哈三中二模理科数学题及答案.docx

1、哈三中二模理科数学题及答案2019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 24 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小

2、题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 集合 A x |x 1| 2 ，1xB x | 3 9 ，则 A B3A(1, 2) B( 1,2) C (1,3) D( 1,3)2设 Sn 是公差为 d(d 0) 的无穷等差数列 a 的前 n 项和，则“ d 0”是“数列 Sn 有n最大项”的A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件3ABC中， m (cos A,sin A) ，n (cos B, sin B) ，若1m n ，则角 C为2A B323C6D564已知1ea dx1x，则16(x )ax展开式中的常数项为A

3、20 B-20 C-15 D155正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为A12B14C23D646已知函数 ( ) sin( ) 3 cos( )( 0,| | )f x x x ，其图象相邻的两条对称2轴方程为 x 0与x ，则2A f ( x) 的最小正周期为 2 ，且在 (0, ) 上为单调递增函数B f ( x) 的最小正周期为 2 ，且在 (0, ) 上为单调递减函数C f ( x) 的最小正周期为 ，且在 (0, )2上为单调递增函数D f ( x) 的最小正周期为 ，且在 (0, )2上为单调递减函数7一个几何体的三视图

4、及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A12B316C174D1748过抛物线2 2 ( 0)y px p 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，直线 l与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的摄影为 C，若 AF FB ，BA BC 36，则抛物线的方程为A2 6y x B2 3y x C2 12y x D2 2 3y x9阅读右面的程序框图，输出结果 s 的值为A12B316C116D1810在平行四边形 ABCD中， AE EB ，CF 2FB ，连接 CE、DF相交于点 M，若 AM AB AD ，则实数 与 的乘积为A14B38C34D4311已知

5、函数3 2 ( ) 1x mx m n xy 的两个极值点分别为 x1 ，x2，且 x1 (0,1) ，3 2x2 (1, ) ，记分别以 m，n 为横、纵坐标的点 P (m, n) 表示的平面区域为 D，若函数y loga (x 4)(a 1)的图象上存在区域 D内的点，则实数 a 的取值范围为A (1,3 B (1,3) C (3, ) D 3, )12设点 P在曲线xy e 上，点 Q在曲线1y 1 (x 0) x上，则 | PQ |的最小值为A22( 1)e B 2(e 1) C22D 2第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分

6、。将答案填在答题卡的相应位置上。 ）13若复数 z 1 i ，则zzi_。14已知双曲线2 2x y 2 2 1(a 0,b 0)a b的右焦点为F，由 F 向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为_。15已知平面区域 =( x, y)y 02y 4 x，直线 l: y mx 2m 和曲线 C: y 4 x2有两个不同的交点，直线 l 与曲线 C围城的平面区域为M，向区域 内随机投一点 A，点 A落在区域 M内的概率为P(M ) ，若2P(M ) ,1 ，则实数 m的取值范围是 _。216已知 ABC中， A, B, C的对边分别为a,b,c ，若 a =

7、 1,2cosC + c = 2b，则 ABC的周长的取值范围是 _。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）2 已知正项数列满足4S (a 1) 。n n（1）求数列 a 的通项公式；n（2）设bn1a an n1，求数列 bn 的前 n 项和 T n。n。18（本小题满分 12 分）从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高。 据测量， 被测学生身高全部介于 155cm到 195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组 155,160) ，第二组160,165) ， ，第八组 190,19

8、5 。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。（1）求第六组、 第七组的频率， 并估算高三年级全体男生身高在 180cm以上（含 180cm）的人数；（2）学校决定让这 50 人在运动会上组成一个高旗队，在这 50 人中要选身高在 180cm以上（含 180cm）的三人作为队长，记 X 为身高在 180,185) 的人数，求 X 的分布列和数学期望。19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中， PAAD，ABCD，CDAD，AD = CD = 2AB = 2 ，E，F 分别为 PC，CD的中点， DE = EC。（1）求证

9、：平面 ABE平面 BEF；（2）设 PA = a ，若平面 EBD与平面 ABCD所成锐二面角 , 4 3，求 a 的取值范围。20（本小题满分 12 分）已知椭圆2 2x yC : 1(a b 0)2 2a b过点3( 3, )2，离心率1e ，若点 M (x0, y0 ) 在2x y椭圆 C上，则点 ( 0 , 0 )Na b称为点 M的一个 “椭点”，直线 l 交椭圆 C于 A、B 两点， 若点 A、B的“椭点”分别是 P、Q，且以 PQ为直径的圆经过坐标原点 O。（1）求椭圆 C的方程；（2）若椭圆 C的右顶点为 D，上顶点为 E，试探究 OAB的面积与 ODE的面积的大小关系，并证

10、明。21（本小题满分 12 分）已知函数2f (x) ax x xln x(a 0)。（1）若函数满足 f (1) 2，且在定义域内 f (x) bx2 2x恒成立，求实数 b 的取值范围；（2）若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数，求实数 a 的取值范围；（3）当1ex y1时，试比较yx与1 ln1 lnyx的大小。选考题：请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图所示， 已知 PA与O 相切，A为切点， 过点 P 的割线交圆于 B、C两点， 弦 CDAP，AD、BC相交于点 E，F

11、为 CE上一点，且 DE2 = EF EC。（1）求证： CE EB = EF EP；（2）若 CE:BE = 3:2 ，DE = 3 ，EF = 2 ，求 PA的长。23（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 1 24，圆 C 的圆心是C ，半径为 2 。( 2, ) 4（1）求圆 C的极坐标方程；（2）求直线 l 被圆 C所截得的弦长。24（本小题满分 10 分）选修4-5 ：不等式选讲设函数 f (x) |2x 1| | x 3| 。（1）解不等式 f (x) 0；（2）已知关于 x 的不等式 a 3 f (x)

12、恒成立，求实数 a 的取值范围。2019 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A B B B C C D C B B D二、填空题：13. 1 14. 2 15. 0,1 16. 2,3三、解答题：17. ( ) 整理得 an a 2 4分n 1又 a 1 得 an 2n 1 6 分11 1 1( ) 由（ 1）知 )bn ( 8 分2 2n 1 2n 1所以nTn 12 分2n 118. 解: ( ) 第六组p 0 .08 2 分第七组p 0 .06 4 分估计人数为180 6分(

13、) X 可能的取值为 0,1, 2,14. 7 分P( x 0) 35 39CC542P(x1)1 2C C4 5 3C92042P(x 2)2 1C C4 53C91542P(x3) 34CC 39242所以 X 的分布列X 0 1 2 3P5421021514121 10 分E(X ) =43. 12 分19.( ) AB / CD, CD AD, AD CD 2AB 2， F 分别为 CD 的中点，ABFD 为矩形，AB BF 分2DE EC, DC EF , 又 AB / CD , AB EFBF EF E, AE 面 BEF , AE 面 ABE ,平面 ABE 平面BEF 4 分(

14、 ) DE EC, DC EF , 又 PD / EF ， AB / CD, AB PD又 AB PD , 所以 AB 面PAD , AB PA 6 分法一：建系 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z轴,aB (1,0,0), D (0,2,0) P (0,0, a) ，C (2,2,0) , )E (1,1,2平面 BCD 法向量 n1 (0,0,1) ，平面 EBD 法向量n2 ( 2a, a, 2) 9 分cos225a412,22，可得2 5 2 15a , . 12 分5 5法二：连 AC 交 BF 于点 K , 四边形 ABCF 为平行四边形，所以 K 为 AC 的

15、中点，连 EK ,则 EK / PA, EK 面 ABCD , BD EK ,作 KH BD 于 H 点，所以 BD 面 EKH ,连 EH , 则 BD EH , EHK 即为所求 9 分a在 Rt EHK 中，5a1 2 1 2HK , tan 1, 31225 55解得2 5 2 15a 12 , 5 5分15. ( ) 由已知3aa22c324b2b 112c2 2解得 4a ，b 3 ，方程为a 22 y2x4 31 3 分x1 y x y1 2 2( ) 设 A( x1 ,y1), B( x2 , y2 ) ，则 )P( , ), Q( ,2 2 3 3（1）当直线 l 的斜率存在

16、时，设方程为 y kx my kx2 y2x4 3m12 x2 kmx m2联立得： (3 4k ) 8 4( 3) 048(3 4k22m )0有x1x1x2x28km324(m24k3)234k由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O可得： 3 4 0x1x y y 2 1 2 2 x x km x x m2整理得： (3 4k ) 4 ( ) 4 0 1 2 1 2将式代入式得：2 223 4k m , 6 分3 4k2 m m2 20, 0, 480又点 O 到直线 y kx m 的距离dm21 kAB 12kx1x 12k24 33324k24k2m1 k2433m24k12k4322

17、mm 8 分所以21 2 3mS OAB 10 分ABd 322 2m(2) 当直线 l 的斜率不存在时，设方程为 x m（ 2 m 2 ）联立椭圆方程得：y22 3(4 m4)22 3(4 m )代入 3x1x2 4y1y2 0得到 03m 即4 2 5m ， 5y2155S OAB12ABd12my1 y23综上： OAB 的面积是定值 31又 ODE 的面积 2 3 32，所以二者相等. 12 分16. ( ) 由原式1 ln x1 b ， 1x x分令1 ln xg x) 1( ，可得 g( x) 在 0,1 上递减，x x在 1, 上递增，所以 g( )min g (1) 0x即b

18、0 3分（） f (x) 2ax ln x,(x 0)ln x令 ，f (x) 0,得2axln x设 ，当x e时h( x)xh( x)max1e1当a 时，函数 f (x) 在(0, ) 单调递2e增 5 分1若 ，0 a2eg(x) 2ax ln x,(x 0), g (x) 2a1xg (x) 0, x12a，x(0,12a),g1/ g x/( x) 0, x ( , ), ( )2a0x12a时取得极小值即最小值1 1 1而当0 a 0时 g ，( ) 1 ln2e 2a 2af ， f ( x) 必有极值，在定义域上不单( ) 0/ x必有根调 8分a12e 9 分（）由 (I)

19、 知1 ln xg(x) 1 在 (0,1) 上单调递减x1 x y 1e时， g( x) g( y) 即1 ln x 1 ln y 10 分 x y而 1 x y 1e 时，1 ln x 0, 1 ln x 0y1 ln yx 1 ln x 12 分17. （I ） DE 2 EF EC ， EDF C ，又 P C ， EDF P ， EDF PAE EA ED EF EP 又 EA ED CE EB ， CE EB EF EP 5 分（II ） BE 3，9CE ，2BP154PA 是 O的切线， PA2 PB PC ，15 3PA 104分18.（ ）圆 C 的极坐标方程为：)2 2 sin( 54 分 （）圆心到直线距离为 1，圆半径为 2 ，所以弦长为 2 10分19. （） f (x) 0的解集为：2( , 4) ( , ) 5