弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解.docx

1、弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解第26卷第3期xx年9月固体力学学报ACTA MECHAN I CA SOLI DA SI N I CAVo、 l26N o 、3Septe m ber 弹性地基上矩形薄板问题的H a m ilton 正则方程及解析解*钟 阳 张永山摘 要 利用辛算法求出弹性地基上矩形薄板问题的解析解, 将弹性地基视为双参数弹性地基, 直接从弹性矩形薄板的控制方程推导出了问题的H am ilton 正则方程, 为求出任意边界条件下问题的理论解奠定了基础, 并且通过算例验证了文中所采用方法的正确性、关

2、键词 弹性薄板, 弹性地基, H a m ilton 正则方程, 辛算法, 解析解0 引言弹性矩形板是土木工程中最常见的一种结构形式, 例如:高速公路中的水泥混凝土路面和机场跑道、高层建筑的基础等等、 但其解析解只有在较简单的边界条件下才可以得到、 对于复杂的边界条件, 只有采用数值解、 钟万勰教授将辛算法引入弹性力学问题的求解过程, 使得一些无法获得解析解的问题得到了解决、 辛几何法求解问题的关键之一, 是要把所求的问题表示成为H a m ilton 正则方程, 进而可利用辛几何空间的分离变量法求出解析解、 本文将弹性地基视为双参数弹性地基, 直接从弹性矩形薄板的控制方程出发, 推导出了问题

3、的H a m ilton 正则方程, 为利用辛几何方法求出任意边界条件的理论解奠定了基础、 利用所得到的H a m ilton 正则方程, 文中还给出算例来验证方法的正确性、1 弹性地基上矩形薄板的Ha m ilton 正则方程双参数弹性地基上弹性矩形薄板问题的其控制5方程为G s24K qWD2+2x y14M y =-D + y x由 和 式相加可得=M x +M y =-D + x y D y y则 和 式可表示为M =-2G s =WD D D x2W=MK K=-D K x2=W+22D D x K D D K2由 式中的第二式以及, 和 式可写成Z=H Z +f y其中稿!326!

4、固体力学学报全文结束年第26卷Z =W N , H =002TQ BAK、 将 式代入边界条件后, 经整理后可得到2222关于x 轴对称部分有A W Ch +C W Ch =0A W + ! Sh +C W ! Sh =0并令其系数行列式为零, 可得到本征值的超越方程为2222 Th2222! +! Th =0 由 式以及 和 式可得到22A W = +! Sh B W = +! Ch C W =- +! Sh D W =- +! Ch 将上式代入 式就可以得到W ! 的解析表达式, 由 式就可以求出本征函数向量X 的解析表达式, 再由 式可以得到问题的全部解析解、22222222222222

5、B =- xD2G s-D x2D, N =D K D4Tf =0 0 0X b iTTf a i X a i +Q b i exp +X a if b i X b i其中待定常数Q ai 和Q bi 可由板在y 方向的两边边界条件确定出、 实际上, 方程 是特征值问题, 将它展开可归结为如下常微分方程的求解22W ! W ! +2 +d x d x42W ! =0224422 算例为了证明本文所推导出的公式的正确性, 取文献6中的弹性地基上四边自由矩形薄板为例, 板的边长a =b , 泊松比 =0、167, K a =10D, 在板面上中心位置作用有集中荷载P、 分别计算板的挠度值以及在x

6、=0边界处的板的弯矩值、 表1和表2分别列出了本文的计算结果和文献6的结果、 由表可知, 本文的计算结果同文献6的计算结果非常接近, 从而表明本文采用辛几何方法推导出的弹性、44方程 的特征根为 = t!a /2文献6y =-a /2挠度值文献6y =0本文-0、45-0、46-0、 002-0、 0011、751、766、716、7712、27512、45本文-0、12-0、11-3a /8-0、26-0、24x 值-a /4-0、36-0、38-a /8-0、43-0、480-0、45-0、56表2 板在x =0边界上的弯矩值M xy 值弯矩-a /4-3、810-4P4-a /21、21

7、0-4P1、310P-4参 考 文 献1 钟万勰、 分离变量法与哈密尔顿体系、 计算结构力学及其应用,1991,8:2292402 钟万勰、 条形域弹性平面问题与哈密尔顿体系、 大连理工大学学报,1991,31:3733843 钟万勰、 弹性力学求解新体系、 大连:大连理工大学出版社19954 钟万勰, 姚伟岸、 板弯曲求解新体系及其应用、 力学学报,1999,31:1731835 张福范, 弹性平板、 北京:科学出版社,19846 曲庆璋, 章权, 梁兴复、 弹性薄板理论、 北京:人民交通出版社,2000文献61、910-4P 本文1、910P-43 结论将弹性地基上矩形薄板的基本方程导向H

8、 a m il ton 体系的正则方程, 问题可以在辛几何空间中用分离变量法推导出了问题的解析解、 由于不需要人为选取位移函数, 而是直接从弹性板的基本方程出发, 推导出能完全满足边界条件的解析解, 使得本文的方法更加合理化和理论化、 通过数值算例也证明了方法的正确性、HA M I LTON CANON I CAL EQUAT I ONS AND THE ANALYT ICALS OLUTI ON FOR RECTANGULAR TH I N PLATEON ELAST I C FOUNDAT I ONZhong Y ang Zhang Yongshan12Abst ract The H a

9、m ilton canon ica l equati o ns and the theoretical so l u ti o n for rectangu lar thin plate on founda ti o n w it h four free edges are derived by sy mp lectic geo m e try m et h od 、 F irstl y , the basic equations for e lastic th i n plate on e l a stic foundation are transferred i n to H a m il

10、ton canon ica l equations 、 Then the whole variab les are separated and the eigenva l u es are obta i n ed by the sy m plectic geo m etry m ethod 、 Fi n ally , according to the m ethod of e i g en f u nction expansi o n i n the sy mp lectic geo m etr y , the explicit solutions for a rectangu lar th

11、i n p late on the foundation w it h four free edges are presented 、 Num erical resu lts based on the so lution are pared w ith that i n literature to clarify the correctness o f the so l u tion 、K ey w ords rectangular thi n plate , elasti c foundati o n , H a m ilton canon ica l equati o n sy m plectic geo m etry , t h eore tic solution