决胜中考数学压轴题全揭秘上专题03一元二次方程及应用试题.docx
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决胜中考数学压轴题全揭秘上专题03一元二次方程及应用试题
专题03一元二次方程及应用
【考点1】一元二次方程的根的求值问题
【例1】(2019•兰州)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( )
A.﹣2B.﹣3C.﹣1D.﹣6
【答案】A
【解析】把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0,
所以a+2b=﹣1,
所以2a+4b=2(a+2b)=2×(﹣1)=﹣2.
故选:
A.
点睛:
本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
【变式1-1】(2019•遂宁)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0有一个根为x=0,则a的值为( )
A.0B.±1C.1D.﹣1
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0有一个根为x=0,
∴a2﹣1=0,且a﹣1≠0,
则a的值为:
a=﹣1.
故选:
D.
点睛:
此题主要考查了一元二次方程的解,注意二次项系数不能为零.
【变式1-2】(2019•甘肃)若一元二次方程x2﹣2kx+k2=0的一根为x=﹣1,则k的值为( )
A.﹣1B.0C.1或﹣1D.2或0
【答案】A
【解析】把x=﹣1代入方程得:
1+2k+k2=0,
解得:
k=﹣1,
故选:
A.
点睛:
此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
【考点2】配方法解一元二次方程
【例2】(2019•南通)用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=﹣9B.(x+4)2=﹣7C.(x+4)2=25D.(x+4)2=7
【答案】D
【解析】方程x2+8x+9=0,整理得:
x2+8x=﹣9,
配方得:
x2+8x+16=7,即(x+4)2=7,
故选:
D.
点睛:
此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
【变式2-1】(2019•金华)用配方法解方程x2﹣6x﹣8=0时,配方结果正确的是( )
A.(x﹣3)2=17B.(x﹣3)2=14C.(x﹣6)2=44D.(x﹣3)2=1
【答案】A
【解析】用配方法解方程x2﹣6x﹣8=0时,配方结果为(x﹣3)2=17,
故选:
A.
点睛:
此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
【考点3】因式分解法解一元二次方程
【例3】(2019•桂林)一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=0的根是 .
【答案】x1=3,x2=2
【解析】x﹣3=0或x﹣2=0,
所以x1=3,x2=2.
故答案为x1=3,x2=2.
点睛:
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
【变式3-1】(2019•十堰)对于实数a,b,定义运算“◎”如下:
a◎b=(a+b)2﹣(a﹣b)2.若(m+2)◎(m﹣3)=24,则m= .
【答案】﹣3或4
【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]2﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]2=24,
(2m﹣1)2﹣49=0,
(2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)=0,
2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0,
所以m1=﹣3,m2=4.
故答案为﹣3或4.
点睛:
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
【变式3-2】(2019•扬州)一元二次方程x(x﹣2)=x﹣2的根是 .
【答案】x1=2,x2=1.
【解析】x(x﹣2)=x﹣2,
x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0,
(x﹣2)(x﹣1)=0,
x﹣2=0,x﹣1=0,
x1=2,x2=1,
故答案为:
x1=2,x2=1.
点睛:
本题考查了解一元二次方程的应用,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.
【考点4】一元二次方程的判别式问题
【例4】(2019•铁岭)若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
【答案】a<4且a≠0
【解析】由题意可知:
△=64﹣16a>0,
∴a<4,
∵a≠0,
∴a<4且a≠0,
故答案为:
a<4且a≠0
点睛:
本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.
【变式4-1】(2019•宁夏)已知一元二次方程3x2+4x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围 .
【答案】k
.
【解析】∵方程3x2+4x﹣k=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,即42﹣4×3×(﹣k)>0,
解得k
,
故答案为:
k
.
点睛:
本题考查根的判别式,总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
【变式4-2】(2019•黄石)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根为x1、x2,且|x1﹣x2|=4,求m的值.
【解析】
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根,
∴△=(﹣6)2﹣4×1×(4m+1)≥0,
解得:
m≤2.
(2)∵方程x2﹣6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1、x2,
∴x1+x2=6,x1x2=4m+1,
∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=42,即32﹣16m=16,
解得:
m=1.
点睛:
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:
(1)牢记“当△≥0时,方程有实数根”;
(2)利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|=4,找出关于m的一元一次方程.
【考点5】一元二次方程的根与系数的关系问题
【例5】(2019•十堰)已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求a的取值范围;
(2)若x12+x22﹣x1x2≤30,且a为整数,求a的值.
【答案】
(1)a<2;
(2)﹣1,0,1.
【解析】
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2,
∴△>0,即(﹣6)2﹣4(2a+5)>0,
解得a<2;
(2)由根与系数的关系知:
x1+x2=6,x1x2=2a+5,
∵x1,x2满足x12+x22﹣x1x2≤30,
∴(x1+x2)2﹣3x1x2≤30,
∴36﹣3(2a+5)≤30,
∴a
,∵a为整数,
∴a的值为﹣1,0,1.
点睛:
本题主要考查根与系数的关系及根的判别式,利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键,注意方程根的定义的运用.
【变式5-1】(2019•绥化)已知关于x的方程kx2﹣3x+1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.
【答案】
(1)k的取值范围为k
(2)k的值为1.
【解析】
(1)当k=0时,原方程为﹣3x+1=0,
解得:
x
,
∴k=0符合题意;
当k≠0时,原方程为一元二次方程,
∵该一元二次方程有实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×k×1≥0,
解得:
k
.
综上所述,k的取值范围为k
.
(2)∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1=0的两个根,
∴x1+x2
,x1x2
.
∵x1+x2+x1x2=4,
∴
4,
解得:
k=1,
经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意.
∴k的值为1.
点睛:
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程,解题的关键是:
(1)分k=0及k≠0两种情况,找出k的取值范围;
(2)利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2=4,找出关于k的分式方程.
【考点6】一元二次方程的增长率问题
【例6】(2019•大连)某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元
(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年村该村的人均收入是多少元?
【答案】
(1)2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%
(2)预测2019年村该村的人均收入是26620元
【解析】
(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x,
根据题意得:
20000(1+x)2=24200,
解得:
x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去).
答:
2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.
(2)24200×(1+10%)=26620(元).
答:
预测2019年村该村的人均收入是26620元.
点睛:
本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:
(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;
(2)根据数量关系,列式计算.
【变式6-1】(2019•贺州)2016年,某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元,通过政府产业扶持,发展了养殖业后,到2018年,家庭年人均纯收入达到了3600元.
(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率;
(2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元?
【答案】
(1)该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%
(2)2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元
【解析】
(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,
依题意,得:
2500(1+x)2=3600,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).
答:
该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.
(2)3600×(1+20%)=4320(元),
4320>4200.
答:
2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.
点睛:
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
【考点7】一元二次方程的面积问题
【例7】(2019•徐州)如图,有一块矩形硬纸板,长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2?
【答案】当剪去正方形的边长为
cm时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2.
【解析】设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30﹣2x)cm,宽为(20﹣2x)cm,高为xcm,
依题意,得:
2×[(30﹣2x)+(20﹣2x)]x=200,
整理,得:
2x2﹣25x+50=0,
解得:
x1
,x2=10.
当x=10时,20﹣2x=0,不合题意,舍去.
答:
当剪去正方形的边长为
cm时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2.
点睛:
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
【变式7-1】(2019•襄阳)改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为多少?
【答案】小路的宽应为1m.
【解析】设小路的宽应为xm,
根据题意得:
(16﹣2x)(9﹣x)=112,
解得:
x1=1,x2=16.
∵16>9,
∴x=16不符合题意,舍去,
∴x=1.
答:
小路的宽应为1m.
点睛:
本题考查一元二次方程的应用,弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键.
【考点8】一元二次方程的销售问题
【例8】(2019•东营)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:
这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?
【答案】这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.
【解析】设降价后的销售单价为x元,则降价后每天可售出[300+5(200﹣x)]个,
依题意,得:
(x﹣100)[300+5(200﹣x)]=32000,
整理,得:
x2﹣360x+32400=0,
解得:
x1=x2=180.
180<200,符合题意.
答:
这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.
点睛:
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
【变式8-1】(2019•安顺)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?
【答案】商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.
【解析】
(1)设一次函数解析式为:
y=kx+b
当x=2,y=120;当x=4,y=140;
∴
,
解得:
,
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100;
(2)由题意得:
(60﹣40﹣x)(10x+100)=2090,
整理得:
x2﹣10x+9=0,
解得:
x1=1.x2=9,
∵让顾客得到更大的实惠,
∴x=9,
答:
商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.
点睛:
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用;由题意列出方程组或方程是解题的关键.
1.(2019•滨州)用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1=0时,下列变形正确的是( )
A.(x﹣2)2=1B.(x﹣2)2=5C.(x+2)2=3D.(x﹣2)2=3
【答案】D
【解析】x2﹣4x+1=0,
x2﹣4x=﹣1,
x2﹣4x+4=﹣1+4,
(x﹣2)2=3,
故选:
D.
点睛:
本题考查了解一元二次方程,能正确配方是解此题的关键.
2.(2019•营口)若关于x的方程kx2﹣x
0有实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k=0B.k
且k≠0C.k
D.k
【答案】C
【解析】当k≠0时,△=1+4k
1+3k≥0,
∴k
,
∴k
且k≠0,
当k=0时,
此时方程为﹣x
0,满足题意,
故选:
C.
点睛:
本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解根的判别式,本题属于基础题型.
3.(2019•丹东)等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是( )
A.8B.9C.8或9D.12
【答案】B
【解析】当等腰三角形的底边为2时,
此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的有两个相等实数根,
∴△=36﹣4k=0,
∴k=9,
此时两腰长为3,
∵2+3>3,
∴k=9满足题意,
当等腰三角形的腰长为2时,
此时x=2是方程x2﹣6x+k=0的其中一根,
∴4﹣12+k=0,
∴k=8,
此时另外一根为:
x=4,
∵2+2=4,
∴不能组成三角形,
综上所述,k=9,
故选:
B.
点睛:
本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质,本题属于中等题型.
4.(2019•包头)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,则m的值是( )
A.34B.30C.30或34D.30或36
【答案】A
【解析】当a=4时,b<8,
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴4+b=12,
∴b=8不符合;
当b=4时,a<8,
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴4+a=12,
∴a=8不符合;
当a=b时,
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴12=2a=2b,
∴a=b=6,
∴m+2=36,
∴m=34;
故选:
A.
点睛:
本题考查一元二次方程根与系数的关系;根据等腰三角形的性质进行分类讨论,结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键.
5.(2019•荆州)若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限,则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定
【答案】A
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限,
∴k>0,b≤0,
∴△=k2﹣4b>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:
A.
点睛:
本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.也考查了一次函数的性质.
6.(2019•遵义)一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2﹣2的值是( )
A.10B.9C.8D.7
【答案】D
【解析】∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1=0的根,
∴x12﹣3x1+1=0,
∴x12=3x1﹣1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3,
根据题意得x1+x2=3,x1x2=1,
∴x12+3x2+x1x2﹣2=3×3+1﹣3=7.
故选:
D.
点睛:
本题考查了根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2
,x1x2
.
7.(2019•鸡西)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支,
依题意,得:
1+x+x2=43,
解得:
x1=﹣7(舍去),x2=6.
故选:
C.
点睛:
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
8.(2019•朝阳)一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法判断
【答案】A
【解析】∵△=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的两个实数根.
故选:
A.
点睛:
本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
9.(2019•湘潭)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则c=( )
A.4B.2C.1D.﹣4
【答案】A
【解析】∵方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4×1×c=16﹣4c=0,
解得:
c=4.
故选:
A.
点睛:
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键.
10.(2019•资阳)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2﹣2a的值是 .
【答案】8
【解析】∵a是方程2x2=x+4的一个根,
∴2a2﹣a=4,
∴4a2﹣2a=2(2a2﹣a)=2×4=8.
故答案为:
8.
点睛:
此题主要考查了一元二次方程的解,正确将原式变形是解题关键.
11.(2019•济宁)已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,则方程的另一个根是 .
【答案】﹣2
【解析】∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,
∴x1x2
2,
∴1×x2=﹣2,
则方程的另一个根是:
﹣2,
故答案为﹣2.
点睛:
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.
12.(2019•抚顺)若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根,则k的取值范围是 .
【答案】k≠0且k≤1
【解析】由题意可知:
△=4﹣4k≥0,
∴k≤1,
∵k≠0,
∴k≠0且k≤1,
故答案为:
k≠0且k≤1;
点睛:
本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.
13.(2019•青海)某种药品原价每盒60元,由于医疗政策改革,价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元,则平均每次下调的百分率为 .
【答案】10%
【解析】设平均每次降价的百分比是x,根据题意得:
60(1﹣x)2=48.6,
解得:
x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去),
答:
平均每次降价的百分比是10%;
故答案为:
10%.
点睛:
本题考查了一元二次方程的应用,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
14.某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作,去年已投入5亿元资金,并计划投入资金逐年增长,明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设,则这两年投入资金的年平均增长率为 .
【答案】20%
【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x,由题意得:
5(1+x)2=7.2,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意舍去).
答:
这两年中投入资金的平均年增长率约是20%.
故答案是:
20%.
点睛:
本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.
15.(2019•呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x﹣6)=16的实数根.
【答案】x1
,x2
.
【解析】原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34=0,
x2
x=17,
x2
x
17
,
(x
)2
,
x
±
,
所以x1
,x2
.
点睛:
本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
16.(2019•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若a为正整数,求a的值;
(2)若x1,x2满足x12+x22﹣x1x2=16,求a的值.
【解析】
(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根,
∴△=[﹣2(a﹣1)]2﹣4(a2﹣a﹣2)>0,
解得:
a<3,
∵a为正整数,
∴a=1,2;
(2)∵x1+x2=2(a﹣1),x1x2=a2﹣a﹣2,
∵x12+x22﹣x1x2=16,
∴(x1+