圆的标准方程.docx
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圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程
适用学科
高中数学。
适用年级
高一年级。
适用区域
人教A版。
课时时长(分钟)
45分钟
知识点
(1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
(2)会用待定系数法求圆的标准方程.
学习目标
1.过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
2.情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
学习重点
圆的标准方程
学习难点
会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
学习过程
一、复习预习
在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?
圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?
什么叫圆?
在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么圆是否也可用一个方程来表示呢?
如果能,这个方程具有什么特征?
二、知识讲解
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M|MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件
①
化简可得:
(x–a)2+(y–b)2=r2②
引导学生自己证明(x–a)2+(y–b)2=r2
为圆的方程,得出结论.
方程②就是圆心为A(a,b)半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.
三、例题精析
【例题1】
【题干】写出圆心为A(2,–3)半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,–7),是否在这个圆上.
【答案】解:
圆心是A(2,–3),半径长等于5的圆的标准方程是(x+3)22+(y+3)2=25.
把M1(5,–7),M2(,–1)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)2=25,左右两边相等,点M1的坐标适合圆的方程,所以点M2在这个圆上;把M2(,–1)的坐标代入方程(x–2)2+(y+3)2=25,左右两边不相等,点M2的坐标不适合圆的方程,所以M2不在这个圆上
【解析】分析探求:
可以从计算点到圆心的距离入手.
探究:
点M(x0,y0)与圆(x–a)2+(y–b)2=r2的关系的判断方法:
(1)(x0–a)2+(y0–b)2>r2,点在圆外.
(2)(x0–a)2+(y0–b)2=r2,点在圆上.
(3)(x0–a)2+(y0–b)2<r2,点在圆内.
【例题2】
【题干】△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,–3),C(2,–8).求它的外接圆的方程.
【答案】解:
设所求圆的方程是(x–a)2+(y–b)2=r2.①
因为A(5,1),B(7,–3),C(2,–8)都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①.于是
解此方程组,得
所以,△ABC的外接圆的方程是(x–2)2+(y+3)2=25.
【解析】师生共同分析:
从圆的标准方程(x–a)2+(y–b)2=r2.可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数,(学生自己运算解决)
【例题3】
【题干】已知圆心为C的圆C.经过点A(1,1)和B(2,–2),且圆心在
l:
x–y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
【答案】解:
因为A(1,1),B(2,–2),所以线段AB的中点D的坐标为(
,
),直线AB的斜率
kAB==–3,
因为线段AB的垂直平分线l′的方程是
y+
,
即x–3y–3=0.
圆心C的坐标是方程组
解此方程组,得
所以圆心C的坐标是(–3,–2).
圆心为C的圆的半径长
r=|AC|=
=5.
所以,圆心为C的圆的标准方程是
(x+3)22+(y+2)2=25.
【解析】师生共同分析:
如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,–2),由于圆心C与A、B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上,又圆心C在直线l上,因此圆心C是直线l与直线m的交点,半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)
四、课堂运用
【基础】
1.【题干】圆心在直线x–2y–3=0上,且过A(2,–3),B(–2,–5),求圆的方程.
【答案】所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10
【解析】解法1:
设所求的圆的方程为(x–a)2+(y–b)2=r2
由条件知
解方程组得
即所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10
解法2:
,AB的中点是(0,–4),
所以AB的中垂线方程为2x+y+4=0
由
得
因为圆心为(–1,–2)又
.
所以所求的圆的方程是(x+1)2+(y+2)2=10
2.【题干】圆C:
(x+1)2+(y-3)2=9上有两点P,Q关于直线x+my+4=0对称,则m等于( )
【答案】-1
【解析】解:
由题意可得圆心(-1,3)在直线x+my+4=0上,
故有-1+3m+4=0m=-1,
【巩固】
1.【题干】
的三个顶点坐标是A(5,1)B(7,-3)C(2,-8)求它的外接圆方程。
【答案】(x-2)2+(y+3)2=25
【解析】解:
设圆的方程是:
(x-a)2+(y-b)2=r2因为都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①,于是
解得:
所以
的外接圆方程是
(x-2)2+(y+3)2=25
2.【题干】圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为( )
【答案】(x-2)2+(y-1)2=1
【解析】解:
∵点P(x,y)关于直线y=x对称的点为P'(y,x),
∴(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),
∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
【拔高】
1.【题干】若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为( )
【答案】
【解析】解:
∵圆C经过(1,0),(3,0)两点,
∴圆心在直线x=2上.
可设圆心C(2,b).
又∵圆C与y轴相切,
∴半径r=2.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-b)2=4.
∵圆C经过点(1,0),
∴(1-2)2+b2=4.
∴b2=3.
∴b=±3
∴圆C的方程为
2.【题干】已知平面上点P∈{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16,其中x02+y02=4,当x0,y0变化时,则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是( )
【答案】32π
【解析】解:
由题意可得,点P在圆)|(x-x0)2+(y-y0)2=16上,
而且圆心(x0,y0)在以原点为圆心,以2为半径的圆上.
满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积,
即36π-4π=32π,
课程小结
1.圆的标准方程.
2.点与圆的位置关系的判断方法.
3.根据已知条件求圆的标准方程的方法.
课后作业
【基础】
1.【题干】已知三点A(3,2),B(5,–3),C(–1,3),以P(2,–1)为圆心作一个圆,使A、B、C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.
2.【题干】与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4
C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4
【巩固】
1.【题干】已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
2.已知圆C与直线
及
都相切,圆心在直线
上,则圆C的方程为()
A.
B.
C.
D.
【拔高】
1.【题干】过点P(-1,0)作圆C:
(x-1)2+(y-2)2=1的两切线,设两切点为A、B,圆心为C,则过A、B、C的圆方程是( )
2.已知圆C1:
(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
A.(x-1)2+(y+1)2=1
B.(x+2)2+(y-2)2=1
C.(x+1)2+(y-1)2=1
D.(x-2)2+(y+2)2=1