在p序列中，pi+1=pi+2li是pi后最小的一个满足li+1>li的数（若出现Pi+x比pi+1更小，则x<2li，与x在二进制中的位数小于li相矛盾）。
Pi+1=pi+2li，li+1≥li+1。
由pi-2li+1≤K≤Pi可知，Pi+1-2li+1+1≤Pi+2li–2*2li+1=Pi–2li+1≤K≤Pi≤Pi+1，故Pi与pi+1之间的递推关系式为
Pi+1=Pi+2li
【操作2】求数列的前n项和。
只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。
不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数, 因此，求和操作的复杂度也是O（logn）。
根据c[k]=a[k-2l+1]+…+a[k]（l为k在二进制数中末尾０的个数），我们从k1=k出发，按照
ki+1=ki-2lki（lki为ki在二进制数中末尾0的个数）
递推k2，k3，…，km（km+1=0）。
由此得出
S=c[k1]+c[k2]+c[k3]+…+c[km]
例如，计算a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]
k1=7
k2=k1-2l1=7-20=6
k3=k2-2l2=6-21=4
k4=k3-2l3=4-22=0
即a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]=c[7]+c[6]+c[4]
二、树状数组的操作函数
在操作1和操作2中，我们反复提到求2^K（k为i的2进制中末尾0的个数），因此我们先来定义一个求数i的低位函数，返回这个值。
求低位函数（LowBit）
LowBit，即2进制数中从最低位开始连续0的位数的关于2的幂，其值LowBit（x）=xand-x。
LowBit（x）显然就是notx中最低的是0的那一位，（notx）+1的那一位则会变成1，其更低的位全部变成0，而更高的位不变。
由于更高的位就是原数取反，和原数求and的值为0，最低位就是唯一的是1的位了。
所以LowBit（x）=xand（（notx）+1）。
举例说明：
在x=10101000时，
x=10101000
notx=01010111
（notx）+1=01011000
和原数求and就是1000。
同时notx=-x-1，所以LowBit（x）=xand-x。
有了lowbit函数，我们就可以方便地实现树状数组的修改（modify）、求和（getsum）两个操作。
操作1：
modify（i,num）
modify（i,num）：
对数组a[]中的第i个元素加上num。
为了维护c[]数组，我就必须要把c[]中所有“管”着a[i]的c[i]全部加上num，这样才能随时以O（logn）的复杂度进行getsum（i）的操作。
而"i:
=i+lowbit（i）"正是依次访问所有包含a[i]的c[i]的过程。
修改a[i]，我们需对c[i],c[i+lowbit（i）],c[i+lowbit（i）+lowbit（i+lowbit（i））]……进行修改。
复杂度O（logn）。
pascal代码:
proceduremodify（x,delta:
longint）;
begin
whilex<=ndo
begin
inc（c[x],delta）;
inc（x,lowbit（x））;
end;
end;
操作2：
求和（getsum）
getsum（i）:
求和正好反过来，每次“i:
=i-lowbit（i）”依次求a[i]之前的某一段和。
因为c[i]有这样一个性质：
Lowbit（i）的值即为c[i]“管”着a[i]中元素的个数，比如i=（101100）2，那么c[i]就是从a[i]开始往前数（100）2=4个元素的和，也就是c[i]=a[i]+a[i-1]+a[i-2]+a[i-3]。
那么每次减去lowbit（i）就是依次跳过当前c[i]所能管辖的范围，以便不重不漏地求出所有a[i]之前的元素之和。
a[1]+...+a[i]=c[i]+c[i-lowbit（i）]+c[i-lowbit（i）-lowbit（i-lowbit（i））]……
复杂度O（logn）
pascal代码:
functionsum（x:
longint）:
longint;
begin
sum:
=0;
whilex>0do
begin
inc（sum,c[x]）;
dec（x,lowbit（x））;
end;
end;
三、树状数组的应用
【例1】Stars（POJ2352）（时间1秒，空间64M）
Description
AstronomersoftenexaminestarmapswherestarsarerepresentedbypointsonaplaneandeachstarhasCartesiancoordinates.Letthelevelofastarbeanamountofthestarsthatarenothigherandnottotherightofthegivenstar.Astronomerswanttoknowthedistributionofthelevelsofthestars.
Forexample,lookatthemapshownonthefigureabove.Levelofthestarnumber5isequalto3（it'sformedbythreestarswithanumbers1,2and4）.Andthelevelsofthestarsnumberedby2and4are1.Atthismapthereareonlyonestarofthelevel0,twostarsofthelevel1,onestarofthelevel2,andonestarofthelevel3.
Youaretowriteaprogramthatwillcounttheamountsofthestarsofeachlevelonagivenmap.
Input
ThefirstlineoftheinputfilecontainsanumberofstarsN（1<=N<=15000）.ThefollowingNlinesdescribecoordinatesofstars（twointegersXandYperlineseparatedbyaspace,0<=X,Y<=32000）.Therecanbeonlyonestaratonepointoftheplane.StarsarelistedinascendingorderofYcoordinate.StarswithequalYcoordinatesarelistedinascendingorderofXcoordinate.
Output
TheoutputshouldcontainNlines,onenumberperline.Thefirstlinecontainsamountofstarsofthelevel0,theseconddoesamountofstarsofthelevel1andsoon,thelastlinecontainsamountofstarsofthelevelN-1.
SampleInput
5
11
51
71
33
55
SampleOutput
1
2
1
1
0
Hint
Thisproblemhashugeinputdata,usescanf（）insteadofcintoreaddatatoavoidtimelimitexceed.
【题目大意】
有N（1<=N<=15000）颗星星，坐标（0<=X,Y<=32000）。
每颗星的级别定义为：
不比它高、也不比它靠右的星星个数（即左下角，包含边界）。
给出每颗星的坐标。
输入保证Y坐标升序,Y相等时X坐标升序。
求每个级别的星星数。
【分析】
由于题目的输入已经是按照Y的升序，（如果Y相同，就按照X升序排列），因此可以做到每录入一个数据，就计算出它的level同时update，用c为每个坐标为X的数据做记录（利用树状数组组织）。
Level统计的时候，利用树状数组，在o（logn）时间内完成。
【参考代码】
programpoj2352;
var
n:
longint;
c:
array[0..32005]oflongint;
ans:
array[0..15001]oflongint;
functionlowbit（x:
longint）:
longint;
begin
lowbit:
=xand（-x）;
end;
procedurechange（k:
longint）;
begin
whilek<=32001do
begin
c[k]:
=c[k]+1;
k:
=k+lowbit（k）;
end;
end;
functiongetsum（k:
longint）:
longint;
var
tot:
longint;
begin
tot:
=0;
whilek>0do
begin
tot:
=tot+c[k];
k:
=k-lowbit（k）;
end;
getsum:
=tot;
end;
procedurework;
var
i,x,y:
longint;
begin
fillchar（c,sizeof（c）,0）;
fillchar（ans,sizeof（ans）,0）;
readln（n）;
fori:
=1tondo
begin
readln（x,y）;
inc（ans[getsum（x+1）]）;
change（x+1）;
end;
fori:
=0ton-1do
writeln（ans[i]）;
end;
begin
work;
end.
【例2】假设有一列数{Ai}（1<=i<=n），支持如下两种操作：
1.将A[x]…A[y]的值加D。
（x，y，D都是输入的数）；
2.输出Ak的值。
【分析】
我们把支持这种操作的树状数组称为树状数组的模式二，对于模式二，树状数组可以做到随时修改数组a[]中某个区间的值（O
（1）），查询某个元素的值（O（logn））
在这种模式下，a[i]已经不再表示真实的值了，只不过是一个没有意义的、用来辅助的数组。
这时我们真正需要的是另一个假想的数组b[]，b[i]才表示真实的元素值。
但c[]数组却始终是为a[]数组服务的，这一点大家要明确。
此时getsum（i）虽然也是求a[i]之前的元素和，但它现在表示的是实际我要的值，也就是b[i]。
比如现在我要对图1中a[]数组中红色区域的值全部加1。
当然你可以用模式一的modify（i）对该区间内的每一个元素都修改一次，但如果这个区间很大，那么每次修改的复杂度就都是O（nlogn），m次修改就是O（mnlogn），这在m和n很大的时候仍是不满足要求的。
这时模式二便派上了用场。
我只要将该区域的第一个元素+1，最后一个元素的下一位置-1，对每个位置getsum（i）以后的值见图2：
相信大家已经看得很清楚了，数组b[]正是我们想要的结果。
模式二难理解主要在于a[]数组的意义。
这时请不要再管a[i]表示什么，a[i]已经没有意义了，我们需要的是b[i]！
但模式二同样存在一个缺陷，如果要对某个区间内的元素求和，复杂度就变成O（nlogn）了。
所以要分清两种模式的优缺点，根据题目的条件选择合适的模式，灵活应变！
顺便给出二维树状数组模式二的修改方法：
【例3】mobilephone（移动电话）
Description
SupposethatthefourthgenerationmobilephonebasestationsintheTampereareaoperateasfollows.Theareaisdividedintosquares.ThesquaresformanS*Smatrixwiththerowsandcolumnsnumberedfrom0toS-1.Eachsquarecontainsabasestation.Thenumberofactivemobilephonesinsideasquarecanchangebecauseaphoneismovedfromasquaretoanotheroraphoneisswitchedonoroff.Attimes,eachbasestationreportsthechangeinthenumberofactivephonestothemainbasestationalongwiththerowandthecolumnofthematrix.
Writeaprogram,whichreceivesthesereportsandanswersqueriesaboutthecurrenttotalnumberofactivemobilephonesinanyrectangle-shapedarea.
Input
Theinputisreadfromstandardinputasintegersandtheanswerstothequeriesarewrittentostandardoutputasintegers.Theinputisencodedasfollows.Eachinputcomesonaseparateline,andconsistsofoneinstructionintegerandanumberofparameterintegersaccordingtothefollowingtable.
Thevalueswillalwaysbeinrange,sothereisnoneedtocheckthem.Inparticular,ifAisnegative,itcanbeassumedthatitwillnotreducethesquarevaluebelowzero.Theindexingstartsat0,e.g.foratableofsize4*4,wehave0<=X<=3and0<=Y<=3.
Tablesize:
1*1<=S*S<=1024*1024
CellvalueVatanytime:
0<=V<=32767
Updateamount:
-32768<=A<=32767
Noofinstructionsininput:
3<=U<=60002
Maximumnumberofphonesinthewholetable:
M=2^30
Output
Yourprogramshouldnotansweranythingtolineswithaninstructionotherthan2.Iftheinstructionis2,thenyourprogramisexpectedtoanswerthequerybywritingtheanswerasasinglelinecontainingasingleintegertostandardoutput.
SampleInput
04
1123
20022
1112
112-1
21123
3
SampleOutput
3
4
【问题描述】
假设第四代移动电话的收发站是这样运行。
整个区域被分割成很小的方格。
所有的方格组成了一个S*S的矩阵，行和列从0~S-1编号。
每个小方格都包含一个收发站。
每个方格内的手机的移动电话数量可以不断改变，因为手机用户在各个方格之间移动，也有用户开机或者关机。
一旦某个方格里面开机的移动电话数量发生了变化，该方格里的收发站就会向总部发送一条信息说明这个改变量。
总部要你写一个程序，用来管理从各个收发站收到的信息。
老板可能随时会问：
某个给定矩形区域内有多少部开机的移动电话啊？
你的程序必须要能随时回答老板的问题。
【输入输出数据】
从标准输入读入整数，向标准输出写入你对老板的回答。
输入数据的格式如下：
每个输入独立成一行。
一个输入包括一个指示数和一些参数，见下表：
指示数
参数
意义
0
S
初始指令。
整个区域由S*S个小方格组成。
这个指令只会在一开始出现一次。
1
XYA
方格（X，Y）内的开机移动电话量增加了A。
A可能是正数也可能是负数
2
LBRT
询问在矩形区域（L,B）—（R,T）内有多少部开机的移动电话。
矩形区域（L,B）—（R,T）包括所有的格子（X，Y）满足L<=X<=R,B<=Y<=T.
3
终止程序。
这个指令只会在最后出现一次。
所有的数据总是在给定范围内，你不需要差错。
特别的，如果A是负数，你可以认为该操作不会让该格子的开机移动电话数变成负数。
格子是从0开始编号的，比如一个4*4的区域，所有的格子（X，Y）应该表示为：
0<=X<=3,0<=Y<=3。
对于除了2之外的指示，你的程序不应该输出任何东西。
如果指示是2，那么你的程序应该向标准输出写入一个整数。
【数据限制】
区域大小
S*S
1*1<=S*S<=1024*1024
每个格子的值
V
0<=V<=32767
增加/减少量
A
-32768<=A<=32767
指令总数
U
3<=U<=60002
所有格子的和
M
M=2^30
【分析】
由于题目基本上只是在做查询和插入，因此我们可以完全不需要一个基本数组，而直接使用树状数组的就可以完成所有的数据的记录
方式一就是二维树状数组的add，只要把对应包含[x,y]项的元素更新即可
方式二
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