北京各区中考数学二模27题汇编及答案.docx
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北京各区中考数学二模27题汇编及答案
2015北京各区中考数学二模27题汇编及答案
2015北京各区中考数学二模27题汇编及答案
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mxm4与y轴交于点A（0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）.
（）
（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线ykxb经过点D和点E（1,2），求直线DE的表达式；
（3）在
（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．
27已知一次函数y1kxb（k≠0）的图象经过（2,0），（4,1）两点，二次函数
y2x22ax4（其中a＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若a
5
，求当y10且y2≤0时，自变量x的取值范围；2
②如果满足y10且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a
的取值范围．
27．在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx+3a0与x轴交于点A（-3,0）、B（1,0）两点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点F和点D关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O,F,P,Q为顶点的平行四边形？
若存在，求出点P坐标;若不存在，请说明理由.
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx1经过A（1，3），B（2，1）两点.
（1）求抛物线及直线AB的解析式；
（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．将抛物线在点A，C之间的部分（包含点A，C）记为图象G，如果图象G沿y轴向上平移t（t0）个单位后与直线AB只有一个公共点，求t的取值范围．
27．已知关于x的方程mx3m1x2m20．2
（1）求证：
无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数ymx3m1x2m2的图象经过坐标原点，得到抛2
物线C1．将抛物线C1向下平移后经过点A0,2进而得到
新的抛物线C2,直线l经过点A和点B2,0，求直线l和抛
物线C2的解析式；
（3）在直线l下方的抛物线C2上有一点C，求点C到直线l
的距离的最大值．
27.已知：
关于x的一元二次方程ax22（a1）xa20（a0）．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且
yax2x1，求这个函数的表达式；（3）在
（2）的条件下，结合函数的图象回答：
若使y3a21，则自变量a的取值范围为．
27．已知抛物线yax2bxc经过原点O及点A（-4，0）和点B（-6，3）．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图1，将直线y2x沿y轴向下平移后与
（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；
（3）如图2，将
（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离．
图2
27．已知关于x的方程x2m2xm30．
（1）求证：
方程x2m2xm30总有两个实数根；
（2）求证：
抛物线yx2m2xm3总过x轴上的
一个定点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，若
（2）中的“定点”记作A
抛物线yx2m2xm3与x轴的另一个交点为B与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的
取值范围．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc经过点A（4，0）和B（0，2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在
（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，
点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线
CD的表达式；
（3）在
（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之
间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象
G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
27.已知关于x的一元二次方程kx3k1x30（k≠0）.214yOx
（1）求证：
无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）点Ax1，0、Bx2,0在抛物线ykx3k1x3上，其中x1＜0＜x2，且2
x1、x2和k均为整数，求A，B两点的坐标及k的值；
（3）设
（2）中所求抛物线与y轴交于点C，问该抛物线上是否存在点E，使得
S
ABESABC，若存在，求出E点坐标，若不存在，说明理由.y11
27．如图，在平面直角坐标系中，点A（5,0），B（3,2），点C在线段OA上，BC=BA，点Q是线段BC上一个动点，点P的坐标是（0,3），直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），且与x轴交于点D．
（1）求点C的坐标及b的值；
（2）求k的取值范围；
（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BE∥x
﹣5ax（a≠0）的顶点在四边形ABED的内部，求a
27．已知关于x的方程mx2－（3m－1）x+2m－2=0
（1）求证：
无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若关于x的二次函数y=mx2－（3m－1）x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，
求二次函数的表达式．
答案
27.（本小题满分7分）
解：
（1）∵抛物线ymx22mxm4与y轴交于点A（0,3），
∴m43．
∴m1．
∴抛物线的表达式y22x3．…………………………………………………………………1x分
∵抛物线yx22x3与x轴交于点B，C，
∴令y0，即x22x30．
解得x11，x23．
又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为（1,0），点C的坐标（3,0）．…………………………………………………...……3分
（2）∵yx22x3（x1）24，
∴抛物线的对称轴为直线x1．
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标（．…………………………………………………………………………...………4分
∵直线ykxb经过点D（1,0）和点E（1,2），
∴kb0,
kb2.为为为
k1,解得b1.
∴直线DE的表达式为yx1.………………………………………………………………………5分
（3）t1或
t3……………………………………………………………………………………………7分
27．解：
（1）∵一次函数y1kxb（k≠0）的图象经过（2,0），（4,1）两点，
2kb0,∴4kb1.
1k,解得2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
b1.
∴y11x1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分2
∵y2x22ax4（xa）24a2，
2∴二次函数图象的顶点坐标为（a,4a）．
„„„„„„„„„„„„„3分
（2）①当a5时，y2x25x4．2
„„„„„„„„„„„„„4分
如图10，因为y10且y2≤0，由图象
得2＜x≤4．„„„„„„„„„„6分
②
135≤a＜．„„„„„„„„„„„7分62
27．解：
（1）据题意得
9a-3b+3=0，a1,
a+b+3=0.解得
b2.
∴解析式为y=-x2-2x+3„„3分
（2）当xb
2a1时，y=4
∴顶点D（-1,4）∴F（-1，-4）„4分若以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形存在，则点Q（x,y）满足yEF4①当y=-4时，-x2-2x+3=-4
解得，x1
∴Q1（14）,Q2（14）
∴P1（P2„„6分②当y=4时，-x2-2x+3=4
解得，x=-1
∴Q3（-1,4）
∴P3（-2,0）„„7分
综上所述，符合条件的点有三个即：
P1（P2P3（2,0）
27.解：
（1）∵抛物线yax2bx1过A（1，3），B（2，1）两点．
∴ab13
4a2b11．…….1分
解得，a2
b4．
∴抛物线的表达式是y2x24x+1．…….2分设直线AB的表达式是ymxn，
∴mn3m2，解得，．…….3分2mn1n5
∴直线AB的表达式是y2x5．…….4分
（2）∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．
∴C（3，-5）．…….5分
点C平移后的对应点为点C'（3,t5）
代入直线表达式y2x5，解得t4．…….6分
结合图象可知，符合题意的t的取值范围是0t4．…….7分
27．解：
（1）当m0时，x2
当m0时，3m14m2m22
9m26m18m28m
m22m1
m12
∵m10，∴0
综上所述：
无论m取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分
（2）∵二次函数ymx（3m1）x2m
222∴2m20
∴m1………………………4分
抛物线C1的解析式为：
yx2x
抛物线C2的解析式为：
yx2x2
设直线l所在函数解析式为：
ykxb
将A和点B2,0代入ykxb
∴直线l所在函数解析式为：
yx2………5分
（3）据题意：
过点C作CEx轴交AB于E，
可证DECOAB45,则CD222
2
设Ct,t2t2，Et,t2，0t3
∴ECyEyCt23t
39
t………………………6分
24
∵0∴当t
2
332
39时，ECmax24
∵CD随EC增大而增大，
∴CDmax
27.
（1）证明：
ax22（a1）xa20（a0）是关于x的一元二次方程，
.………………………7分[2（a1）]24a（a2）··················································································1分=4．即0．
·········································································2分方程有两个不相等的实数根．·
（2）解：
由求根公式，得x
∴x1或x1
2（a1）2
．
2a
2．······························································································3分a
a0，x1＞x2，
x11，x21
2．·····························································································4分a
yax2x1a1．
即ya1（a0）为所求．………………………………………………………5分
（3）0＜a≤
27．解：
（1）∵抛物线经过0,0，4,0，6,3三点，∴
2
．…………………………………………………………………………7分3
c0
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分16a4b0,
36a6b3.
解
得
1a，4
b1，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分c0．
1
∴抛物线的解析式为yx2x．
4
1112
∵yx2xx24x44x21
444
∴抛物线的顶点坐标为
2,1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
（2）设直线CD的解析式为y2xm，
根
据
题
意
，
得
12
x4
2，x„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分xm
化简整理，得x24x4m0，由
1616m0
，解得
m1，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
∴直线CD的解析式为y2x1．
（3）点的坐标为
2,7，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
最
短
距
离
为
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分27．解：
（1）b24ac=m24m3........................................................1分=m24m44m12=m28m16=m4∵m40，
∴方程x2m2xm30总有两个实数根．..............................................2分
22
2
（2）x1,2
2mm4
2
．...............................................3分
∴x11，x2m3，
∴抛物线yx2m2xm3总过x轴上的一个定点（-1,0）．................4分（3）
∵抛物线yx2m2xm3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，∴B（3-m,0），C（0,m-3），...................................................................................5分∴△OBC为等腰直角三角形，∵△OBC的面积小于或等于8，∴OB，OC小于或等于4，
∴3-m4或m-34，.......................................................................................6分∴m-1或m7．
∴-1m7且m3．............................................................................................7分27．（本小题满分7分）
解：
（1）∵抛物线yx2bxc经过点A（4，0）和B（0，2）．
1
4
12
44bc0,∴4„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分
c2.
1
b,
2解得c2.
∴此抛物线的表达式为yx2
（2）∵yx2x2
∴C（1，
1
41
x2．„„„„„„„„„2分2
1412192
x1，44
9
）．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分4
∵该抛物线的对称轴为直线x=1，B（0，2），
∴D（2，2）．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分设直线CD的表达式为y=kx+b．
9
kb,
由题意得4
2kb2.
1k,4解得
5b.2
∴直线CD的表达式为yx
1
45
．„„„„„„„„„„„„5分2
（3）0.5＜m≤1.5．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
27.
（1）∵Δ=3k112k9k26k13k1≥0
∴方程总有两个实数根.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
（2）由求根公式得：
x=
∴x=-3或x=-2
2
-（3k+1）?
（3k
2k
1）
1k
∵x1、x2和k均为整数
∴k=±1又∵x1＜0＜x2
∴k=-1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分∴A（-3,0）,B（1,0）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分（3）（
-2,3），-1+
（
-3，-1-
）（
„„„„„„„„„„„„„„„„7分
）
27．解：
（1）直线y=kx+b（k≠0）经过P（0,3），
∴b=3．……………………………………………………1
过点B作BF⊥AC于F，∵A（5,0），B（3,2），BC=BA，∴点F的坐标是（3,0）．∴点C的坐标是（1,0）．…………………………………
（2）当直线PC经过点C时，k=﹣3．当直线PC经过点B时，k=
1
．………………………3
∴3k……………………………………………（3）3k且k为最大整数，∴k=﹣1．则直线PQ的解析式为y=﹣x+3．
1
3
13
∵抛物线y=ax2﹣5ax（a≠0）的顶点坐标是，
5
2525
a，对称轴为x．
24
5
xyx32
解方程组，得5
1xy22
即直线PQ与对称轴为x
551
的交点坐标为，…………………………………………6222
125
a2．24
82a．解得……………………………………………………………………………72525
∴
27.解：
（1）△=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1，
=（m+1）2；
∴△=（m+1）2≥0，………………………………………….（1分）∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x1=2，，…………………………….（2分）
∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x2=0或x2=4，∴m=1或）当m=1时，y=x2-2x，，∴抛物线解析式为y=x2-2x
18当时,yx22x
33
18
答：
抛物线解析式为y=x2-2x；或yx22x……….（3分）
33
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