三角函数公式知识点及应用.docx

1、三角函数公式知识点及应用三角函数公式?三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。基本信息中文名称三角函数外文名称trigonometric function别 称三角函数公式应用学科数学、物理、地理、天文等表达式sin，cos，tan等适用领域范围几何，代数变换提出者中国，印度等数学家1相关概念2三角规律

2、3特殊值4重要定理5常用公式6函数应用相关概念相关概念三角函数的标准英文读音音正弦：sine（简写sin）sain余弦：cosine（简写cos）kusain正切：tangent（简写tan）tndnt余切：cotangent（简写cot）kutndnt正割：secant（简写sec）si:knt余割：cosecant（简写csc）kausi:knt正矢：versine（简写versin）v:sain余矢：versed cosine（简写vercos）v:s:dkusain直角三角函数直角三角函数 （是锐角）三角关系倒数关系：cot*tan=1商的关系：sin/cos=tan平方关系：sin+

3、cos=1三角规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据下图，有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为，BOD为，旋转AOB使OB与OD重合，形成新AOD。A(cos，sin），B(cos，si

4、n），A(cos（-），sin（-）OA=OA=OB=OD=1,D（1,0)cos（-）-12+sin（-）2=(cos-cos）2+(sin-sin）2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2与（a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：x2+y2=1图象中给出了用弧度度量的一

5、些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于 cos和 sin。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin=y/1 和 cos=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。特殊值15183045607590180sin（6-2）/4(5-1)/41/22/23/2（6+2）/410cos（6+2）/43/22/21/2（6-2）/40-1tan2-33/3132+30cot2+3313/33/32-3注：cos7

6、5=（6-2）/4（这四个可根据sin（4530）=sin45cos30cos45sin30得出）sin18=(5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半)重要定理正弦定理正弦定理：在ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R其中，R为ABC的外接圆的半径。余弦定理余弦定理：在ABC中，b2 = a2 + c2 - 2accos 。其中，为边a与边c的夹角。常用公式诱导公式三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(+k*2)=sin （k为整数）cos(+k*2)=cos（k为整数）tan(+k*2)=tan（k为整数）公

7、式二：sin(+) = -sincos(+) = -costan(+）=tan公式三：sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式四：sin(-) = sincos(-) = -costan(-) =-tan公式五：sin(/2-) = coscos(/2-) =sin由于/2+=-（/2-），由公式四和公式五可得公式六：sin(/2+) = coscos(/2+) = -sin诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。2或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。和（差）角公式三角和公式sin（+）=sincoscos+cossincos+coscossin

8、-sinsinsincos（+）=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan（+）=（tan+tan+tan-tantantan）/（1-tantan-tantan-tantan）（+/2+2k，、/2+2k）积化和差的四个公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)

9、sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)倍角公式sin（3a)3sina-4sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a

10、-3cosasin3a4sinasin（60+a)sin（60-a)=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sina（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60-a)/2*2sin（60-a)/2cos（60+a)/2=4sinasin（60+a)sin（60-a)cos3a4cosacos（60-a)cos（60+a)=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30）(cosa+co

11、s30）=4cosa*2cos(a+30）/2cos(a-30）/2*-2sin(a+30）/2sin(a-30）/2=-4cosasin(a+30）sin(a-30）=-4cosasin90-（60-a)sin-90+（60+a)=-4cosacos（60-a)-cos（60+a)=4cosacos（60-a)cos（60+a)tan3atanatan（60-a)tan（60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan（60-a)tan（60+a)三倍角sin3=3sin-4sin3 =4sinsin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3 -3cos=4coscos（/3+）co

12、s（/3-）tan3=tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a tan（/3+a） tan（/3-a)其他多倍角四倍角sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4）tan4A=（4*tanA-4*tanA3）/（1-6*tanA2+tanA4）五倍角sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinAcos5A=16cosA5-20cosA3+5cosAtan5A=tanA*（5-10*tanA2+tanA4）/（1-10*tanA2+5*tanA4）六倍角sin6A=2*(cosA*sin

13、A*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA2）cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA4-16*cosA2+1）tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5）/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6）七倍角sin7A=-(sinA*（56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6）cos7A=(cosA*（56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7）tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6）/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6）八倍角si

14、n8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）*(-8*sinA2+8*sinA4+1）cos8A=1+（160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2）tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6）/（1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8）九倍角sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2）*（64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3）cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2）*（64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3）tan9A=tanA*（

15、9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8）/（1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8）十倍角sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA2+2*sinA-1）*（4*sinA2-2*sinA-1）*(-20*sinA2+5+16*sinA4）cos10A = (-1+2*cosA2）*（256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1）tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8）/(-1+45*tanA2-210*t

16、anA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10）N倍角根据棣莫弗定理，（cos+ i sin）n = cos(n）+ i sin(n）为方便描述，令sin=s，cos=c考虑n为正整数的情形：cos(n）+ i sin(n） = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n- 4）*(i s)4 + . +C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . =；比较两边的实部与虚部实部：cos(n）=C(n,0)*cn +

17、 C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n-4）*(i s)4 + . i*虚部：i*sin(n）=C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . 对所有的自然数n：cos(n）：公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cos）表示。sin(n）：当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sin）表示。当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2（平方关系），

18、因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cos）的一次方无法消掉。例. c3=c*c2=c*（1-s2），c5=c*(c2）2=c*（1-s2）2）特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）证明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）坡度公式我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角）

19、，那么i=h/l=tan a.半角公式万能公式6辅助角公式注：该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等asin +bcos =(a2+b2)sin(+)，其中tan =b/aasinA+bcosB=根号下a方+b方（根号下a方+b方分之asinA+根号下a方+b方分之bcosB) 令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方sin(A+C)双曲函数h a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公

20、式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= costan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -c

21、ot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2-）= -sincos（2-）= costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= coscos（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2+）= -coscos（3/2+）= sintan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）=

22、-sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan（以上kZ)Asin（t+）+ Bsin（t+） =(A+2ABcos（-） sint + arcsin (Asin+Bsin） / A2 +B2 +2ABcos（-）表示根号，包括中的内容反三角函数公式arcsin(-x)= -arcsinxarccos(-x)=-arccosxarctan(-x)= -arctanxarccot(-x)=-arccotxarcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=/21函数应用在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角

23、为30的B处。到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处。（1）该船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？解（1）在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= 3（千米） 在RtPAC中，APC=30，AC= 3/3（千米）在ACB中，CAB=30+60=90则BC= (AB)2+(AC)2= ( 3/3)2+( 3)2= 30/3( 30/3)/(1/6)=2 30（千米/时）（2）DAC=9060=30sinDCA=sin（180ACB）=sinACB=AB/BC= 3/ 30/3=3 10/10sinCDA=sin（ACB30）=sinACBcos30cosACBsin30=(3 3-1) 10/20在ACD中，据正弦定理得，AD/sinDCA=AC/sinCDAAD=ACsinCDA/sinDCA=(9+ 3)/13答：此时船距岛A为(9+ 3)/13千米