x（,）,（）
2a
0
x
1
2a
时取得极小值即最小值
111
而当0a0
时g，
（）1ln
2e2a2a
f，f（x）必有极值，在定义域上不单
（）0
/x
必有根
调··············8分
a
1
2e
···········
·····9分
（Ⅲ）由（I）知
1lnx
g（x）1在（0,1）上单调递减
x
1
∴xy1
e
时，g（x）g（y）即
1lnx1lny
················10分xy
而1xy1
e时，
1lnx0,1lnx0
y
1···········
lny
x1lnx····12分
17.（I）∵DE2EFEC，∴EDFC，
又∵PC，∴EDFP，∴EDF∽PAE
∴EAEDEFEP又∵EAEDCEEB，∴CEEBEFEP···5分
（II）BE3，
9
CE，
2
BP
15
4
PA是⊙O的切线，PA2PBPC，
153
PA·······10
4
分
18.（Ⅰ）圆C的极坐标方程为：
）
22sin（·········5
4分
（Ⅱ）圆心到直线距离为1，圆半径为2，所以弦长为
2···········10分
19.（Ⅰ）f（x）0的解集为：
2
（,4）（,）··········5
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