高考数学一轮 函数与方程.docx

高考数学一轮 函数与方程.docx

《高考数学一轮 函数与方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮 函数与方程.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学一轮函数与方程

第11课函数与方程

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

函数与方程

√

1．函数的零点

（1）函数零点的定义

对于函数y＝f（x）（x∈D），把使函数y＝f（x）的值为0的实数x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．

（2）几个等价关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

与x轴的交点

（x1,0），

（x2,0）

（x1,0）

无交点

零点个数

2

1

0

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（　　）

（2）函数y＝f（x），x∈D在区间（a，b）⊆D内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0.（　　）

（3）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（　　）

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．（教材改编）函数f（x）＝ex＋3x的零点个数是________．

1　[∵f（－1）＝－3＜0，f（0）＝1＞0，

∴f（x）在（－1,0）内有零点，

又f（x）为增函数，∴函数f（x）有且只有一个零点．]

3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________．（填序号）

①y＝cosx；

②y＝sinx；

③y＝lnx；

④y＝x2＋1.

①　[由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cosx是偶函数又有零点．]

4．函数f（x）＝3x－x2的零点所在区间是________．（填序号）

①（0,1）；②（1,2）；③（－2，－1）；④（－1,0）．

④　[∵f（－2）＝－，f（－1）＝－，

f（0）＝1，f

（1）＝2，f

（2）＝5，

∴f（0）f

（1）＞0，f

（1）f

（2）＞0，

f（－2）f（－1）＞0，f（－1）f（0）＜0.]

5．函数f（x）＝ax＋1－2a在区间（－1,1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

　[∵函数f（x）的图象为直线，由题意可得f（－1）f

（1）＜0，

∴（－3a＋1）·（1－a）＜0，解得＜a＜1，

∴实数a的取值范围是.]

函数零点所在区间的判断

（1）函数f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上________（填“存在”或“不存在”）零点．

（2）已知函数f（x）＝lnx－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是（k，k＋1）（k∈Z），则k＝________.

（1）存在　

（2）2　[

（1）法一：

∵f

（1）＝12－3×1－18＝－20＜0，

f（8）＝82－3×8－18＝22＞0，

∴f

（1）·f（8）＜0，

又f（x）＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图象是连续的，

故f（x）＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．

法二：

令f（x）＝0，得x2－3x－18＝0，

∴（x－6）（x＋3）＝0.

∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，

∴f（x）＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．

（2）∵f（x）＝lnx－x－2在（0，＋∞）上是增函数，

又f

（1）＝ln1－－1＝ln1－2＜0，

f

（2）＝ln2－0＜0，

f（3）＝ln3－1＞0，

∴x0∈（2,3），即k＝2.]

[规律方法]　确定函数f（x）的零点所在区间的2种常用方法

1．定义法：

使用零点存在性定理，函数y＝f（x）必须在区间[a，b]上是连续的，当f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内至少有一个零点．

2．图象法：

若一个函数（或方程）由两个初等函数的和（或差）构成，则可考虑用图象法求解，如f（x）＝g（x）－h（x），作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，其交点的横坐标即为函数f（x）的零点．

[变式训练1]　设f（x）＝lnx＋x－2，在下列区间中，包含函数f（x）的零点所在的区间为________．（填序号）

①（0,1）；②（1,2）；③（2,3）；④（3,4）．

②　[函数f（x）的零点所在的区间可转化为函数g（x）＝lnx，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：

可知f（x）的零点所在的区间为（1,2）．]

判断函数零点的个数

（1）函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________.【导学号：

62172059】

（2）函数f（x）＝的零点个数为________．

（1）2　

（2）3　[

（1）令f（x）＝2x|log0.5x|－1＝0，

可得|log0.5x|＝x.

设g（x）＝|log0.5x|，h（x）＝x，在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f（x）有2个零点．

（2）当x＞0时，作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，

由图知，当x＞0时，f（x）有2个零点；

当x≤0时，由f（x）＝0得x＝－，

综上，f（x）有3个零点．]

[规律方法]　判断函数零点个数的方法：

（1）解方程法：

所对应方程f（x）＝0有几个不同的实数解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：

利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．

（3）数形结合法：

转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

[变式训练2]　（2015·湖北高考）函数f（x）＝2sinxsin－x2的零点个数为________．

2　[f（x）＝2sinxsin－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，由f（x）＝0，得sin2x＝x2.

设y1＝sin2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．

由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f（x）有两个零点．]

函数零点的应用

　已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x－4）＝f（x），且在区间[0,2]上f（x）＝x，若关于x的方程f（x）＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围.

【导学号：

62172060】

[思路点拨]　先作出函数f（x）的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．

[解]　由f（x－4）＝f（x）知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f（x－4）＝f（x）＝f（4－x），

所以函数图象关于x＝2对称，且f

（2）＝f（6）＝f（10）＝2，要使方程f（x）＝logax有三个不同的根，则满足

如图，即解得＜a＜.

故a的取值范围是（，）．

[规律方法]　已知函数有零点求参数取值范围常用的方法

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

[变式训练3]　

（1）函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是________．

（2）（2016·山东高考）已知函数f（x）＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

（1）（0,3）　

（2）（3，＋∞）　[

（1）∵函数f（x）＝2x－－a在区间（1,2）上单调递增，又函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1,2）内，则有f

（1）·f

（2）＜0，∴（－a）（4－1－a）＜0，即a（a－3）＜0，∴0＜a＜3.

（2）作出f（x）的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝（x－m）2＋4m－m2，∴要使方程f（x）＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.]

[思想与方法]

1．转化思想在函数零点问题中的应用

方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．

2．判断函数零点个数的常用方法

（1）通过解方程来判断．

（2）根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．

（3）将函数y＝f（x）－g（x）的零点个数转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）图象公共点的个数来判断．

3．利用函数零点求参数范围的常用方法：

直接法、分离参数法、数形结合法．

[易错与防范]

1．函数的零点不是点，是方程f（x）＝0的实根．

2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．

课时分层训练（十一）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．若函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是________．

0，－　[由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.

令g（x）＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]

2．（2017·镇江期中）方程lgx－sinx＝0的解的个数是________．

3　[∵lgx－sinx＝0，∴lgx＝sinx，分别作出函数y＝lgx与函数y＝sinx的图象可知，两个函数有3个交点．]

3．已知函数f（x）＝则函数f（x）的零点为________．

1　[由f（x）＝0得，2x－1＝0或log2x＋1＝0，解得x＝0或x＝（舍去）．]

4．已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a<0）在区间（0,1）上有零点，则a的取值范围为________.【导学号：

62172061】

（－2,0）　[由x2＋x＋a＝0得a＝－x2－x.

又y＝－x2－x＝－2＋

x∈（0,1），∴y∈（－2,0）．

即a∈（－2,0）．]

5．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．

（－∞，1）　[设函数f（x）＝x2＋mx－6，则根据条件有f

（2）＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]

6．若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．

（0,2）　[由f（x）＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，

则当0

7．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.【导学号：

62172062】

0

又因为x＝2时，（x－1）3＝1且＝1，所以f（x）的最大值为1，对应点为（2,1），

又y＝kx过原点（0,0），所以k＝＝.可见0

8．（2016·浙江高考）设函数f（x）＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f（x）－f（a）＝（x－b）（x－a）2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.

－2　1　[∵f（x）＝x3＋3x2＋1，则f（a）＝a3＋3a2＋1，

∴f（x）－f（a）＝（x－b）（x－a）2＝（x－b）（x2－2ax＋a2）＝x3－（2a＋b）x2＋（a2＋2ab）x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.

由此可得

∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.]

9．（2017·盐城模拟）已知函数f（x）＝则方程f（x）＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是______________．（注：

e为自然对数的底数）

　[由题意可知y＝f（x）与y＝ax有2个交点，

当a＝时，易知y＝lnx与y＝x恰有两个交点，

设y＝ax与y＝lnx的切点为（x0，y0），易知当a＝时为临界状态，此时切线方程y－y0＝（x－x0）恰过原点（0,0）．

解得x0＝e，即a＝，故所求实数a的取值范围为.]

10．（2017·启东中学高三第一次月考）已知函数f（x）＝－kx2（x∈R）有两个零点，则k的取值范围________.【导学号：

62172063】

（－∞，0）∪（0,1）　[由f（x）＝0得＝kx2＝k|x|2（*），

显然x＝0是f（x）＝0的一个根，故原命题等价于当x≠0时，（*）式＝k|x|有且只有一个根．

分别作出y＝及y＝k|x|的图象，（实线表示k>0的情况，虚线表示k<0的情况）．

（1）当k>0，且x<0时，＝k|x|可化为kx2＋2kx＋1＝0.

由Δ＝4k2－4k＝0得k＝1或k＝0（舍去），结合图象可知，当k∈（0,1）时合题意．

（2）当k<0时，结合图象可知，方程kx2＋2kx＋1＝0一定有实根，

综上所述k的取值范围为（－∞，0）∪（0,1）．]

二、解答题

11．已知函数f（x）＝x3－x2＋＋.证明：

存在x0∈，使f（x0）＝x0.

[证明]　令g（x）＝f（x）－x.

∵g（0）＝，g＝f－＝－，

∴g（0）·g＜0.

又函数g（x）在上连续，

∴存在x0∈，使g（x0）＝0，

即f（x0）＝x0.

12．已知二次函数f（x）＝x2＋（2a－1）x＋1－2a.

（1）判断命题：

“对于任意的a∈R，方程f（x）＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

（2）若y＝f（x）在区间（－1,0）及内各有一个零点，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）“对于任意的a∈R，方程f（x）＝1必有实数根”是真命题．

依题意，f（x）＝1有实根，即x2＋（2a－1）x－2a＝0有实根．

因为Δ＝（2a－1）2＋8a＝（2a＋1）2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋（2a－1）x－2a＝0必有实根，从而f（x）＝1必有实根．

（2）依题意，要使y＝f（x）在区间（－1,0）及内各有一个零点，

只需

即解得

故实数a的取值范围为.

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是________．

（0,1]　[因为当x＞0时，f（x）＝2x－1，

由f（x）＝0得x＝.

所以要使f（x）在R上有两个零点，则必须2x－a＝0在（－∞，0]上有唯一实数解．

又当x∈（－∞，0]时，2x∈（0,1]，且y＝2x在（－∞，0]上单调递增，

故所求a的取值范围是（0,1]．]

2．函数f（x）＝则函数y＝f（f（x））＋1的所有零点所构成的集合为________．

　[由题意知f（f（x））＝－1，由f（x）＝－1得x＝－2或x＝，

则函数y＝f（f（x））＋1的零点就是使f（x）＝－2或f（x）＝的x的值．

解f（x）＝－2得x＝－3或x＝，

解f（x）＝得x＝－或x＝，

从而函数y＝f（f（x））＋1的零点构成的集合为.]

3．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

[解]　法一（换元法）：

设t＝2x（t＞0），则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，（*）

原方程有实根，即方程（*）有正根．

令f（t）＝t2＋at＋a＋1.

①若方程（*）有两个正实根t1，t2，

则解得－1＜a≤2－2；

②若方程（*）有一个正实根和一个负实根（负实根不合题意，舍去），则f（0）＝a＋1＜0，解得a＜－1；

③若方程（*）有一个正实根和一个零根，则f（0）＝0且－＞0，解得a＝－1.

综上，a的取值范围是（－∞，2－2]．

法二（分离变量法）：

由方程，解得a＝－，

设t＝2x（t＞0），

则a＝－＝－

＝2－，其中t＋1＞1，

由基本不等式，得（t＋1）＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.

4．已知二次函数f（x）＝x2－16x＋q＋3.

（1）若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围．

（2）是否存在常数t（t≥0），当x∈[t,10]时，f（x）的值域为区间D，且区间D的长度为12－t（视区间[a，b]的长度为b－a）．

[解]　

（1）因为函数f（x）＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，所以f（x）在区间[－1,1]上是减函数．

因为函数在区间[－1,1]上存在零点，

则必有即

所以－20≤q≤12.

（2）因为0≤t<10，f（x）在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.

①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f（t）最大，f（8）最小，

所以f（t）－f（8）＝12－t，即t2－15t＋52＝0，

解得t＝，所以t＝；

②当6

f（10）最大，f（8）最小，

所以f（10）－f（8）＝12－t，解得t＝8；

③当8

f（10）最大，f（t）最小，

所以f（10）－f（t）＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8或9，

所以t＝9.

综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件．