弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解.docx
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弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解
弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解
第26卷第3期xx年9月
固体力学学报
ACTAMECHANICASOLIDASINICA
Vo、l26No、3
September弹性地基上矩形薄板问题的
Hamilton正则方程及解析解
*
钟阳张永山摘要利用辛算法求出弹性地基上矩形薄板问题的解析解,将弹性地基视为双参数弹性地基,直接从弹性矩形薄板的控制方程推导出了问题的Hamilton正则方程,为求出任意边界条件下问题的理论解奠定了基础,并且通过算例验证了文中所采用方法的正确性、
关键词弹性薄板,弹性地基,Hamilton正则方程,辛算法,解析解
0引言
弹性矩形板是土木工程中最常见的一种结构形
式,例如:
高速公路中的水泥混凝土路面和机场跑道、高层建筑的基础等等、但其解析解只有在较简单的边界条件下才可以得到、对于复杂的边界条件,只有采用数值解、钟万勰教授将辛算法引入弹性力学问题的求解过程,使得一些无法获得解析解的问题得到了解决、辛几何法求解问题的关键之一,是要把所求的问题表示成为Hamilton正则方程,进而可利用辛几何空间的分离变量法求出解析解、本文将弹性地基视为双参数弹性地基,直接从弹性矩形薄板的控制方程出发,推导出了问题的Hamilton正则方程,为利用辛几何方法求出任意边界条件的理论解奠定了基础、利用所得到的Hamilton正则方程,文中还给出算例来验证方法的正确性、
1弹性地基上矩形薄板的Hamilton正则方程双参数弹性地基上弹性矩形薄板问题的其控制
[5]
方程为
Gs24Kq
WD2+2
xy
[1~4]
My=-D+yx
由和式相加可得
=Mx+My=-D+xy
Dyy
则和式可表示为
M=-2
Gs=WDDDx
2
W
=MKK
=-DKx
2
=W+22DDxKDDK
2
由式中的第二式以及,和式可写成
Z
=HZ+fy
其中
稿
!
326!
固体力学学报全文结束》》年第26卷
Z=[WN],H=
00
2
T
QB
AK
、将式代入边界条件后,经整理后可得到
2
2
2
2
关于x轴对称部分有
AWCh+CWCh=0AW
[+!
]Sh+CW
[!
]Sh=0
并令其系数行列式为零,可得到本征值的超越方程为
2222
[Th2222!
[+!
]
Th=0由式以及和式可得到
22
AW=
[+!
]Sh
BW=
[+!
]ChCW=-
[+!
]Sh
DW=-
[+!
]Ch
将上式代入式就可以得到W!
的解析表达式,由式就可以求出本征函数向量X的解析表达式,再由式可以得到问题的全部解析解、
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B=
-x
D
2Gs
-Dx2D
N=DKD
[4]
T
f=
000Xbi
T
T
faiXai+
Qbiexp+Xai
fbiXbi
其中待定常数Qai和Qbi可由板在y方向的两边边界条件确定出、实际上,方程是特征值问题,将它展开可归结为如下常微分方程的求解
22W!
W!
+2+dxdx4
2
W!
=0
2
2
442
2算例
为了证明本文所推导出的公式的正确性,取文献[6]中的弹性地基上四边自由矩形薄板为例,板的边长a=b,泊松比=0、167,Ka=10D,在板面上中心位置作用有集中荷载P、分别计算板的挠度值以及在x=0边界处的板的弯矩值、表1和表2分别列出了本文的计算结果和文献[6]的结果、由表可知,本文的计算结果同文献[6]的计算结果非常
接近,从而表明本文采用辛几何方法推导出的弹性、
4
4
方程的特征根为=t!
a/2
文献[6]
y=-a/2
挠度值
文献[6]
y=0
本文
-0、45-0、46
-0、002-0、001
1、75
1、76
6、71
6、77
12、275
12、45
本文
-0、12-0、11
-3a/8-0、26-0、24
x值-a/4-0、36-0、38
-a/8-0、43-0、48
0-0、45-0、56
表2板在x=0边界上的弯矩值Mx
y值弯矩
-a/4-
3、8∀10-4P4
-a/
21、2∀10-4P
1、3∀10P
-4
参考文献
1钟万勰、分离变量法与哈密尔顿体系、计算结构力学及其应用,1991,8:
229~240
2钟万勰、条形域弹性平面问题与哈密尔顿体系、大连理工大学学报,1991,31:
373~384
3钟万勰、弹性力学求解新体系、大连:
大连理工大学出版社1995
4钟万勰,姚伟岸、板弯曲求解新体系及其应用、力学学报,
1999,31:
173~183
5张福范,弹性平板、北京:
科学出版社,19846曲庆璋,章权,梁兴复、弹性薄板理论、北京:
人民交通出版社,2000
文献[6]
1、9∀10-4P本文
1、9∀10P
-4
3结论
将弹性地基上矩形薄板的基本方程导向Hamilton体系的正则方程,问题可以在辛几何空间中用分离变量法推导出了问题的解析解、由于不需要人为选取位移函数,而是直接从弹性板的基本方程出发,推导出能完全满足边界条件的解析解,使得本文的方法更加合理化和理论化、通过数值算例也证明了方法的正确性、
HAMILTONCANONICALEQUATIONSANDTHEANALYTICAL
SOLUTIONFORRECTANGULARTHINPLATE
ONELASTICFOUNDATION
ZhongYangZhangYongshan
1
2AbstractTheHamiltoncanonicalequationsandthetheoreticalsolutionforrectangularthinplateonfoundationwithfourfreeedgesarederivedbysymplecticgeometrymethod、Firstly,thebasicequationsforelasticthinplateonelasticfoundationaretransferredintoHamiltoncanonicalequations、Thenthewholevariablesareseparatedandtheeigenvaluesareobtainedbythesymplecticgeometrymethod、Finally,accordingtothemethodofeigenfunctionexpansioninthesymplecticgeometry,theexplicitsolutionsforarectangularthinplateonthefoundationwithfourfreeedgesarepresented、Numericalresultsbasedonthesolutionareparedwiththatinliteraturetoclarifythecorrectnessofthesolution、
Keywordsrectangularthinplate,elasticfoundation,Hamiltoncanonicalequationsymplecticgeometry,theoreticsolution
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