贵州省黔东南州届九年级上期末数学试题.docx
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贵州省黔东南州届九年级上期末数学试题
贵州省黔东南州2019届九年级（上）期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．下列图形是我们日常生活中经常看到的一些标志，则其中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
3．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．任意一个六边形的外角和等于720°
C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同
D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
4．如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4cm，EM＝6cm，则⊙O的半径为（ ）
A．5B．3C．
D．4
5．抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，2）D．（﹣2，﹣2）
6．已知方程x2+2018x﹣3＝0的两根分别为α和β，则代数式α2+αβ+2018α的值为（ ）
A．1B．0C．2018D．﹣2018
7．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．30°
9．已知a、b是等腰三角形的两边，且a、b满足a2+b2+29＝10a+4b，则△ABC的周长为（ ）
A．14B．12C．9或12D．10或14
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴为直线l，则下列结论：
①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞0；④a+b＞0，正确的是（ ）
A．①②④B．②④C．①③D．①④
二、填空题
11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．
12．抛物线y＝
x2的对称轴是直线_____．
13．一元二次方程x（x﹣2）=x﹣2的根是_____．
14．小明和他的哥哥、姐姐共3人站成一排，小明与哥哥相邻的概率是_____．
15．圣诞节，小红用一张半径为24cm，圆心角为120°的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的高为_____cm．
16．已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是_____．
17．如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为__________________．
18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表，则在实数范围内能使得y﹣1＞0成立的x的取值范围是_____．
x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
6
1
﹣2
﹣3
﹣2
1
……
三、解答题
19．解方程
（1）x2﹣2x﹣48＝0．
（2）2x2﹣4x＝﹣1．
20．将抛物线y1＝2x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线y2．
（1）直接写出平移后的抛物线y2的解析式；
（2）求出y2与x轴的交点坐标；
（3）当y2＜0时，写出x的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）
（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；
（3）求△A2B2C1的面积．
22．传统节日“元宵节”时，小丽的妈妈为小丽盛了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅，一个汤圆是黑芝麻馅，两个汤圆草莓馅，这4个汤圆除了内部馅料不同外，其他均相同．
（1）若小丽随意吃一个汤圆，刚好吃到黑芝麻馅的概率是多少？
（2）小丽喜欢草莓馅的汤圆，妈妈在盛了4个汤圆后，又为小丽多盛了2个草莓馅的汤圆，若小丽吃2个汤圆，都是草莓馅的概率是多少？
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
24．一年一度的“春节”即将到来，某超市购进一批价格为每千克3元的桔子，根据市场预测，该种桔子每千克售价4元时，每天能售出500千克，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10千克，物价部门规定，该种桔子的售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给这种桔子定价，使得超市每天销售这种桔子的利润为800元．
25．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据中心对称的定义：
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．
【详解】
解：
A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．
2．C
【解析】
【分析】
把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：
把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．
故选：
C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．D
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：
A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；
B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；
C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件；
D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件；
故选：
D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．C
【解析】
【分析】
如图，连接OC．设⊙O的半径为r．首先证明EN经过圆心O，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：
如图，连接OC．设⊙O的半径为r．
∵CM＝DM＝2cm，EM⊥CD，
∵EM经过圆心O，
在Rt△COM中，∵OC2＝OM2+CM2，
∴r2＝22+（6﹣r）2，
∴r＝
，
故选C．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5．C
【解析】
【分析】
已知抛物线的一般式，利用配方法转化为顶点式，直接写成顶点坐标．
【详解】
解：
∵y＝x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标为（2，2）．
故选：
C．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；此题还考查了配方法求顶点式．
6．B
【解析】
【分析】
由根与系数的关系得到α+β＝﹣2018，将其代入整理后的代数式求值．
【详解】
解：
依题意得：
αβ＝﹣3，α+β＝﹣2018，α2+2018α﹣3＝0，
所以α2+αβ+2018α＝α（α+β）+2018α＝﹣2018α+2018α＝0．
故选B．
【点睛】
考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的巧妙之处在于将所求的代数式转化为α（α+β）+2018α的形式，然后代入求值．
7．A
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝70°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠BAB′＝40°，然后计算∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′即可．
【详解】
解：
∵C′C∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAB′＝40°，
∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
8．A
【解析】
【分析】
在四边形OBCD中，利用四边形内角和定理即可解决问题．
【详解】
解：
∵∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣80°＝100°，∠BOD＝2∠A＝160°，
∴∠ODC＝360°﹣160°﹣60°﹣100°＝40°，
故选A．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．B
【解析】
【分析】
利用配方法分别求出a、b，根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．
【详解】
解：
a2+b2+29＝10a+4b，
a2﹣10a+25+b2﹣4b+4＝0，
（a﹣5）2+（b﹣2）2＝0，
a﹣5＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝5，b＝2，
∵2、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：
5+5+2＝12，
故选：
B．
【点睛】
本题考查的是配方法、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握配方法、完全平方公式是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：
①抛物线的对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
所以abc＞0．
故正确；
②如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
故错误；
③由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
所以a+a+c+c＜0．
所以2a+2c＜0．
所以a+c＜0．
故错误；
④由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，
所以4a+2b+b﹣a＞0，
所以3a+3b＞0．
所以a+b＞0．
故正确．
故选D．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
11．（1，﹣2）
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【详解】
解：
在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
12．y轴或（x＝0）
【解析】
【分析】
直接利用y＝ax2图象的性质得出其对称轴．
【详解】
解：
抛物线y＝
x2的对称轴是直线y轴或（x＝0）．
故答案为：
y轴或（x＝0）．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．
13．1或2
【解析】
【分析】
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可得答案．
【详解】
x（x﹣2）=x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣1）=0，
x﹣2=0，x﹣1=0，
x1=2，x2=1，
故答案为：
1或2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．
【解析】
【分析】
根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
【详解】
解：
设小明为A，哥哥为B，姐姐为C，
则所有的可能性是：
（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），
∴他的哥哥相邻的概率是
＝
，
故答案为：
．
【点睛】
此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．
【分析】
根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是16π，列出方程求解即可求得半径，然后利用勾股定理求得高即可．
【详解】
解：
半径为24cm、圆心角为120°的扇形弧长是：
＝16π，
设圆锥的底面半径是r，
则2πr＝16π，
解得：
r＝8cm．
所以帽子的高为
＝16
故答案为16
．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：
解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
16．m≥﹣
．
【解析】
【分析】
方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
【详解】
解：
依题意得：
△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．
解得m≥﹣
．
故答案是：
m≥﹣
．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
17．（16－2x）（9－x）＝112
【解析】
设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16-2x，9-x，
根据题意即可得出方程为：
（16-2x）（9-x）=112，
故答案为：
（16-2x）（9-x）=112.
18．x＜﹣1或x＞3
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y＝1的自变量x的值即可．
【详解】
解：
∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
∵x＝﹣1时，y＝1，
∴x＝3时，y＝1，
根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，
∴抛物线的开口向上，
∴y﹣1＞0成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3，
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．
19．
（1）x1＝﹣6，x2＝8；
（2）x1＝1+
，x2＝1﹣
．
【解析】
【分析】
（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；
（2）直接利用配方法将原式变形，进而解方程即可．
【详解】
解：
（1）x2﹣2x﹣48＝0
（x+6）（x﹣8）＝0，
解得：
x1＝﹣6，x2＝8；
（2）2x2﹣4x＝﹣1
（x2﹣2x）＝﹣
（x﹣1）2＝
，
则x﹣1＝±
，
解得：
x1＝1+
，x2＝1﹣
．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法、配方法解方程，正确分解因式是解题关键．
20．
（1）y2＝2（x﹣3）2﹣2；
（2）（2，0），（4，0）；（3）当2＜x＜4时，y2＜0．
【分析】
（1）利用点平移规律写出平移后的顶点坐标为（3，﹣2），然后利用顶点式写出抛物线y2的解析式；
（2）通过解方程2（x﹣3）2﹣2＝0得y2与x轴的交点坐标；
（3）利用函数图象写出抛物线在x轴上方对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：
（1）平移后的抛物线y2的解析式为y2＝2（x﹣3）2﹣2；
（2）当y2＝0时，2（x﹣3）2﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝4，
所以y2与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）；
（3）当2＜x＜4时，y2＜0．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：
把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．
（1）见解析;
（2）A2（﹣1，1）、B2（1，﹣1）；（3）3．
【解析】
【分析】
（1）由点A及其对应点A1的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得；
（2）由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用割补法求解可得．
【详解】
解：
（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，其中A2的坐标为（﹣1，1）、B2的坐标为（1，﹣1）；
（3）△A2B2C1的面积为2×4﹣
×2×2﹣
×1×2﹣
×1×4＝3．
【点睛】
本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22．
（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：
（1）所有等可能结果中，满足吃一个汤圆，吃到黑芝麻馅的结果只有1种，
∴吃到黑芝麻馅的概率为
；
（2）列表如下：
花
黑
草
草
草
草
草
花
（花，黑）
（花，草）
（花，草）
（花，草）
（花，草）
（花，草）
黑
（黑，花）
（黑，草）
（黑，草）
（黑，草）
（黑，草）
（黑，草）
草
（草，花）
（草，黑）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
草
（草，花）
（草，黑）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
草
（草，花）
（草，黑）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
草
（草，花）
（草，黑）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
草
（草，花）
（草，黑）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
（草，草）
由表知，共有30种等可能结果，2个都是草莓馅的结果有12种，
所以都是草莓馅的概率是
．
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．
（1）证明见解析；
（2）6．
【解析】
试题分析：
（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
试题解析：
（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：
r=3，∴⊙O的直径为6．
考点：
切线的判定与性质．
24．每千克桔子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【解析】
【分析】
设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×
）千克桔子，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的200%即可确定x的值，此题得解．
【详解】
解：
设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×
）千克桔子，
依题意，得：
（x﹣3）（500﹣10×
）＝800，
整理，得：
x2﹣12x+35＝0，
解得：
x1＝5，x2＝7．
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%，即x≤6，
∴x＝5．
答：
每千克桔子的定价为5元时，每天的利润为800元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．
（1）y＝x2﹣2x﹣3;
（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+
，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．
（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
【详解】
解：
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得
解得
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
解得
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：
x＝1±
，∵x＞0∴x＝1+
．
∴P（1+
，﹣2）
【点睛】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．
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