专题11隐圆问题原卷版.docx

1、专题11 隐圆问题原卷版专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_类型二由圆周角的性质确定隐形圆典例2 已知圆O:x2+y2=5,A,B为圆O上的两个动点，且AB=2,M为弦AB的中点，C22,a,D22,a+2.当A,B

2、在圆O上运动时，始终有CMD为锐角，则实数a的取值范围为_类型三 两定点A、B，动点P满足PAPB=(0,1)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin173,（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由1已知ABC中，AB=AC=3，ABC所在平

3、面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3，则ABC面积的最大值为_2在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A(1,1)，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为_2a1，若圆C上存在两个不同的点P,Q，使得APB=AQB=90，则实数a的取值范围为_4在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0）均在圆C：(x-3)2+(y-4)2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足APBP，则半径r的值为_5已知等边ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式PAPB=的点P有两个，则实数的取值范围是_6.已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4)21.若圆

4、M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的取值范围为_B7.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的两点A，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为_8.在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，0)的直线与圆x2y21相切于点T，与圆(xa)2(y3)23相交于点R，S，且PTRS，则正数a的值为_9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_ 12则实数的最大值是_B11.在平面直角坐标系xOy

5、中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A，两点若圆上存在一点C，4 412.已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A横坐标的取值范围是_13.已知点A(0，2)为圆M：x2y22ax2ay0(a0)外一点，圆M上存在点T使得MAT45，则实数a的取值范围是_14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2xy80，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为_15.已知直线l过点P(1，2)且与

6、圆C：x2y22相交于A，B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为_16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y1)25，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OAOM，则直线AB的斜率为_17.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2(y6)225，圆C2：(x17)2(y30)2r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA2AB，则半径r的取值范围是_18.直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2(y1)29，直线l：ykx3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有

7、公共点，则实数k的取值范围为_19平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(xa)2(ya2)21，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2MO210，则实数a的取值范围是_20.平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为_专题11 隐圆问题直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这

8、类问题为“隐形圆”问题类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆典例1 如果圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_65【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解62-1(0-2a)2+(0-a-3)22+1- a3，整理得(a+1)21，解得a0实数a的取值范围为(-,-2)(0,+)类型三 两定点A、B，动点P满足PAPB=(0,1)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）典例3一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有

9、一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin173,（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy则B(2,23)，设缉私艇在P(x，y)处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则PA=3PB即x2+y2(x-2)2+(y-23)29292944499 44 所以缉私艇

10、能在领海内截住走私船321已知ABC中，AB=AC= 3，ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3，则ABC面积的最大值为_【答案】52316【解析】设BC=2a，以BC所在直线为x轴、其中垂线OA所在直线为y轴建立直角坐标系（如图所示），则B(-a,0),C(a,0),A0,3-a2，设P(x,y)，由PB2+PC2=3PA2=3，得3即 x2+y2=-a22 ，x2+y2-23-a2y+3-a2=17-2a2=23-a2y则 ，3-a2-1y3-a2+1则2(3-a2)-23-a223-a2y2(3-a2)+23-a2，(x+y2+(x+y2=3x2+(y=1，即2(3-a

11、2)-23-a272-2a22(3-a2)+23-a2，解得a234，即S1523ABC=16，即ABC面积的最大值为52316.2在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A(1,1)，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为_【答案】6-2,6+2【解析】设BC的中点为M(x,y)， ,因为OB2=OM2+BM2=OM2+AM2，所以4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2， 12 12 3 2 2 211 32 6-2 6+2 所以BC的取值范围是6-2,6+22a1，若圆C上存在两个不同的点 P,Q，使得APB=AQB=90，则实数a的取值范围为_【答案】1+7a

12、1+17【解析】原问题等价于以A,B为圆心的圆与圆C有两个交点，AB中点坐标为(0,0)，以A,B为圆心的圆的半径R=a2+(a-2)2，1且圆C的圆心为1,26，半径为R=1，2两圆的圆心距为：d=1+24=5，结合a1可得关于实数a的不等式组： a2+(a-2)2-15a2+(a-2)2+15，求解关于实数a的不等式组可得实数a的取值范围为1+7a1+17.4在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0）均在圆C：(x-3)2+(y-4)2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足APBP，则半径r的值为_【答案】4【解析】根据题意,点A(1,0),B(1,0)，若点P满足APBP

13、，则点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M,则M的坐标为(0,0)，|AB|=2，则圆M的方程为x2+y2=1，若圆C上存在唯一一点P满足APBP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|=32+42=5，解可得r=4.5已知等边ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式PAPB=的点P有两个，则实数的取值范围是_【答案】-1 -1=-1,(-1)2+0-1=0-102 4 4 6.已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的取值范围为_【答案】222，222【解析】设P(x，

14、y)，sinOPAsin30 1x2y2，则x2y24.又P在圆M上，则(xa)2(ya42442 424)21 .由得1a2（a4）23，所以 a .7.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为_36【答案】【解析】圆C1：x2y26x50，整理，得其标准方程为(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为(3，0)；设直线l的方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(x3)2y24，ykx，消去y可得(1k2)x21 1 3 15 152 2 5 5 536x，由点到直线的距离公式

15、知，所求的距离为 .8.在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，0)的直线与圆x2y21相切于点T，与圆(xa)2(y3)23相交于点R，S，且PTRS，则正数a的值为_【答案】4【解析】圆x2y21半径为1，PO2，则直线PT的倾斜角为30，则直线方程为x3y20，PT3，RS3，圆(xa)2(y3)23的半径为3，则圆(xa)2(y3)23的圆心(a，3)到直线PT的3距离为，由点到直线距离公式得|a1|3，则正数a4.9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_【答案】3【解析

16、】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含则dMNdON1，即1dON1.所以dON2恒成立因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM1，即dOM12，所以a2（3a）23，解得a3，所以a的最小值为3. 12内，则实数的最大值是_3【答案】 y21，得（x1）2y21，点C的轨迹是以(1，0)为圆心1为半径的圆且与x2y21 1 3外离或相切所以1，的最大值为.11.在平面直角坐标系xOy中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A，B两点若圆上存在一点C，4 4【答案】104 4 16 4 4 16 16 8 163 3 15 5 5心到直线的距离为OD2221OD221

17、2.已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A横坐标的取值范围是_【答案】1，5【解析】圆M：(x1)2(y1)24上存在两点B，C，使得BAC60，说明点A(x，y)到M(1，1)的距离小于等于4，即(x1)2(y1)216，而y6x，得x26x50，即1x5.点A横坐标的取值范围为1，513.已知点A(0，2)为圆M：x2y22ax2ay0(a0)外一点，圆M上存在点T使得MAT45，则实数a的取值范围是_【答案】31a1【解析】点A(0，2)在圆M：x2y22ax2ay0(a0)外，得44a0，则a1.圆M上存在点T

18、使得MAT45，则AMr2a，即AM2a，(a2)2a24a2(a0)，解得31a.综上，实数a的取值范围2是31a1.14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2xy80，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为_85【答案】 662 6k2 36k2，12 12 36 6得2axax2akyakya2a20，即2x2yaa0.设P(x0，y0)，则(x0a)2(y0ka)2k2a2，60 0 0 0即x2y22ax02ay0a2，又2x02y0aa0，可得2ax

19、02ay0a26，故x2y26，即点P的轨迹是485以原点为圆心，半径为6的圆，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为 6.15.已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2y22相交于A，B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为_【答案】x10，3x4y501【解析】由 ABC22sinACB1，sinACB1，ACB90，则点C(0，0)到直线l的距离为1，3设直线l的方程为y2k(x1)，利用距离公式可得k，此时直线l的方程为3x4y50，当k不存在时，x10满足题意16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y1)25，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段A

20、B的中点为M.若OAOM，则直线AB的斜率为_【答案】22 22 2足y02x04，即直线AB的方程为y02x04，则直线AB的斜率为2.17.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2(y6)225，圆C2：(x17)2(y30)2r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA2AB，则半径r的取值范围是_【答案】5，55【解析】在圆C2上任取一点P，过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，当AB过圆心时，此时PA在PA该点处最小，AB在该点情况下最大，此时在P点情况下 最小，当P，A，B三点共线时，如图1，2，PA为PA PAAB AB错误!5r55.18.直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2(y1)29，直线l：ykx3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为_ 4 【解析】以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则C