专题11隐圆问题原卷版.docx
《专题11隐圆问题原卷版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11隐圆问题原卷版.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
专题11隐圆问题原卷版
专题 11隐圆问题
直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没
有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终
可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题
类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
典例1如果圆 （ x - 2a）2 + （ y - a - 3）2 = 4 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是
________
类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
典例 2已知圆 O :
x2 + y 2 = 5, A, B 为圆 O 上的两个动点，且 AB = 2, M 为弦 AB 的中点，
C 2 2, a , D 2 2, a + 2 .当 A, B 在圆 O 上运动时，始终有 ∠CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围为
__________．
类型三两定点 A、B，动点 P 满足
PA
PB
= λ（λ > 0, λ ≠ 1） 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）
典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向
相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3
倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数
据：
sin17 ︒ ≈
3
（2）问：
无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？
并说明理由．
1．已知 ∆ABC 中， AB = AC =
3 ， ∆ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB 2 + PC 2 = 3PA2 = 3 ，则 ∆ABC
面积的最大值为__________．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点， 点 A（1,1），且 AB⊥AC，则线段 BC 的
长的取值范围为_______
2
a > 1 ，若圆 C 上存在两个不同的点 P, Q ，使得 ∠APB = ∠AQB = 90︒ ，则实数 a 的取值范围为__________．
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（ -1，0），B（1，0）均在圆 C ：
（ x - 3 ）2 + （ y - 4 ）2 = r 2 外，
且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP ⊥ BP ，则半径 r 的值为____．
5．已知等边 ∆ABC 的边长为 2，点 P 在线段 AC 上，若满足等式 PA PB = λ 的点 P 有两个，则实数λ 的
取值范围是_____．
6.已知圆 O：
x2＋y2＝1，圆 M：
（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，
切点为 A，B，使得∠APB＝60°，则实数 a 的取值范围为____________．
B
7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C：
x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A， ，
若点 A 恰为线段 OB 的中点，则圆心 C 到直线 l 的距离为____________．
8.在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（－2，0）的直线与圆 x2＋y2＝1 相切于点 T，与圆（x－a）2＋（y－ 3）2＝3
相交于点 R，S，且 PT＝RS，则正数 a 的值为____________．
9.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：
（x－a）2＋（y＋a－3）2＝1（a＞0），点 N 为圆 M 上任意一点．若以 N 为圆
心，ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点，则 a 的最小值为__________．
→ →1
2
则实数 λ 的最大值是__________．
B
11.在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y＝－x＋2 与圆 x2＋y2＝r2（r＞0）交于 A， 两点．若圆上存在一点 C，
44
12.已知圆 M：
（x－1）2＋（y－1）2＝4，直线 l：
x＋y－6＝0，A 为直线 l 上一点．若圆 M 上存在两点 B，C，
使得∠BAC＝60°，则点 A 横坐标的取值范围是__________．
13.已知点 A（0，2）为圆 M：
x2＋y2－2ax－2ay＝0（a＞0）外一点，圆 M 上存在点 T 使得∠MAT＝45°，则实
数 a 的取值范围是________________．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1，圆 O2 均与 x 轴相切且圆心 O1，O2 与原点 O 共线，O1，O2 两
点的横坐标之积为 6，设圆 O1 与圆 O2 相交于 P，Q 两点，直线 l：
2x－y－8＝0，则点 P 与直线 l 上任意一
点 M 之间的距离的最小值为____________．
15.已知直线 l 过点 P（1，2）且与圆 C：
x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点，△ABC 的面积为 1，则直线 l 的方程为
________________．
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
x2＋（y－1）2＝5，A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点，过 A 作圆 C 的
弦 AB，记线段 AB 的中点为 M.若 OA＝OM，则直线 AB 的斜率为________．
17.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：
（x＋1）2＋（y－6）2＝25，圆 C2：
（x－17）2＋（y－30）2＝r2.若圆 C2 上存
在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A、B，满足 PA＝2AB，则半径 r 的取值范围是
______________．
18.直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝9，直线 l：
y＝kx＋3 与圆 C 相交于 A、B 两点，
M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实数 k 的取值范围为________．
19 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点 A（0，2），若圆 C 上存在点 M，满足
MA2＋MO2＝10，则实数 a 的取值范围是________．
20.平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x－1）2＋y2＝4，P 为圆 C 上一点．若存在一个定圆 M，过 P 作
圆 M 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，当 P 在圆 C 上运动时，使得∠APB 恒为 60°，则圆 M 的方
程为______________．
专题 11隐圆问题
直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没
有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终
可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题
类型一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
典例1如果圆 （ x - 2a）2 + （ y - a - 3）2 = 4 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是
________
6
5
【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解
6
2 - 1 < （0 - 2a）2 + （0 - a - 3）2 < 2 + 1∴ -< a < 0
5
类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
典例 2已 知 圆 O :
x2 + y 2 = 5, A, B 为 圆 O 上 的 两 个 动 点 ， 且 AB = 2, M 为 弦 AB 的 中 点 ，
C 2 2, a , D 2 2, a + 2 .当 A, B 在圆 O 上运动时，始终有 ∠CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围为
__________．
【答案】 （-∞, -2）⋃ （0, +∞）
【解析】由题意得 OM = 5 - 1 = 2 ，
∴点 M 在以 O 为圆心，半径为 2 的圆上．
设 CD 的中点为 N ，则 N 2 2, a + 1 ，且 CD = 2 ．
∵当 A, B 在圆 O 上运动时，始终有 ∠CMD 为锐角，
∴以 O 为圆心，半径为 2 的圆与以 N 2 2, a + 1 为圆心，半径为 1 的圆外离．
∴
2
> 3 ，
整理得 （a + 1）2 > 1 ，
解得 a < -2 或 a > 0 ．
∴实数 a 的取值范围为 （-∞, -2）⋃ （0, +∞）．
类型三两定点 A、B，动点 P 满足 PA
PB
= λ（λ > 0, λ ≠ 1） 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）
典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向
相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3
倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数
据：
sin17 ︒ ≈
3
（2）问：
无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？
并说明理由．
【答案】
（1）略
（2）能
【解析】：
（1）略
（2）如图乙，
以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则 B（2, 2 3） ，设缉私艇在P（x，y）处
（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则 PA = 3
PB
即
x2 + y 2
（ x - 2）2 + （ y - 2 3） 2
⎛ 9 ⎫2 ⎛ 9 ⎫2 9
⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 4
⎛ 9 9⎫
⎝ 4 4⎭
所以缉私艇能在领海内截住走私船．
3
2
1．已知 ∆ABC 中， AB = AC =3 ， ∆ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB 2 + PC 2 = 3PA2 = 3 ，则
∆ABC 面积的最大值为__________．
【答案】 5 23
16
【解析】设 BC = 2a ，以 BC 所在直线为 x 轴、其中垂线 OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系（如图所
示），
则 B （-a,0 ）, C （a,0 ）, A 0, 3 - a2 ，设 P （x, y ） ，由 PB 2 + PC 2 = 3PA2 = 3 ，得 {
3
即 {x2 + y 2 =
- a2
2，
x2 + y 2 - 2 3 - a 2 y + 3 - a 2 = 1
7
- 2a2 = 2 3 - a2 y
则 {，
3 - a 2 - 1 ≤ y ≤ 3 - a 2 + 1
则 2 （3 - a 2 ）- 2 3 - a 2 ≤ 2 3 - a 2 y ≤ 2 （3 - a 2 ）+ 2 3 - a 2 ，
（ x + y 2 + （ x + y 2 = 3
x2 + （ y = 1
，
即 2 （3 - a 2 ）- 2 3 - a 2 ≤
7
2
- 2a 2 ≤ 2 （3 - a 2 ）+ 2 3 - a 2 ，
解得 a ≤
23
4
，即 S
1 5 23
∆ABC = 16
，
即 ∆ABC 面积的最大值为
5 23
16
.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点， 点 A（1,1），且 AB⊥AC，则线段 BC 的
长的取值范围为_______
【答案】 [ 6 - 2, 6 + 2]
【解析】
设BC的中点为M （x,y），,
因为 OB 2 = OM 2 + BM 2 = OM 2 + AM 2 ，
所以 4 = x2 + y 2 + （ x - 1）2 + （ y - 1）2 ，
⎛1 ⎫2⎛1 ⎫23
⎝2 ⎭⎝2 ⎭2
⎛ 1 1 ⎫3 2⎡ 6 - 26 + 2 ⎤
⎣⎦
所以 BC 的取值范围是[ 6 - 2, 6 + 2] ．
2
a > 1 ，若圆 C 上存在两个不同的点P, Q ，使得 ∠APB = ∠AQB = 90︒ ，则实数 a 的取值范围为
__________．
【答案】 1 + 7 ≤ a ≤ 1 + 17
【解析】原问题等价于以 A, B 为圆心的圆与圆 C 有两个交点，
AB 中点坐标为 （0,0 ） ，以 A, B 为圆心的圆的半径 R = a 2 + （a - 2）2 ，
1
且圆 C 的圆心为 1,2 6 ，半径为 R = 1 ，
2
两圆的圆心距为：
d = 1 + 24 = 5 ，
结合 a > 1 可得关于实数 a 的不等式组：
{a2 + （a - 2）2 - 1 ≤ 5
a2 + （a - 2）2 + 1 ≥ 5
，
求解关于实数 a 的不等式组可得实数 a 的取值范围为 1 + 7 ≤ a ≤ 1 + 17 .
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（ -1，0），B（1，0）均在圆 C ：
（ x - 3 ）2 + （ y - 4 ）2 = r 2 外，
且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP ⊥ BP ，则半径 r 的值为____．
【答案】4
【解析】根据题意,点 A（ 1,0）,B（1,0），若点 P 满足 AP ⊥ BP ，
则点 P 在以 AB 为直径的圆上，
设 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为 （0,0）， |AB|=2，
则圆 M 的方程为 x 2 + y 2 = 1 ，
若圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP ⊥ BP ，则圆 C 与圆 M 只有一个交点，即两圆外切，
则有 r+1=|MC|=
32 + 42 = 5 ，解可得 r=4.
5．已知等边 ∆ABC 的边长为 2，点 P 在线段 AC 上，若满足等式 PA • PB = λ 的点 P 有两个，则实数 λ
的取值范围是_____．
【答案】 - 1 < λ ≤ 0
4
【解析】以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则
A （-1，）, B （1，）, C （0, 3 ） P （x, y ） ，AC：
y = 3x + 3, （-1 ≤ x ≤ 0）
2
由 PA • PB = λ 得 x 2 - 1 + y 2 = λ ， ∴ λ > ç⎪ - 1 = - 1 , λ ≤ （-1）2 + 0 - 1 = 0 ∴- 1 < λ ≤ 0
ç 2 ⎪44
⎝⎭
6.已知圆 O：
x2＋y2＝1，圆 M：
（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切
点为 A，B，使得∠APB＝60°，则实数 a 的取值范围为____________．
⎡
【答案】⎢2－
⎣
2 2⎤
，2＋ ⎥
2 2 ⎦
【解析】设 P（x，y），sin∠OPA＝sin30°＝1
x2＋y2
，则 x2＋y2＝4 ①.又 P 在圆 M 上，则（x－a）2＋（y－a
4
2
4
4－ 24＋ 2
＋4）2＝1②.由①②得 1≤ a2＋（a－4）2≤3，所以≤a≤.
7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C：
x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，B，
若点 A 恰为线段 OB 的中点，则圆心 C 到直线 l 的距离为____________．
3 6
【答案】
【解析】∵ 圆 C1：
x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为（x－3）2＋y2＝4，∴ 圆 C1 的圆心坐标为（3，
0）；设直线 l 的方程为 y＝kx，A（x1，y1），B（x2，y2），联立（x－3）2＋y2＝4，y＝kx，消去 y 可得（1＋k2）x2
1131515
22555
3 6
x，由点到直线的距离公式知，所求的距离为.
8.在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（－2，0）的直线与圆 x2＋y2＝1 相切于点 T，与圆（x－a）2＋（y－ 3）2＝3
相交于点 R，S，且 PT＝RS，则正数 a 的值为____________．
【答案】4
【解析】圆 x2＋y2＝1 半径为 1，PO＝2，则直线 PT 的倾斜角为 30°，则直线方程为 x－ 3y＋2＝0，PT＝ 3，
RS＝ 3，圆（x－a）2＋（y－ 3）2＝3 的半径为 3，则圆（x－a）2＋（y－ 3）2＝3 的圆心（a， 3）到直线 PT 的
3
距离为 ，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数 a＝4.
9.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：
（x－a）2＋（y＋a－3）2＝1（a＞0），点 N 为圆 M 上任意一点．若以 N 为圆
心，ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点，则 a 的最小值为__________．
【答案】3
【解析】根据题意，圆M 与以 N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则dMN≤dON－1，即 1≤dON－1.所以 dON
≥2 恒成立．因为 N 在圆 M 上运动，所以 dON 的最小值为 dOM－1，即 dOM－1≥2，所以 a2＋（3－a）2≥3，解
得 a≥3，所以 a 的最小值为 3.
→→1
2
内，则实数 λ 的最大值是__________．
3
【答案】－
→→
＋y2＝λ ＋1，得 （x－1）2＋y2＝ λ ＋1，点 C 的轨迹是以（1，0）为圆心 λ ＋1为半径的圆且与 x2＋y2＝
113
外离或相切．所以 λ＋1≤ ，λ的最大值为－ .
11.在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y＝－x＋2 与圆 x2＋y2＝r2（r＞0）交于 A，B 两点．若圆上存在一点 C，
44
【答案】 10
4416441616816
331
555
心到直线的距离为 OD＝
2
2
2
1 OD2 2
12.已知圆 M：
（x－1）2＋（y－1）2＝4，直线 l：
x＋y－6＝0，A 为直线 l 上一点．若圆 M 上存在两点 B，C，
使得∠BAC＝60°，则点 A 横坐标的取值范围是__________．
【答案】[1，5]
【解析】圆 M：
（x－1）2＋（y－1）2＝4 上存在两点 B，C，使得∠BAC＝60°，说明点 A（x，y）到 M （1，1）的距
离小于等于 4，即（x－1）2＋（y－1）2≤16，而 y＝6－x，得 x2－6x＋5≤0，即 1≤x≤5.点 A 横坐标的取值范
围为[1，5]．
13.已知点 A（0，2）为圆 M：
x2＋y2－2ax－2ay＝0（a＞0）外一点，圆 M 上存在点 T 使得∠MAT＝45°，则实数
a 的取值范围是________________．
【答案】 3－1≤a＜1
【解析】点 A（0，2）在圆 M：
x2＋y2－2ax－2ay＝0（a＞0）外，得 4－4a＞0，则 a＜1.圆 M 上存在点 T 使得∠MAT
＝45°，则 AM ≤r＝ 2a，即 AM≤2a，（a－2）2＋a2≤4a2（a＞0），解得 3－1≤a.综上，实数 a 的取值范围
2
是 3－1≤a＜1.
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1，圆 O2 均与 x 轴相切且圆心 O1，O2 与原点 O 共线，O1，O2 两点的横
坐标之积为 6，设圆 O1 与圆 O2 相交于 P，Q 两点，直线 l：
2x－y－8＝0，则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间
的距离的最小值为____________．
8 5
【答案】－ 6
6 26k 236k2
＝
②，②－①，
1212366
得 2ax－ a x＋2aky－ a ky＋ a2 －a2＝0，即 2x＋2y－a－a＝0.设 P（x0，y0），则（x0－a）2＋（y0－ka）2＝k2a2，
6
0000
即 x2＋y2＝2ax0＋2ay0－a2，又 2x0＋2y0－a－a＝0，可得 2ax0＋2ay0－a2＝6，故 x2＋y2＝6，即点 P 的轨迹是
4
8 5
以原点为圆心，半径为 6的圆，则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为－ 6.
15.已知直线 l 过点 P（1，2）且与圆 C：
x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点，△ABC 的面积为 1，则直线 l 的方程为
________________．
【答案】x－1＝0，3x－4y＋5＝0
1
【解析】由
ABC＝2×2×sin∠ACB＝1，sin∠ACB＝1，∠ACB＝90°，则点 C（0，0）到直线 l 的距离为 1，
3
设直线 l 的方程为 y－2＝k（x－1），利用距离公式可得 k＝ ，此时直线 l 的方程为 3x－4y＋5＝0，当 k 不
存在时，x－1＝0 满足题意．
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：
x2＋（y－1）2＝5，A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点，过 A 作圆 C 的弦
AB，记线段 AB 的中点为 M.若 OA＝OM，则直线 AB 的斜率为________．
【答案】2
22
22
足 y0＝2x0＋4，即直线 AB 的方程为 y0＝2x0＋4，则直线 AB 的斜率为 2.
17.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：
（x＋1）2＋（y－6）2＝25，圆 C2：
（x－17）2＋（y－30）2＝r2.若圆 C2 上存
在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A、B，满足 PA＝2AB，则半径 r 的取值范围是
______________．
【答案】[5，55]
【解析】在圆 C2 上任取一点 P，过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A、B，当 AB 过圆心时，此时 PA 在
PA
该点处最小，AB 在该点情况下最大，此时在 P 点情况下最小，当 P，A，B 三点共线时，如图 1，2，PA 为
PAPA
ABAB
错误!
5≤r≤55.
18.直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝9，直线 l：
y＝kx＋3 与圆 C 相交于 A、B 两点，M
为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实数 k 的取值范围为________．
⎣4⎭
【解析】以 M 为圆心，2 为半径的圆与圆 C 总有公共点，则 C
升级会员 