三角函数公式知识点及应用.docx
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三角函数公式知识点及应用
三角函数公式
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三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
基本信息
∙中文名称
三角函数
∙外文名称
trigonometricfunction
∙别称
三角函数公式
∙应用学科
数学、物理、地理、天文等
∙表达式
sin，cos，tan等
∙适用领域范围
几何，代数变换
∙提出者
中国，印度等数学家
1相关概念
2三角规律
3特殊值
4重要定理
5常用公式
6函数应用
相关概念
相关概念三角函数的标准英文读音音
正弦：
sine（简写sin）[sain]
余弦：
cosine（简写cos）[kəusain]
正切：
tangent（简写tan）['tændʒənt]
余切：
cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt]
正割：
secant（简写sec）['si:
kənt]
余割：
cosecant（简写csc）['kau'si:
kənt]
正矢：
versine（简写versin）['və:
sain]
余矢：
versedcosine（简写vercos）['və:
sə:
d][kəusain]
直角三角函数
直角三角函数（∠α是锐角）
三角关系
倒数关系：
cotα*tanα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα
平方关系：
sin²α+cos²α=1
三角规律
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
三角函数本质：
根据三角函数定义推导公式根据下图，有sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，
比如以推导
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB为例：
推导：
首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。
角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A'（cos（α-β），sin（α-β））
OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0）
∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：
x^2+y^2=1
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
特殊值
15°
18°
30°
45°
60°
75°
90°
180°
sin
（√6-√2）/4
（√5-1）/4
1/2
√2/2
√3/2
（√6+√2）/4
1
0
cos
（√6+√2）/4
√3/2
√2/2
1/2
（√6-√2）/4
0
-1
tan
2-√3
√3/3
1
√3
2+√3
0
cot
2+√3
√3
1
√3/3
√3/3
2-√3
注：
cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin（45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出）
sin18°=（√5-1）/4（这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半）
重要定理
正弦定理
正弦定理：
在△ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
其中，R为△ABC的外接圆的半径。
余弦定理
余弦定理：
在△ABC中，b^2=a^2+c^2-2ac·cosθ。
其中，θ为边a与边c的夹角。
常用公式
诱导公式
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一：
sin（α+k*2π）=sinα（k为整数）
cos（α+k*2π）=cosα（k为整数）
tan（α+k*2π）=tanα（k为整数）
公式二：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tan（π+α）=tanα
公式三：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
公式四：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
公式五：
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得
公式六：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
诱导公式记背诀窍：
奇变偶不变，符号看象限。
[2]
或者也可以这样记：
分变整不变，符号看象限。
和（差）角公式
三角和公式
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）
（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）
积化和差的四个公式
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2
cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
和差化积的四个公式：
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
倍角公式
sin（3a）→3sina-4sin^3a
=sin（a+2a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3a→（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a→4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a）
=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°+a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a→4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa（cosa-cos30°）（cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
tan3a→tanatan（60°-a）tan（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
三倍角
sin3α=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）
cos3α=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
tan3α=tan（α）*（-3+tan（α）^2）/（-1+3*tan（α）^2）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）
其他多倍角
四倍角
sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
六倍角
sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））
cos6A=（-1+2*cosA）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1）
tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）
七倍角
sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））
cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））
tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
八倍角
sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））
cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）
tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
九倍角
sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））
cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））
tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
十倍角
sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）
N倍角
根据棣莫弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos（nθ）+isin（nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos（nθ）+isin（nθ）=（c+is）^n=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…+C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…=>；比较两边的实部与虚部
实部：
cos（nθ）=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…i*
虚部：
i*sin（nθ）=C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…
对所有的自然数n：
⒈cos（nθ）：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。
⒉sin（nθ）：
⑴当n是奇数时：
公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。
⑵当n是偶数时：
公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cosθ）的一次方无法消掉。
例.c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*（c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
特殊公式
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明：
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[（θ+a）/2]cos[（a-θ）/2]*2cos[（θ+a）/2]sin[（a-θ）/2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式
我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，
即i=h/l,坡度的一般形式写成l:
m形式，如i=1:
5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.
半角公式万能公式6辅助角公式
注：
该公式又称收缩公式/强提公式/化一公式等
asinα+bcosα=√（a^2+b^2）sin（α+φ），其中tanφ=b/a
asinA+bcosB=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB）令根号下a方+b方分之a=cosC则根号下a方+b方分之b=sinCasinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC）=根号下a方+b方×sin（A+C）
双曲函数
ha=[e^a-e^（-a）]/2
cha=[e^a+e^（-a）]/2
tha=sinh（a）/cosh（a）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
cot（-α）=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
cot（π-α）=-cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinα
cos（2π-α）=cosα
tan（2π-α）=-tanα
cot（2π-α）=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
tan（π/2+α）=-cotα
cot（π/2+α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
tan（π/2-α）=cotα
cot（π/2-α）=tanα
sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=-cotα
cot（3π/2+α）=-tanα
sin（3π/2-α）=-cosα
cos（3π/2-α）=-sinα
tan（3π/2-α）=cotα
cot（3π/2-α）=tanα
（以上k∈Z）
A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=
√{（A+2ABcos（θ-φ）}·sin{ωt+arcsin[（A·sinθ+B·sinφ）/√{A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}}
√表示根号，包括{……}中的内容
反三角函数公式
arcsin（-x）=-arcsinx
arccos（-x）=π-arccosx
arctan（-x）=-arctanx
arccot（-x）=π-arccotx
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2[1]
函数应用
在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角为30的B处。
到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。
（1）该船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？
解
（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°PA=1，∴AB=√3（千米）在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=√3/3（千米）在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°则BC=√（AB）^2+（AC）^2=√（√3/3）^2+（√3）^2=√30/3（√30/3）/（1/6）=2√30（千米/时）
（2）∠DAC=90°－60°=30°sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=AB/BC=√3/√30/3=3√10/10sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°=（3√3-1）√10/20在△ACD中，据正弦定理得，AD/sinDCA=AC/sinCDA∴AD=ACsinCDA/sinDCA=（9+√3）/13答：
此时船距岛A为（9+√3）/13千米．
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