数列的概念与简单表示法.ppt

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国际象棋起源于古印度，关于国际象棋国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。

国王奖赏发明者，问他有什还有一个传说。

国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：

么要求，他答道：

“在棋盘第一个格放在棋盘第一个格放1颗麦颗麦粒，在第二个格放粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。

以此类推，颗麦粒。

以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直倍，直到到64个格子。

国王觉得这太容易了，就欣然个格子。

国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，答应了他的要求，你认为国王能满足他的要你认为国王能满足他的要求吗？

求吗？

新课导入新课导入4，5，6，7，8，9，10从下往上钢管的数目有什么规律？

从下往上钢管的数目有什么规律？

钢管的总数是多少？

如果增加钢管的层数，钢管的总数是多少？

如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？

有没有更快捷的方法求出总数？

1-2-3-4-5-6-7-想一想想一想15,5,16,16,28,32从从1984到到2004年金牌数年金牌数奥奥运运之之光光在本章我们将学在本章我们将学习数列的知识，学完习数列的知识，学完后解决这类问题那是后解决这类问题那是小菜一碟，我们拭目小菜一碟，我们拭目以待以待。

2.12.1数列的概念与简单数列的概念与简单表示法表示法教学目标教学目标（11）理解数列的概念及数列的表示方）理解数列的概念及数列的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）法（列表法、图象法、通项公式法）,能用能用函数的观点认识数列函数的观点认识数列;（22）了解数列的通项公式和递推公式）了解数列的通项公式和递推公式的意义的意义,会根据数列的通项公式写出数列的会根据数列的通项公式写出数列的任意一项任意一项;（33）知道递推公式是给出数列的一种）知道递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前方法，并能根据递推公式写出数列的前nn项项.知识与能力知识与能力知识与能力知识与能力过程与方法过程与方法过程与方法过程与方法（11）培养观察能力，推理能力，发展）培养观察能力，推理能力，发展有条理地逻辑能力；有条理地逻辑能力；（22）经历探索数列的递推公式的的过）经历探索数列的递推公式的的过程，体会利用递推公式获得数列每一项的程，体会利用递推公式获得数列每一项的过程过程情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观（11）经历和体验数学活动的过程以及数学）经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；（22）让学生在民主、和谐的氛围中感受）让学生在民主、和谐的氛围中感受学习的乐趣；学习的乐趣；（33）在探索求数列通项公式及其运用的）在探索求数列通项公式及其运用的过程中，培养一定的逻辑关系过程中，培养一定的逻辑关系.重点：

数列的概念及数列的通项公式，重点：

数列的概念及数列的通项公式，数列递推公式的概念数列递推公式的概念.教学重难点教学重难点难点：

各项的特点找出规律写出前难点：

各项的特点找出规律写出前nn项项的通项公式的通项公式.根据递推关系求通项公式根据递推关系求通项公式.数列是初等数学和高等数学的一个数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力决问题的能力.有关数列的试题经常在数有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识网络列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题。

学习中应注意应用的交汇点命题。

学习中应注意应用“联联系系”的思想、从特殊到一般的思想方法，的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法也要掌握常用方法请观察请观察:

（1）2,3,4,5,6,

（2）1，3，32，33，34，（3）0,10,20,30,1000（5）-1,1,-1,1,-1,（4）.（6）66,56,34,21,11向上面的例子中，按一定次序排列的向上面的例子中，按一定次序排列的一列数叫一列数叫数列数列.数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的项项.各项依次叫做这个数列的各项依次叫做这个数列的第第11项项，第第22项项，第第nn项项，数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成a1，a2，an，其中其中aann是数列的第是数列的第nn项。

简记为项。

简记为an.数列的分类数列的分类

（1）

（1）按项分类：

可以分为有穷数列和无穷数列按项分类：

可以分为有穷数列和无穷数列.有穷数列有穷数列:

项数有限的数列项数有限的数列无穷数列无穷数列:

项数无限的数列项数无限的数列

（2）

（2）按按的增减性分类：

的增减性分类：

递减数列递减数列:

从第从第22项起，每一项都小于它的前项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列一项的数列叫做递增数列.摆动数列摆动数列;如果从第如果从第22项起，有些项大于它项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列的数列叫摆动数列.常数列常数列:

如果它的每一项都相等，这个数列如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列叫做常数列.递增数列递增数列:

从第从第22项起，每一项都不小于它的项起，每一项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列前一项的数列叫做递增数列.上述上述6个数列中的项与序号的关系有没有规个数列中的项与序号的关系有没有规律？

如何总结这些规律？

律？

如何总结这些规律？

数列中的每一个数都对应着一个序号，反过数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数来，每个序号也都对应着一个数.如数列（如数列

（1）序号序号12345项项23456如果已知一个数列的通项公式，那么依次用如果已知一个数列的通项公式，那么依次用1，2，3，.代替公式中的代替公式中的n，就可以求出这个数，就可以求出这个数列的各项列的各项.从函数的观点看，数列可以看作是一个从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集定义域为正整数集N（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）的函数自变量从小到大一次取值）的函数自变量从小到大一次取值时对应的一列函数值，且数列的通项公式也时对应的一列函数值，且数列的通项公式也就是相应函数的解析式就是相应函数的解析式.数列可以用图像来表示：

（见下页）数列可以用图像来表示：

（见下页）anOn123456710987654321数列图象是一些点an=n+1的图象的图象如果数列如果数列an中的第中的第n项项an与与n之间的关系可以用之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公一个公式来表示，则称此公式为数列的式为数列的通项公式通项公式.也满足也满足时时，才是数列的通项公式才是数列的通项公式.注意注意：

只有当只有当aa11注意注意:

有些数列的通项公式并不唯一，有些数列的通项公式并不唯一，如数列如数列（5）并不是所有的数列都有通项公式，并不是所有的数列都有通项公式，如数列如数列（6）数列通项公式数列通项公式an=2n-1（n64）,只要依次用只要依次用n=1，2，3，4，64代替公式中的代替公式中的n，就可以，就可以求出各项，也就是说，求出各项，也就是说，a1=1,a2=2=2a1a3=4=2a2a64=263=2a63即：

即：

a1=1,an=2an-1（2n64）向上面那样，如果已知数列向上面那样，如果已知数列an的第一的第一项（或前几项），且任一项项（或前几项），且任一项aann与它的前与它的前一项一项aan-1n-1（或前几项）间的关系可以用一（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的数列的递推公式递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法递推公式也是给出数列的一种方法.题型题型1根据数列的前几项写出数根据数列的前几项写出数列的一个通项公式列的一个通项公式解决本类问题关键是观察归纳解决本类问题关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系同各项与对应的项数之间的联系同时时.要善于利用我们熟知的一些基本要善于利用我们熟知的一些基本数列，建立合理的联想，转化而达数列，建立合理的联想，转化而达到问题的解决到问题的解决例例1观察下面数列的特点，用适当观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个的数填空，并写出每个数列的一个通项公式通项公式：

（1）（）（）,

（2）1，2，4，8，（），（），32答案答案

（1）括号内填）括号内填，通项公式为，通项公式为:

an=

（2）括号内填）括号内填16，通项公式为，通项公式为:

an=2n-1分析分析

（1）根据观察：

分母的最小公倍数为）根据观察：

分母的最小公倍数为12，把各项都改成以把各项都改成以12为分母的分数为分母的分数.

（2）一看都是）一看都是2的倍数，则要分析是的倍数，则要分析是2的几的几次幂次幂.例例2

（1）3，8，15，24，

（2）-1,3,-6,10,（3）1,0,0,0,（4）6，66，666，6666，写出下面数列的通项公式，是它们写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数：

的前四项分别是下列各数：

例例22解析解析:

（1）注意观察各项与对应序号的关系，可注意观察各项与对应序号的关系，可以发现：

以发现：

3=13，8=24，15=35，24=46所以所以an=n（n+2）。

本小题也可以与数列本小题也可以与数列4，9，16，25，（n+1）2比较，得出：

比较，得出：

an=（n+2）2-1=n（n+2）.

（2）

（2）各项的公共特点是负正相间。

观察各各项的公共特点是负正相间。

观察各项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，可将各项绝对值试迟疑序号：

可将各项绝对值试迟疑序号：

=1=2=所以：

所以：

=于是于是an=（-1）n数列分子是数列分子是1，0重复变化，可看成是数重复变化，可看成是数列列1，-1，1，-1对应项和的对应项和的组成的新组成的新数列，分母是自然数列的各项，故所给数列数列，分母是自然数列的各项，故所给数列的通项公式是的通项公式是（3）（3）所给数列可改写为所给数列可改写为an=（4）将题设数列与数列将题设数列与数列9，99，999，9999，99999，an=10n-1总结评述总结评述已知一个数列的前几项，写出这个数列的已知一个数列的前几项，写出这个数列的一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数列划归，是一种重要的思路列划归，是一种重要的思路.相比较，可得相比较，可得an=（10n-1）常见数列的通项公式：

常见数列的通项公式：

（1）-1，1，-1，1，-1，1，an=（-1）n

（2）1，2，3，4，5，an=n（3）2，4，6，8，10，an=2n（4）1，3，5，7，9，an=2n-1（5）1，4，9，16，25，an=n2（6）9，99，999，9999，an=10n-1此题型大致分两类。

一类是根据此题型大致分两类。

一类是根据前几项的特点归纳猜想出的表达式。

前几项的特点归纳猜想出的表达式。

然后用数学归纳法证明：

另一类是将然后用数学归纳法证明：

另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形。

然后采用累加法、累技巧整理变形。

然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列数列（等差或差比等差或差比）方法求算通项方法求算通项题型题型2已知数列的递推关系求数已知数列的递推关系求数列的通项列的通项例例3已知数列已知数列an满足下列条件，写出它满足下列条件，写出它的前的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。

项，并归纳出数列的一个通项公式。

a1=0，an+1=an+（2n