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数列
、数列的概念
（1）数列定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位
置的叫第2项，•…
••，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；
数列的一般形式：
ai，a2，a3，……,an,……，简记作an。
（2）通项公式的定义：
如果数列｛an｝的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：
①：
1,2,3,4,5,…
②：
1111
巧，3，4，5…
说明:
①an表示数列，an表示数列中的第n项，a.=fn表示数列的通项公式;
1n2k1
2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，an=
（1）n='（kZ）;
1,n2k
3不是每个数列都有通项公式。
例如，1,1.4,1.41,1.414,……（3）数列的函数特征与图象表示：
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f（n）当自变量n从1
开始依次取值时对应的一系列函数值f
（1）,f
（2）,f（3）,……,f（n）,……•通常用an来代替fn，其图象是
一群孤立点。
（4）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分：
有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：
递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：
下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1,2,3,4,5,6,…
（2）10,9,8,7,6,5,…
（3）1,0,1,0,1,0,…（4）a,a,a,a,a,…
（5）数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系：
an
（n1）
SnSn1（n》2）
二、等差数列
（1）、等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为
anan1d（n2）或an1a.d（n1）
例：
等差数列an2n1,anan1
（2）、等差数列的通项公式：
ana1（n1）d；
说明：
等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：
d0为递增数列，d0为常数列，d0为递减数列。
例：
1.已知等差数列an中，a7a916,a41,则a12等于（）
A.15B.30C.31D.64
2.｛an｝是首项a11，公差d3的等差数列，如果％2005，则序号n等于
（A）667（B）668（C）669（D）670
3.等差数列an2n1,bn2n1，则a.为bn为（填“递增数列”或
“递减数列”）
（三）、等差中项的概念:
定义：
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
其中A
ab
a，A，b成等差数列A即：
2anianan2
2
例：
1.（全国I）设an是公差为正数的等差数列，若aia2a3
（2an
anm）
15,a!
a2a380,则ana12
A.120B.105C.90D.75
（四）、等差数列的性质：
（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
aa
（3）在等差数列an中，对任意m,nN,anam（nm）d,dnm（mn）；
nm
递推公式：
sn色切（aman（m1））n
2
2
例：
1.如果等差数列
an中，a3
a4a5
12，那么qa2..
a7
（A）14
（B）21
（C）28
（D）35
2.（湖南卷文）设Sn
是等差数列
an的前
n项和，已知a23,
a611，则S7等于（）
A.13B.
35
C
.49D
.63
3.（全国卷I）
设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a?
a°a9=
390,则这个数列有（
D.10项
4.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为
5.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S12
21,则a2a5as
an
A.13项B.12项C.11项
6.（全国卷n）设等差数列an的前n项和为Sn,若a55a3则-
S5
（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd;
②
&偶
（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶an
an
an1
S奇
a中：
②—
&偶
前n项和，求Tn。
（六）.对于一个等差数列:
1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比
2.一个等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比1:
2，求公差d
3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15,奇数项之和是25，则它的首项与公差分别是
2
（七）.对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS?
n仍成等差数列。
例：
1.等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）
A.130B.170C.210D.260
2.一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为
10，则前110项和为
30,贝yS9=
3•已知等差数列an的前10项和为100,前100项和为
4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414,3。
S7
5.（全国II:
）设S是等差数列｛
an｝的前
n项和，若
S3_
1
则S=
S6
3
S12
3
1
1
1
A.—
B.—
C
D.-
10
3
8
9
（八）•判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①定义法：
an1and（常数）
（nN）
an是等差数列
2中项法：
2an1anan2（nN）an是等差数列
3通项公式法：
an
knb
（k,b为常数）
an
是等差数列
④前n项和公式法：
Sn
An2Bn
（A,B为常数）
a是等差数万【［
an是等差数列
例：
1.
已知数列｛ar
|｝满足anan1
2,
则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
2.
已知数列｛an
|｝的通项为an
2n
5，则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
3.
已知一个数列
｛an｝的前n项和Sn
2n24，则数列｛an｝为（
）
A.等差数列
B.等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
4.
已知一个数列
｛an｝的前n项和Sn
2n2,则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
5.已知一个数列
｛an｝满足an
22a
n1an0,则数列｛an｝为（
）
A.等差数列
B.等比数列
C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
6.数列an满足
a〔=8,84
2,且
an22an1an0（nN
）
①求数列an的通项公式;
7.（天津理，2）设S是数列｛an｝的前n项和，且s=n2，则｛an｝是（）
B.等差数列，但不是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
0，d0时，Sn有最小值；
A.等比数列，但不是等差数列
C.等差数列，而且也是等比数列
（九）.数列最值
2
anbn的最值;
（1）ai0，d0时，Sn有最大值；ai
（2）Sn最值的求法：
①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Sn
an0或an0
an10an10
项的和最大。
若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定
例：
1•等差数列an中，ai0,S9S12，则前
2•设等差数列an的前n项和为Sn,已知
a312,S120,S130
1求出公差d的范围，
2指出S1,S2,,S12中哪一个值最大，并说明理由。
3.（上海）设
｛an｝（n€N）是等差数列,
S是其前n项的和，且SvS6,S6=S>S,则下列结论错误
的是
（）
A.dv0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
4.已知数列
an的通项n98
nJ99
N），则数列an的前30项中最大项和最小项分别是
5.已知｛an｝
是等差数列，其中a1
31,
公差d
8。
（1）数列｛an｝从哪一项开始小于0?
（2）求数列｛an｝前n项和的最大值，并求出对应n的值.
（十）.利用an'1）求通项.
SSm（n2）
1.数列｛an｝的前n项和Snn21.
（1）试写出数列的前5项；
（2）数列｛%｝是等差数列吗？
（3）你能写出数
列｛an｝的通项公式吗？
2.设数列｛an｝的前n项和为3=2n，求数列｛an｝的通项公式；
3.
（安徽文）设数列｛an｝的前n项和Snn2，则a8的值为（）
1
4、北京卷）数列｛an｝的前n项和为且a1=1,an1-Sn,n=1,2,3,……，求a2,a3,a4的值及数列｛an｝
3
的通项公式.
三、等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数..，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：
an1:
anq（q0）
（一）、递推关系与通项公式
递推关系：
an1anq
通项公式：
ana1qn1
推广：
anamqnm
1•在等比数列an中,a14,q2，则an
2.在等比数列an中，a712,q近,则a19.
3.（07重庆文）在等比数列｛an｝中，a2=8,a1=64,,则公比q为（）
4.在等比数列an中，a2
2,a554，贝Ua$=
（A）2（B）3（C）4（D）8
5.在各项都为正数的等比数列
｛an｝中，首项a13，前三项和为21,则a3a°a§
A33B72C84D189
（二）、等比中项：
若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac,注：
b2ac是成
等比数列的必要而不充分条件.
例：
1.2.3和2.3的等比中项为（）
（A）1
（B）1
（C）1
（D）2
的前n项和Sn=
2.（重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列，ai2且31,33,36成等比数列，则an
（）
n27n
2n
5n
2n
3n
2
A.■
B.—
—
C.
D.
nn
44
3
3
2
4
（三）、等比数列的基本性质,
1.
（1）若mnp
q,则3m
3n
3P
3q
（其中
m,n,p,q
N）
nmn2
（2）q，3n
3nm3
nm
（n
N
）
3m
（3）3n为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
（4）3n既是等差数列又是等比数列3n是各项不为零的常数列•
例：
1•在等比数列3n中，&和3io是方程2x25X10的两个根，则3437（）
5血11
（A）（B）（C）（D）;
2222
2.在等比数列3n，已知315,39310100，则318=
3.等比数列｛a.｝的各项为正数，且
3536343718,则log331
log332
Llog3310
A.12
B.10C
.2+log35
4.（广东卷）
已知等比数列
{3n}
满足
3n
0,n1,2,L
，且
3532n5
2n/
2（n3）
则当n
1时,
log231log233L
log232n
（四）、
Sn
例:
A.n（2n1）
等比数列的前
na
31（1qn）
B.
（n
1）2
C.
D.
（n1）2
n项和,
（q1）
313nq
1q
（q
1）
1.已知等比数列｛3n｝的首相31
2•（北京卷）设f（n）224
"2n八2—n1
A.-（81）B.y（8
5,
27
公比
210
1）
2,
23n
n项和Sn
则其前
10（nN），则f（n）等于（）
2n32n4
（81）D.-（81）
n项和为S，若S3+S6=2$,求数列的公比q；
（5）.等比数列的前n项和的性质
例：
1.（辽宁卷）设等比数列
｛an｝的前n项和为Sn，若
S6S
S3=3，则S6=
若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN,那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列
A.2B.
3
C.
3D.3
2.一个等比数列前
n项的和为
48,
前2n项的和为60,则前3n项的和为（
）
A.83B•
108
C.
75
D.63
3.已知数列an是等比数列，且Sm10,S2m30,则Ssm
（6）、等比数列的判定法
o
（1）定义法：
q（常数）an为等比数列;
an
2
（2）中项法：
an1anan2（an0）an为等比数列；
（3）通项公式法：
ankqn（k,q为常数）an为等比数列；
（4）前n项和法：
Snk（1qn）（k,q为常数）an为等比数列。
Sn
kkqn（k,q为常数）a.为等比数列。
例：
1.
已知数列｛an
｝的通项为an2n,
则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
2.
已知数列｛an
、卄2
｝满足an1anan
2（an0），则数列｛an｝为
（
）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
3.
已知一个数列
｛an｝的前n项和Sn
22n1，则数列｛an｝为（
）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
四、求数列通项公式方法
（1）•公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项
例:
1已知等差数列｛an｝满足：
a37,a5ay26,求an;
2
2.等比数列｛an｝的各项均为正数，且2a13a21,a39a2a6，求数列｛a.｝的通项公式
2
3.已知数列｛an｝满足a12,a24且an2anan1（nN）,求数列an的通项公式；
4.已知数列｛an｝满足a12,且an15n12@5n）（nN），求数列an的通项公式;
5.数列已知数列an满足ah
1,an4an11（n1）.则数列an的通项公式=
2
（2）累加法
1、累加法适用于：
anianf（n）
若an1anf（n）（n2），则
a2aif
（1）a3a2f
（2）LL
an1anf（n）
n
两边分别相加得an1a1f（n）
k1
2.已知数列｛an｝满足an1
an
2n1，a11，求数列｛an｝的通项公式。
3.已知数列｛an｝满足an1
an23n1，a13，求数列｛an｝的通项公式。
（3）累乘法
适用于：
an1f（n）an
an1
若
an
f（n）,则
a2
a1
f（1，s
f
（2）丄
L詈f（n）
两边分别相乘得,
an1
例：
1.已知数列
2.已知数列
a1
a1
｛an｝满足
an
an满足a1
f（k）
2（n
1）5n
a13，求数列｛an｝的通项公式。
，an
n
n1*
，求an。
3.已知a13,an1
3n1
3n2an
（n
1），求an。
（4）待定系数法
适用于aniqanf（n）
例：
1.已知数列｛an｝中，a1
1,an
2an1
1（n
2），求数列an的通项公式。
2.（重庆，文,14）在数列
an中，
若a1
1,an
12an3（n1），则该数列的通项an
3.已知数列an满足a1
1,an1
2an
1（n
N）.求数列an的通项公式；
（5）递推公式中既有Sn
Sni
分析：
把已知关系通过an转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。
SnSn1,n2n
1
1.（北京卷）数列｛an｝的前n项和为S,且a1=1,an1-Sn,n=1,2,3,……，求a2,a3,a4的值及数列
3
｛an｝的通项公式.
2.（山东卷）已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5（nN*），证明数列an1是
等比数列.
（6）取倒数法。
五、数列求和
1•直接用等差、等比数列的求和公式求和。
n⑻a.）
2
n（n1）d
2
Sn
najq1）普（q
公比含字母时一定要讨论
1）
2.错位相减法求和：
如:
an等差,bn等比,求aibia2b2
anbn的和.
例：
1.求和Sn12x3x2Lnxn1
123
2.求和：
51二二
aaa
1
常见拆项：
1
1
1
n（n
1）
n
n1
1
1
（1打）
2
n（n
2）
2
11（_
（2n1）（2n1）2（2n1
1
n（n1）（n2）
1
2n
1）
1
（n1）（n2）
3.裂项相消法求和：
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
例：
1.数列｛an｝的前n项和为Sn
，若
1
an
则Ss等于（）
n（n1）
5c
1
1
A.1B.C
D.
6
6
30
2.已知数列｛an｝的通项公式为
an
1
，求刖
n项的和；
n（n1）
4.已知数列｛an｝的通项公式为
an=
1，设Tn
11,1亠丁
L,求1n
2
a1a3a2a4anan2
数列an是等差数列，数列
anan1
的前n项和
5.求1
I*
（nN）。
123n
3.已知等差数列｛a*｝满足a20,a6
10.
（2）求数列｛長｝
的前n项和
（1）求数列｛a*｝的通项公式及Sn
7.已知等差数列｛an｝满足：
a37,a5a726,｛an｝的前n项和Sn
（1）求an及Sn
1
（2）令bn—一（nN），求数列｛bn｝前n项和Tn
an1
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