在欠阻尼响应中,sigma=0.4到0.8的响应过程不仅具有较sigma=1时的更短的调整时间,而且震荡特性也不严重,这时超调量将在2.5%-25%之间。
因此,一般希望二阶系统工作在sigma=0.4到0.8的欠阻尼状态因为在这种状态下将获得一个震荡适度,调整时间较短的响应过程。
根据ξ值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态特性
a.ξ>1,单位阶跃响应应为单调曲线,没有超调和震荡,但调整时间较长,系统反应迟缓。
b.ξ=1,响应为单调曲线,调整时间比ξ>1的情况短。
c.ξ=0,输出为等幅震荡,系统不能稳定工作。
d.一般希望二阶系统工作在欠阻尼0<ξ<1状态下,但不能过小,否则调节时间长,为了限制超调量(最大偏差),应在0.4-0.8之间,这时超调量将在2.5%-25%之间。
实验二开环参数K和T对系统动态性能及稳定性的影响
一、实验目的
研究开环参数K和T对系统动态性能及稳定性的影响
二、实验要求
1.推导单位负反馈系统的闭环传递函数;
2.对比二阶系统的典型传递函数,找出K、T与
、
的关系式;
3.从2中的关系式中分析K、T与
、
的关系;
4.实验参数设定T=1,试绘制K分别为0.1,0.2,0.5,0.8,1.0,2.4时,其单位负反馈系统的单位阶跃曲线(绘制在同一张图上);
5.从help菜单或其它方式,制作PPT讲解程序的每个语句和函数的含义;
三、实验内容
1、对一般的二阶系统而言,其开环传递函数为
,其中,K为回路增益,通常是可调节的,T为时间常数,通常由被控对象的特性决定,一般是不可以改变的。
2、由已知条件可以求得随动系统的闭环传递函数为
其中TM为机电时间常数,K为开环增益。
二阶系统的单位阶跃响应的标准形式为:
两个表达式对比可以得出:
3、程序代码
T=1;
K=[0.1,0.2,0.5,0.8,1.0,2.4];
(1)
t=linspace(0,20,200)
(2)
num=1;
den=conv([1,0],[T,1]);(3)
forj=1:
6(4)
s1=tf(num*K(j),den);(5)
sys=feedback(s1,1);(6)
y(:
j)=step(sys,t);(7)
end
plot(t,y(:
1:
6));(8)
grid;(9)
gtext('K=0.1');(10)
gtext('K=0.2');
gtext('K=0.5');
gtext('K=0.8');
gtext('K=1.0');
gtext('K=2.4');
4、代码函数理解分析
(1)K取值分别为0.1,0.2,0.5,0.8,1.0,2.4;
(2)用于创建向量。
linspace是Matlab中的一个指令,用于产生x1,x2之间的N点行矢量。
其中x1、x2、N分别为起始值、终止值、元素个数。
若缺省N,默认点数为100。
(3)卷积,用于表示S(TS+1)。
(4)给j赋值1至6。
(5)表示开环传递函数,tf(分子,分母),赋值给S1。
(6)单位负反馈。
(7)求系统在时间t内的单位阶跃响应。
(8)作图,以t为横坐标,y为纵坐标做6条曲线。
(9)网格做图。
(10)点击获取K的值。
5、曲线图
四、实验结论
1、在T一定时,K值增大,响应速度提高,调整时间增大,超调量减小;
K>=1时,系统响应是单调衰减的,K<1时,系统响应是超调衰减的。
2、K和T一起决定
和
的大小。
提高
可以提高系统的响应速度,增大
提高系统的阻尼程度,从而缩短调整时间。
一般情况下,提高
是通过增大K来实现的,而
的往往是通过减小K完成的,其中机电时间常数T在电动机选定后是一个不可调的确定参数。
因此,系统的响应速度和阻尼程度之间存在一定的矛盾。
3、对比二阶系统的典型传递函数,找出K、T与
、
的关系,二阶系统的典型传递函数
,一般二阶系统的传递函数G(s)=
,因为二阶系统的典型传递函数中机电时间常数T=1
对比得K=
的平方,
2ξ
=1
当T不为1时,
实验三理解PID控制器对系统性能的影响,进行PID控制器的设计
对于如图2所示的负反馈控制系统,被控对象和反馈环节的传递函数如下:
图2典型的负反馈控制系统方框图
其中,
(一)比例控制P
一、实验要求
1、对于比例系数为0.1,2.0,2.4,3.0,3.5,绘制系统的单位阶跃响应;
2、分析比例系数对系统性能的影响;
3、理解程序代码及函数的含义。
二、实验内容
1、程序代码
G=tf(1,conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]))
(1)
kp=[0.1,2.0,2.4,3.0,3.5];
(2)
fori=1:
5(3)
G=feedback(kp(i)*G,1);(4)
step(G);(5)
holdon;(6)
end
gtext('kp=0.1');(7)
gtext('kp=2.0');
gtext('kp=2.4');
gtext('kp=3.0');
gtext('kp=3.5')
2、代码解释分析
(1)表示系统的开环传递函数tf(分子,分母),conv函数是卷积函数,计算多项式的乘法。
(2)分别给kp赋值。
(3)I从1到5,表示循环。
(4)单位反馈函数。
(5)求出系统的单位阶跃响应。
(6)使当前轴及图形保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存。
(7)点击依次获取kp的值。
3、曲线图
四、实验结论
比例系数对系统性能的影响
(1)对动态特性的影响
a:
比例系数Kp加大,使系统的动作灵敏,速度加快。
b:
Kp偏大,则振荡次数增加,调节时间加长。
c:
Kp太大,系统会趋向于不稳定。
d:
Kp太小,又会使系统动作缓慢。
(2)对稳态误差的影响
加大比例系数Kp,在系统稳定的情况下,可以减少稳态误差,提高控制精度。
但加大Kp只是能够减少稳态误差,不能够完全消除稳态误差。
(二)比例微分控制PD
一、实验要求
1、设置
=2,微分时间常数
=0,0.3,0.7,1.5,3,试在各个比例微分系数下,绘制系统的单位阶跃响应曲线;
2、分析微分控制对系统性能的影响;
3、解释和说明程序代码。
二、实验内容
1、程序代码
G=tf(1,conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]));
(1)
kp=2;
tou=[0,0.3,0.7,1.5,3];
(2)
fori=1:
5(3)
G1=tf([kp*tou(i),kp],1);(4)
sys=feedback(G1*G,1);(5)
step(sys);(6)
holdon;(7)
end
gtext('tou=0');(8)
gtext('tou=0.3');
gtext('tou=0.7');
gtext('tou=1.5');
gtext('tou=3');
2、代码解释分析
(1)表示系统的开环传递函数tf(分子,分母),conv函数是卷积函数,计算多项式的乘法。
(2)分别给tou赋值。
(3)I从1到5,表示循环。
(4)比例微分传递函数
(5)单位负反馈函数。
(6)求出系统的单位阶跃响应。
(7)使当前轴及图形保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存。
(8)点击依次获取tou的值。
3、曲线图
二、实验结论
(1)积分控制通常和比例控制或比例积分控制联合作用,构成PD控制或PID控制。
(2)对系统的动态性能影响:
微分时间
的增加即微分作用的增加可以改善系统的动态特性,如减少超调量,缩短调节时间等。
适当加大比例控制,可以减少稳态误差,提高控制精度。
但
值偏大或偏小都会适得其反。
另外微分作用有可能放大系统的噪声,降低系统的抗干扰能力。
(3)对系统的稳态性能影响:
微分环节的加入,可以在误差出现或变化瞬间,按偏差变化的趋向进行控制。
它引进一个早期的修正作用,有助于增加系统的稳定性。
(4)PID控制器的参数必须根据工程问题的具体要求来考虑。
在工业过程控制中,通常要保证闭环系统稳定,对给定量的变化能迅速跟踪,超调量小。
在不同干扰下输出应能保持在给定值附近,控制量尽可能地小,在系统和环境参数发生变化时控制应保持稳定。
一般来说,要同时满足这些要求是很难做到的,必须根据系统的具体情况,满足主要的性能指标,同时兼顾其它方面的要求。
在选择采样周期T时,通常都选择
远远小于系统的时间常数。
(三)比例积分控制PI
,其中,
是比例系数,
是积分时间常数,二者可调节。
一、实验要求
1、设置比例
=2,积分时间常数
=3,6,14,21,28,试在各个比例积分系数下,绘制系统的单位阶跃响应曲线;
2、分析积分控制对系统性能的影响;
3、解释和说明程序代码。
二、实验内容
1、程序代码
G=tf(1,conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]));
(1)
kp=2;
ti=[3,6,14,21,28];
(2)
fori=1:
5(3)
G1=tf([kp,kp/ti(i)],[1,0]);(4)
sys=feedback(G1*G,1);(5)
step(sys);(6)
holdon;(7)
end
gtext('ti=3');(8)
gtext('ti=6');
gtext('ti=14');
gtext('ti=21');
gtext('ti=28');
2、代码解释分析
(1)表示系统的开环传递函数tf(分子,分母),conv函数是卷积函数,计算多项式的乘法。
(2)分别给ti赋值。
(3)I从1到5,表示循环。
(4)比例积分传递函数
(5)单位负反馈函数。
(6)求出系统的单位阶跃响应。
(7)使当前轴及图形保持而不被刷新,准备接受此后将绘制的图形,多图共存。
(8)点击依次获取ti的值。
3、曲线图
四、实验结论
(1)积分控制通常和比例控制或比例微分控制联合作用,构成PI控制或PID控制。
(2)对系统的动态性能影响:
积分控制通常影响系统的稳定性。
TI太小,系统可能不稳定,且振荡次数较多;TI太大,对系统的影响将削弱;当TI较适合时,系统的过渡过程特性比较理想。
(3)对系统的稳态性能影响:
积分控制有助于消除系统稳态误差,提高系统的控制精度,但若TI太大,积分作用太弱,则不能减少余差。
实验四确定使计算机控制系统稳定的开环增益范围
如图3所示的离散线性系统,采样周期Ts=1s,其中,对象模型
,零阶保持器
。
C(s)
图3离散线性系统方框图
一、实验目的
确定使计算机控制系统稳定的开环增益范围。
二、实验要求
1、写出开环系统的传递函数;
2、对开环传递函数进行Z变换,并代入Ts=1s;
3、写出闭环Z传递函数;
4、写出系统的特征方程;
5、绘制根轨迹,并分析根轨迹;
6、用鼠标单击根轨迹与单位圆的交点,发现…;
7、分析系统稳定性随K值变化的规律;
8、近似得出系统稳定的K值范围。
三、实验内容
1、程序代码
num=[0.3678,0.2644];
den=[1,-1.3678,0.3678];
sys=tf(num,den,-1);
rlocus(sys)
rlocfind(sys)
2、代码解释分析
rlocus:
求系统根轨迹。
rlocfind:
计算给定一组根的根轨迹增益。
3、开环系统的传递函数
4、开环传递函数的Z变换,T0=1s
T0=1时
5、闭环Z传递函数
6、系统的特征方程
7、系统根轨迹图
在离散系统根轨迹图上,虚线表示的是单位元,由理论分析可知,系统闭环传递函数的所有极点位于z平面的单位圆内时,该离散系统是稳定的
所以
8、用鼠标点击曲线将弹出一个提示框,其中各参数含义如下:
Gain:
根轨迹增益的值
Pole:
当前点的坐标值
Damping:
阻尼系数
Overshoot:
超调量
Frequency:
该条根轨迹分支当前点对应的频率值
实验由根轨迹与虚轴的交点可以确定K值范围
特征根在虚轴上,系统就是临界稳定,系统输出是等幅振荡。
这个w就是等幅振荡的角频率。
实验四确定使计算机控制系统稳定的开环增益范围
如图3所示的离散线性系统,采样周期Ts=1s,其中,对象模型
,零阶保持器
。
C(s)
图3离散线性系统方框图
一、实验目的
确定使计算机控制系统稳定的开环增益范围。
二、实验要求
1、写出开环系统的传递函数;
2、对开环传递函数进行Z变换,并代入Ts=1s;
3、写出闭环Z传递函数;
4、写出系统的特征方程;
5、绘制根轨迹,并分析根轨迹;
6、用鼠标单击根轨迹与单位圆的交点,发现…;
7、分析系统稳定性随K值变化的规律;
8、近似得出系统稳定的K值范围。
三、实验内容
1、程序代码
num=[0.3678,0.2644];
den=[1,-1.3678,0.3678];
sys=tf(num,den,-1);
rlocus(sys)
rlocfind(sys)
2、代码解释分析
rlocus:
求系统根轨迹。
rlocfind:
计算给定一组根的根轨迹增益。
3、开环系统的传递函数
4、开环传递函数的Z变换,T0=1s
T0=1时
5、闭环Z传递函数
6、系统的特征方程
Z2+(0.368K-1.368)Z+(0.264K+0.368)=0经过变换,
求得复变量表示的特征方程
0.632K2+(1.264-0.528K)+(2.736-0.104K)=0
7、系统根轨迹图
在离散系统根轨迹图上,虚线表示的是单位元,由理论分析可知,系统闭环传递函数的所有极点位于z平面的单位圆内时,该离散系统是稳定的。
8、用鼠标点击曲线将弹出一个提示框,其中各参数含义如下:
Gain:
根轨迹增益的值
Pole:
当前点的坐标值
Damping:
阻尼系数
Overshoot:
超调量
Frequency:
该条根轨迹分支当前点对应的频率值
9、由图可见,一个极点位于单位圆上,一个位于单位圆中,因此,系统在K=0时是稳定的;随着K值得增大,两条根轨迹离开单位圆,系统变得不稳定;随着K值继续增大,虽然有一个极点落在单位圆内,但是另一个极趋向实轴的无穷远处,系统是不稳定的。
所以K值得稳定范围是从0开始的一段区间。
10、根据的特征方程写出Routh计算表,
20.632K2.736-0.104K
11.264-0.528K0
02.736-0.104K
根据Routh计算表第一列,由不等式:
K>01.264-0.528K>02.376-0.104K>0
求得满足二阶线性数字控制系统稳定要求的开环增益K的取值范围为:
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MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB产品族可以用来进行以下各种工作:
数值分析、数值和符号计算、工程与科学绘图、控制系统的设计与仿真、数字图像处理技术数字信号处理技术、通讯系统设计与仿真、财务与金融工程。
MATLAB的应用范围非常广,包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。
附加的工具箱(单独提供的专用MATLAB函数集)扩展了MATLAB环境,以解决这些应用领域内特定类型的问题。
Matlab的text/title/xlabel/ylabel对象支持简单的TeX排版语法,如希腊字母,上下标等例如text(0.5,0.5,'\alpha^\beta_2');
Matlab图形中允许用TEX文件格式来显示字符。
使用\bf,\it,\rm表示黑体,斜体,正体字符,特别注意大括号{}的用法。
实例:
在存在的图形上写一段有黑体、有斜体、有整体的句子。
1、画图
x=0:
0.01:
8;
y=sin(x);
plot(x,y)
2、写字
在图形框口用鼠标点击A(inserttext)按钮,然后再需要加文字的地方点一下,
输入下面字符。
This{\bfisasin}{\itcurve.}I{\itlikeit}{\rmverymuch.}
y=x^{abcd}
y=x_{abcd}
\int_{x_0}^{x_n}