Matlab软件与数学建模1.docx
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Matlab软件与数学建模1
第一篇Matlab用法简介
绪言
Matlab是“MatrixLaboratory”的缩写，意为“矩阵实验室”，是当今美国很流行的科学计算软件．信息技术、计算机技术发展到今天，科学计算在各个领域得到了广泛的应用．在许多诸如控制论、时间序列分析、系统仿真、图像信号处理等方面产生了大量的矩阵及其相应的计算问题．自己去编写大量的繁复的计算程序，不仅会消耗大量的时间和精力，减缓工作进程，而且往往质量不高．美国Mathwork软件公司推出的Matlab软件就是为了给人们提供一个方便的数值计算平台而设计的．
Matlab是一个交互式的系统，它的基本运算单元是不需指定维数的矩阵，按照IEEE的数值计算标准（能正确处理无穷数Inf（Infinity）、无定义数NaN（not-a-number）及其运算）进行计算．系统提供了大量的矩阵及其它运算函数，可以方便地进行一些很复杂的计算，而且运算效率极高．Matlab命令和数学中的符号、公式非常接近，可读性强，容易掌握，还可利用它所提供的编程语言进行编程完成特定的工作．除基本部分外，Matlab还根据各专门领域中的特殊需要提供了许多可选的工具箱，如应用于自动控制领域的ControlSystem工具箱和神经网络中NeuralNetwork工具箱等．
第一节 Matlab的安装及使用
§1.1Matlab的安装
Matlab有各种版本，早期有Matlab1.0for386的DOS版本，后来逐步发展．这里介绍的版本是Matlab6.xforWindows．因为它使用方便，界面美观，我们选择它作为主要讲解版本．Matlab还有许多附加的部分，最常见的部分称为Simulink，是一个用作系统仿真的软件包，它可以让您定义各种部件，定义各自对某种信号的反应方式及与其它部件的连接方式．最后选择输入信号，系统会仿真运行整个模拟系统，并给出统计数据．Simulink有时是作为Matlab的一部分提供的，称为MatlabwithSimulink版本．Matlab还有许多工具箱，它们是根据各个特殊领域的需要，用Matlab自身的语言编写的程序集，使用起来非常方便．您可以视工作性质和需要购买相应的工具箱．常见的工具箱有：
SignalProcess
信号处理
SystemIdentification
系统辨识
Optimization
优化
NeuralNetwork
神经网络
ControlSystem
自动控制
Spline
样条
SymbolicMath
符号代数
ImageProcess
图像处理
NonlinearControl
非线性控制
Statistics
统计
§1.2Matlab基本用法
从Windows中双击Matlab图标，会出现Matlab命令窗口（CommandWindow），在一段提示信息后，出现系统提示符“>>”．Matlab是一个交互系统，您可以在提示符后键入各种命令，通过上下箭头可以调出以前打入的命令，用滚动条可以查看以前的命令及其输出信息．
如果对一条命令的用法有疑问的话，可以用Help菜单中的相应选项查询有关信息，也可以用help命令在命令行上查询，您可以试一下help、helphelp和helpeig（求特征值的函数）命令．
下面我们先从输入简单的矩阵开始掌握Matlab的功能．
§1.2.1输入简单的矩阵
输入一个小矩阵的最简单方法是用直接排列的形式．矩阵用方括号括起，元素之间用空格或逗号分隔，矩阵行与行之间用分号分开．例如输入：
A=[123;456;780]
系统会回答
A=
123
456
780
表示系统已经接收并处理了命令，在当前工作区内建立了矩阵A．
大的矩阵可以分行输入，用回车键代替分号，如：
A=[123
456
780]
结果和上式一样，也是
A=
123
456
780
§1.2.2矩阵元素
Matlab的矩阵元素可以是任何数值表达式．如：
x=[-1.3sqrt（3）（1+2+3）*4/5]
结果：
x=
-1.30001.73214.8000
在括号中加注下标，可取出单独的矩阵元素．如：
x（5）=abs（x
（1））
结果
x=
-1.30001.73214.800001.3000
注：
结果中自动产生了向量的第5个元素，中间未定义的元素自动初始为零．
大的矩阵可把小的矩阵作为其元素来完成，如：
A=[A;[101112]]
结果
A=
123
456
780
101112
小矩阵可用“:
”从大矩阵中抽取出来，如：
A=A（1:
3,:
）;
即从A中取前三行和所有的列，重新组成原来的A.（详细介绍参见第二节的相关内容）
§1.2.3语句和变量
Matlab的表述语句、变量的类型说明由Matlab系统解释和判断．Matlab语句通常形式为：
变量=表达式
或者使用其简单形式为：
表达式
表达式由操作符或其它特殊字符、函数和变量名组成．表达式的结果为一个矩阵，显示在屏幕上，同时保存在变量中以留用．如果变量名和“=”省略，则具有ans名（意思指回答）的变量将自动建立．例如：
键入1900/81
结果为：
ans=
23.4568
需注意的问题有以下几点：
●语句结束键入回车键，若语句的最后一个字符是分号，即“;”，则表明不输出当前命令的结果．
●如果表达式很长，一行放不下，可以键入“…”（三个点，但前面必须有个空格，目的是避免将形如“数2…”理解为“数2.”与“..”的连接，从而导致错误），然后回车．
●变量和函数名由字母加数字组成，但最多不能超过63个字符，否则系统只承认前63个字符．
●Matlab变量字母区分大小写，如A和a不是同一个变量，函数名一般使用小写字母，如inv（A）不能写成INV（A），否则系统认为未定义函数．
§1.2.4who和系统预定义变量
输入who命令可检查工作空间中建立的变量，键入：
who
系统输出为：
Yourvariablesare:
Aansx
这里表明三个变量已由前面的例子产生了．
但列表中列出的并不是系统全部的变量，系统还有以下内部变量：
eps、pi、Inf、NaN
变量eps在决定诸如矩阵的奇异性时，可作为一个容许差，容许差的初值为1.0到1.0以后计算机所能表示的下一个最大浮点数，IEEE在各种计算机、工作站和个人计算机上使用这个算法．用户可将此值置为任何其它值（包括0值）．Matlab的内部函数pinc和rank以eps为缺省的容许差．
变量pi是，它是用imag（log（-1））建立的.
Inf表示无穷大．如果您想计算1/0
S=1/0
结果会是
Warning：
Dividebyzero
S=Inf
具有IEEE规则的机器，被零除后，并不引出出错条件或终止程序的运行，而产生一个警告信息和一个特殊值在计算方程中列出来．
变量NaN表示它是个不定值．由Inf/Inf或0/0运算产生．
要了解当前变量的信息请键入whos，屏幕将显示：
NameSizeBytesClass
A4x396doublearray
S1x18doublearray
ans1x18doublearray
x1x540doublearray
Grandtotalis19elementsusing152bytes
从size及bytes项目可以看出，每一个矩阵实元素需8个字节的内存．4×3的矩阵使用96个字节，全部变量的使用内存总数为152个字节．自由空间的大小决定了系统变量的多少，如计算机上有虚拟内存的话，其可定义的变量个数会大大增加．
§1.2.5数和算术表达式
Matlab中数的表示方法和一般的编程语言没有区别．如：
3-990.0001
9.639721.6021E-206.02252e23
在计算中使用IEEE浮点算法其舍入误差是eps．浮点数表示范围是10-308~10308．
数学运算符有：
+加
-减
*乘
/右除
\左除
^幂
这里1/4和4\1有相同的值都等于0.25（注意比较：
1\4=4）．只有在矩阵的除法时左除和右除才有区别．
§1.2.6复数与矩阵
在Matlab中输入复数首先应该建立复数单位：
i=sqrt（-1）
及j=sqrt（-1）
之后复数可由下面语句给出：
Z=3+4i（注意：
在4与i之间不要留有任何空间!
）
输入复数矩阵有两个方便的方法，如：
A=[12;34]+i*[56;78]
和A=[1+5i2+6i;3+7i4+8i]
两式具有相等的结果．但当复数作为矩阵的元素输入时，不要留有任何空间，如1+5i，如在“+”号左右留有空格，就会被认为是两个分开的数．
不过实际使用复数时并没有这么麻烦，系统有一个名为startup.m的Matlab命令文件，建立复数单位的语句也放在其中．当Matlab启动时，此文件自动执行，i和j将自动建立．
§1.2.7输出格式
任何Matlab语句执行结果都可在屏幕上显示，同时赋给指定的变量，没有指定变量时赋给ans．数字显示格式可由format命令来控制（Windows系统下的Matlab系统的数字显示格式可以由Option菜单中的NumericalFormat菜单改变）．format仅影响矩阵的显示，不影响矩阵的计算与存贮．（Matlab以双精度执行所有的运算）
首先，如果矩阵元素是整数则矩阵显示就没有小数，如x=[-101]，结果为：
x=
-101
如果矩阵元素不是整数则输出形式有：
（用命令：
format格式进行切换）
格式
中文解释
说明
format
短格式
（缺省格式）
Default.SameasSHORT
formatshort
短格式
（缺省格式）
Scaledfixedpointformatwith5digits
（只显示五位十进制数）
formatlong
长格式
Scaledfixedpointformatwith15digits
formatshorte
短格式e方式
Floatingpointformatwith5digits
formatlonge
长格式e方式
Floatingpointformatwith15digits
formatshortg
短格式g方式
Bestoffixedorfloatingpointformatwith5digits
formatlongg
长格式g方式
Bestoffixedorfloatingpointformatwith15digits
formathex
16进制格式
Hexadecimalformat
format+
+格式
Thesymbols+,-andblankareprintedforpositive,negativeandzeroelements.Imaginarypartsareignored
formatbank
银行格式
Fixedformatfordollarsandcents
formatrat
有理数格式
Approximationbyratioofsmallintegers
formatcompact
压缩格式
Suppressextraline-feeds
formatloose
自由格式
Putstheextraline-feedsbackin
例如：
x=[4/31.2345e-6]
在不同的输出格式下的结果为：
短格式1.33330.0000
短格式e方式1.3333e+0001.234e-006
长格式1.3333333333333330.000001234500000
长格式e方式1.333333333333333e-0001.23450000000000e-006
有理数格式4/31/810045
16进制格式3ff55555555555553eb4b6231abfd271
+格式++
对于短格式，如果矩阵的最大元素比数999999999大，或者比数0.0001小，则在打印时，将加入一个普通的长度因数．如y=1.e20*x，意为x被1020乘，结果为：
y=
1.0e+020*
1.33330.0000
“+”格式是显示大矩阵的一种紧凑方法，“+”，“-”和空格显示正数、负数和零元素．
最后formatcompact命令压缩显示的矩阵，以允许更多的信息显示在屏幕上．
§1.2.8Help求助命令和联机帮助
Help求助命令很有用，它对Matlab大部分命令提供了联机求助信息．您可以从Help菜单中选择相应的菜单，打开求助信息窗口查询某条命令，也可以直接用help命令．
键入help
得到help列表文件，键入“help指定项目”，如：
键入helpeig
则提供特征值函数的使用信息．
键入help[
显示如何使用方括号等．
键入helphelp
显示如何利用help本身的功能．
还有，键入lookfor<关键字>：
可以从m文件的help中查找有关的关键字．
§1.2.9退出和存入工作空间
退出Matlab可键入quit或exit或选择相应的菜单．中止Matlab运行会引起工作空间中变量的丢失，因此在退出前，应键入save命令，保存工作空间中的变量以便以后使用．
键入save
则将所有变量作为文件存入磁盘Matlab.mat中，下次Matlab启动时，
键入load
将变量从Matlab.mat中重新调出．
save和load后边可以跟文件名或指定的变量名，如仅有save时，则只能存入Matlab.mat中．如savetemp命令，则将当前系统中的变量存入temp.mat中去，命令格式为：
savetempx仅仅存入x变量．
savetempXYZ则存入X、Y、Z变量．
loadtemp可重新从temp.mat文件中提出变量，load也可读ASCII数据文件．详细语法见联机帮助．
第二节 向量与矩阵运算
Matlab能处理数、向量和矩阵．但一个数事实上是一个1×1的矩阵，1个n维向量也不过是一个1×n或n×1的矩阵．从这个角度上来讲，Matlab处理的所有的数据都是矩阵．Matlab的矩阵处理能力是非常灵活、强大的．以下我们将从矩阵的产生、基本运算、矩阵函数等几个方面来说明．
§2.1向量及矩阵的生成
除了我们在上节介绍的直接列出矩阵元素的输入方法，矩阵还可以通过几种不同的方式输入到Matlab中．
§2.1.1通过语句和函数产生
1.向量的产生
除了直接列出向量元素（即所谓的“穷举法”）外，最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用“:
”算符（即所谓的“描述法”）．在Matlab中，它是一个很重要的字符．如：
z=1:
5
z=
12345
即产生一个1~5的单位增量是1的行向量，此为默认情况.
用“:
”号也可以产生单位增量不等于1的行向量，语法是把增量放在起始量和结尾量的中间．如：
x=0:
pi/4:
pi
即产生一个由0~pi的行向量，单位增量是pi/4=3.1416/4=0.7854．
x=
00.78541.57082.35623.1416
也可以产生单位增量为负数的行向量．如：
y=6:
-1:
1
y=
654321
2.矩阵的产生
Matlab提供了一批产生矩阵的函数：
zeros
产生一个零矩阵
diag
产生一个对角矩阵
ones
生成全1矩阵
tril
取一个矩阵的下三角
eye
生成单位矩阵
triu
取一个矩阵的上三角
magic
生成魔术方阵
pascal
生成PASCAL矩阵
例如：
ones（3）
ans=
111
111
111
eye（3）
ans=
100
010
001
除了以上产生标准矩阵的函数外，Matlab还提供了产生随机（向量）矩阵的函数rand和randn，及产生均匀级数的函数linspace、产生对数级数的函数logspace和产生网格的函数meshgrid等等．详细使用请查阅随机文档．
“:
”冒号可以用来产生简易的表格，为了产生纵向表格形式，首先用冒号“:
”产生行向量，再进行转置，计算函数值的列，然后形成有二列的矩阵．例如命令：
x=（0.0:
0.2:
3.0）';
y=exp（-x）.*sin（x）;
[xy]
产生结果为：
ans=
00
0.20000.1627
0.40000.2610
0.60000.3099
0.80000.3223
1.00000.3096
1.20000.2807
1.40000.2430
1.60000.2018
1.80000.1610
2.00000.1231
2.20000.0896
2.40000.0613
2.60000.0383
2.80000.0204
3.00000.0070
§2.1.2通过后缀为.m的命令文件产生
如有文件data.m，其中包括正文：
A=[123
456
780]
则用data命令执行data.m，可以产生名为A的矩阵．
§2.2矩阵操作
在Matlab中可以对矩阵进行任意操作，包括改变它的形式，取出子矩阵，扩充矩阵，旋转矩阵等．其中最重要的操作符为“:
”，它的作用是取出选定的行与列．
例如：
A（:
:
）代表A的所有元素；试比较A（:
）,将A按列的方向拉成长长的1列（向量）；
A（:
J）代表A的第J列；
A（J:
K）代表A（J）,A（J+1）,…,A（K），如同A（:
）的第J到第K个元素；
A（:
J:
K）代表A（:
J）,A（:
J+1）,…,A（:
K），如此类推.
对矩阵可以进行各种各样的旋转、变形、扩充：
Matlab中有内部函数fliplr（Flipmatrixintheleft/rightdirection），它对矩阵进行左右旋转.
例x=123fliplr（x）为321
456654
同样有flipud：
x=14flipud（x）为36
2525
3614
矩阵的转置用符号“'”表示：
如A=[123;456;780]
那么：
计算B=A'
B=
147
258
360
符号“'”为矩阵的转置，如果Z为复矩阵，则Z'为它的复数共轭转置，非共轭转置使用Z.'或conj（Z'）求得．
reshape改变矩阵的形状，这是什么意思呢？
可举一个例子来说明．
A=[A;[101112]]
A=
123
456
780
101112
则reshape（A,2,6）
ans=
172830
410511612
可见，reshape是将矩阵元素以列为单位进行重组，原来4×3的矩阵变为了2×6的矩阵．那么以下的语句也不难理解了，它将矩阵A按列打开（size函数返回矩阵A的行数与列数）．
reshape（A,1,size（A,1）*size（A,2）），它等价于A（:
）'.
还有函数rot90，它可以将矩阵进行各种90度的旋转；tril及triu取出矩阵的下三角及上三角阵等．详细的用法可以在需要使用时查阅手册．
第三节 矩阵的基本运算
§3.1加和减
如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如：
A=B=
123147
456258
780360
C=A+B返回：
C=
2610
61014
10140
如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如：
x=-1y=x-1=-2
0-1
21
§3.2矩阵乘法
Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．
§3.2.1矩阵的普通乘法
矩阵乘法用“*”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．
如：
A=[12;34];B=[56;78];C=A*B，
结果为
C=
×
=
=
即Matlab返回：
C=
1922
4350
如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵．
§3.2.2矩阵的Kronecker乘法
对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：
由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A
B表示矩阵A的所有元素与B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B
A则完全类似．A
B和B
A均为np×mq矩阵，但一般情况下A
B
B
A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron（A,B），例如给定两个矩阵A和B：
A=
B=
则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：
A=[12;34];B=[132;246];C=kron（A,B）
C=
132264
2464812
3964128
6121881624
作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的：
A=[12;34];B=[132;246];D=kron（B,A）
D=
123624
3491268
2448612
6812161824
§3.3矩阵除法
在Matlab中有两种矩阵除法符号：
“＼”即左除和“／”即右除．如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B是A的逆矩阵乘B，即inv（A）*B；而B/A是B乘A的逆矩阵，即B*inv（A）．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算
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