第20讲 数论综合二完整版.docx

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第20讲数论综合二完整版

第20讲数论综合二

兴趣篇

1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数，要使这4个数的和尽可能小，请问：

这4个数应该分别是多少？

答案：

1、7、13、19

解析：

“任意2个数的和都是2的倍数”说明四个数奇偶性相同，“任意3个数的和都是3的倍数”说明四个数除以3的余数相同．若这四个数为奇数，第一个数为1，依次加6可得四个数为1、7、13、19.若这四个数为偶数，第一个数为2，依次加6可得四个数为2、8、14、20.显然第一组更小．

2．已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n（n>l）个连续自然数的和．请问：

共有多少个满足要求的自然数n？

答案：

5个

解析：

1+2+3+…+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007。

其中1舍去，有5个满足要求的自然数。

3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种，请问：

所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？

答案：

11

解析：

因为有四种表示方法，至少涉及四个质数，最小的四个质数是2、3、5、7，最小的四个合数是4、6、8、9，恰好有11=7+4=5+6=3+8=2+9.因此满足条件最小的数是11.

4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.请问：

满足上述条件的自然数有几组？

答案：

4组

解析：

由题目条件得，甲×甲-甲×乙=甲×（甲-乙）2008，将2008写成两个数乘积的形式，有如下几种：

2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8．因此满足条件的甲、乙数为（2008，2007）、（1004，1102）、（502，498）、（251，243），共有4组．

5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，请问：

它们的和最大可能是多少？

答案：

170

解析

（1）两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为81+64=145.

（2）两个数均不是平方数，则这两个数为a×m2，a×n2（其中m不等于n）.对可能的情况进行讨论：

当a=2时，这两个数最大是2×72、2×62，和为98+72=170.当a=3时，这两个数最大是3×25、3×16，和为75+48=123.当a=5时，这两个数最大是5×16、5×9，和为80+45=125.当a=6时，这两个数最大是6×16、6×9，和为96+54=150．……经讨论，和最大为170．

6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：

n最小是多少？

答案：

502

解析：

由于2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8，如果这挖个数的和为2008，平均数为1，那么n为2008.如果这n个数的和为1004，平均数为2，那么n为502.知果这n个数的和为502，平均数为4，那么这不可能，如果这n个数的和为251，平均数为8，那么这不可能，因此n最小是502.

7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52-32，16就是一个“智慧数”，请问：

从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？

答案：

2680

解析：

通过尝试可以发现如下规律：

相邻两个平方数的差为3，5，7，9，11…即除1外，所有的奇数均为“智慧数’’．相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为8，12，16，20，24，28…即除4之外，所有4的倍数的数是“智慧数”，所以1～2000的“智慧数”有2000÷2+2000÷4-2=1498个．

1～2500的“智慧数”有2500÷2+2500÷4-2=1873个．1～2700的“智慧数”有2700÷2+2700÷4-2=2023个．因此第2008个“智慧数”为2680.

8．将1001-5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）.请问：

这99个余数的和是多少？

答案：

4565

解析：

100!

能够被2，3，4，…，100整除，100!

-5除以100的余数为100-5=95，100!

-5除以99的余数为99-5=94，100!

-5除以98的余数为98-

5=93，…，100!

-5除以6的余数为6-5=1，除以5余0，除以4余3，除以3余1，除以2余1（判断除以2、3、4的余数，只需用2、3、4的倍数减5即可）．所以余数和为1+1+3+0+1+2+…+94+95=5+（1+95）×95÷2=4565.

9．卡莉娅、小高和墨莫三人经常去电影院，卡莉娅每隔2天去一次，小高每隔4天去一次，墨莫每隔6天去一次．今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院．如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？

答案：

第6天、第7天和第8天

解析：

由题意知，卡莉娅将在第4天、第7天、第10天……去电影院．小高将在第6天、第11天、第16天……去电影院．墨莫将在第8天、第15天、第22天……去电影院．则最早出现的连续三天是第6天、第7天和第8天．

10.有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数．请问：

这三个数中最小的一个是多少？

答案：

50

解析：

三个连续自然数的平方从小到大依次是10、9、8的倍数，则三个连续自然数从小到大依次是10、3、4的倍数．由龀可推断出三个数中最小的数是10的倍数，并且除以3余2，除以4余2.满足上述条件最小的数是50．

拓展篇

1．有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数．请问：

这个正整数是多少？

答案：

156

解析：

设这个正整数为n，则n+100=b2，n+168=a2，两式相减得a2-b2=68，而a2-b2=（a+b）×（a-b），68=1×68=2×34=4×17，由此可得

解得

所以n为156．

2．如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称这三个数构成一个勾股数组（a，b，c）．与5有关的勾股数组有两组：

（3，4，5）和（5，12，13），请问：

与13有关的勾股数组有哪些？

答案：

（5,12.13）、（13,84,85）

解析：

当c=13时，则很显然（5，12，13）是一组勾股数．当a=13时，则132+b2=169+b2=C2，即c2-b2=（c+b）×（c-b）=169×1，由此可得

解得

因此（13,84,85）也是一组勾股数．

3.小高往一个水池里扔石子．第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子……他准备扔到水池的石子总数是106的倍数，请问：

小高最少需要扔多少次？

答案：

52次

解析：

小高扔的石子数为n×（n+1）÷2，而106=2×53，因此，n或n+1其中有一个应是53或53的倍数，当n=52时，满足石子数是106的倍数，因此小高最少需要扔52次．

4．已知两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998.请问：

满足上述条件的数一共有多少组？

答案：

108组

解析：

设甲、乙两数分别为6a、6b，其中a与b互质，且6a+6b=1998，即a+b=333=32×37，将333分成两数之和，共有166组分法，其中当两数是3或37的倍数时．两数不互质．同时166÷3=55……1，166÷37=4……18，其中111被算了两次，因此满足条件的组数有166-55-4+1=108组．

5．数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数，同学们，你们知道这个数可能是多少吗？

答案：

64或36

解析：

若约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．若约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．约数个数为4个的两位数也有很多．约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一，约数个数为6个的两位数也不唯一，约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26=64，是唯一的，同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36.约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在，因此这个数可能为64或36.

6．在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，请问：

这样的正整数最小是多少？

答案：

270

解析：

若约数的个位数字为0，则这个数应为10的倍数．若约数的个位数字为9，则这个数至少是9的倍数，这样个位数字为0、1、2、3、5、6、8、9都不用再考虑．再考虑个位数字为7，则至少是7的倍数，或者为27的倍数也可以，满足上述条件的数为630或270.两者都含有个位数字为4的约数．因此最小为270．

7．甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.如果甲的数字和是8，乙的数字和是14，那么甲、乙两数之差是多少？

答案：

30

解析：

甲的数字和是8，乙的数字和是14，若没有进位，乘积的数字和应为112，除以9余4，若有进位，每进一位，数字和减少9，最终乘积酌数字和仍然除以9余4，因此这个五位数只能为43456.分解质因数得43456=26×7×97，容易找到满足条件的数为224和194，差为30.

8．A求最小的正整数n，使得2006+7n是完全平方数，

答案：

29

解析：

452=2025，2025-2006=19不是7的倍数．462=2116，2116-2006=110不是7的倍数．

472=2209,2209-2006=203是7的倍数，商为29.因此满足条件的最小的正整数n为29.

9．请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．

答案：

16、24、36、54、81

解析：

容易想到的结果为10、20、40、80，即公比为2．但实际上公比还可以更小，比如

，此时要求第一项应为24=16的倍数，因此等比数列可以为16、24、36.54.。

81．（那么公比可不可以更小呢？

比如

，答案是否定的，因为44=256不再是两位数）

10．有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示，请问：

这样的自然数中的最大一个是多少？

答案：

l7

解析：

由于最小的三个合数为4、6、8，因此三个不相等的合数之和最小为4+6+8—18，大于18的偶数，我们可以用大一些的偶数替换8来表示，因此所有大于18的偶数均可用三个不相等的合数之和来表示．再考虑奇数，4+6+9=19，大于19的奇数，我们可以用大一些的偶数替换6来表示，因此所有大于19的奇数均可用三个不相等的合数之和来表示，这样不能用三个不相等的合数之和来表示的最大的数应为17.

11．有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和．例如：

105就满足上述要求，105=19+20+21+22+23;105=15+16+17+18+19+20;105=12+13+14+15+16+17+18.请问：

在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？

答案：

5个

解析：

一个数能表示成5个连续自然数的和，则这个数应为5的倍数．能表示成6个连续自然数的和，则这个数应为3的倍数，并且商不能为偶数，即这个数不能为6的倍数，能表示成7个连续自然数的和，则这个数应为7的倍数．所以满足条件的数有105、315、525、735、945，共5个。

12．一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列．现在设定指针第一秒转动的角度为a度（以为小于360的整数），则其第二秒转动a+l度，第三秒转动a+2度……如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有几种设定方法？

最小可以被设成多少？

答案：

5种；15度

解析：

设转动了n次，由题目条件得a+（a+1）+（a+2）+…+（a+n-1）=na+n×（n-1）÷2=360，进一步整理得2na+n×（n-1）-n×（2a+n-1）=720=24×32×5．当n=1时．a=360（舍去）．当n=3时，a=119.当n=5时，a=70.当n=9时，a=36.当n=15时，a=17.当n=16时，a=15.因此a一共有5种设定方法．最小可以被设成15度．

13.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，3，…，12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除，请问：

这一家的电话号码是多步？

答案：

388089

解析：

设第一家住户的电话号码为n+1，则1|n+1，2|n+2，3|n+3，…，12|n+12，由此可知n能被1～12同时整除，而1～12的最小公倍数为23×32×5×7×11=27720，则n=27720m，其中m为正整数，由条件“门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除”可得，13|27720m+9．而27720m+9=4m+9（mod13），所以m=14时满足条件，这一家的电话号码为27720×14+9=388089．

14．在等差数列1，8，15，22，29，36，43，…中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+l个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？

答案：

107

解析：

末尾0是由因子2和因子5的乘积得到的．数列中因子2的个数足够多，因此第n+1个数应为53的倍数，并且除以7余1．满足条件的最小数为750.而（750-1）÷7+1=108，因此n最小是107．

超越篇

1．有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法，请问：

这样的正整数最小是多少？

（写出质因数分解）

答案：

2×36×52=36450

解析：

由于它可以表示成连续20个正整数的和，所有它肯定是10的倍数（可以利用首位配对的想法得到，或者由

=10（首十末）看出），利用结论“一个自然数写成连续正整数（至少2个）之和的方法数，等于它的奇约数个数减1”，说明这个数有21个奇约数．

两个条件结合，这个数是2×5”或形如2×□2×□6，很明显最小的是2×36×52．

2．有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：

33=4×6+9．请问：

不能表示成这种形式的自然数最大是多少？

答案：

35

解析：

将小合数写出一些：

4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，最小能表示出的数是4×4+4=20，接着枚举一些数找找规律．21无法表示，22=4×4+6，23无法表示，24=4×4+8，25=4×4+9，26=4×4+10，27无法表示，28=4×4+12，29无法表示,30=4×4+14.31=4×4+15，32=4×4+16，在这个过程中可以很明显的感觉出再往上的偶数都能利用“4×4+偶”的方式表示出来，下面只要继续考察奇数．33=4×6+9，35无法表示，37=4×4+21,39=4×6+15,41=4×4+25=4×8+9,43=4×4-1-27，此时很明显能感觉出，33、39、45、…这类奇数都可以用4×6+（9+3k）（k=0，2，4…）的形式表示出来，37、43、49、…这类奇数都可以用4×4+（21+3k）（k=0，2，4-）的形武表示出来，41、47、53、…这类奇数都可以用4×8+（9+3最）（k=0，2，4…）的形式表示出来．

综上，不能表示成这种形式的自然数最大是35.

3．在给定的圆周上有100个点，任取一点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，标上2；从标有2的点再往后数3个点，标上3……以此类推，直至在圆周上标出100.

对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数，请问：

标有100的那个点上标出的数最小是多少？

答案：

75

解析：

标有100的那个点是从标有1的点开始数（包括标有1的这个点）1+2+…+100=5050的点，所以这个点上标的数是符合1+2+…n

5050（mod100）的点，即

50（mod100），故n（n+1）

0（mod100），由于，n和n+1互质，要想乘积是100的倍数，那么n和n+1中有一个数要是25的倍数，可能的情况有（24，25）、（25，26）、（49，50）、（50，51）、（74，75）、（75，76），很明显只有（24，25）和（75，76）可能符合，经检验，只有（75，76）符合，说明这个点上还标有75，所以标有100的那个点上标出的数最小是75.

4．三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏，小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安．小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上．小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）.

小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数．请问：

小花所选的数是什么？

答案：

1004

解析：

首先小强和小花肯定都没有选0，否则一看就知道2008是和，就能知道对方的数，设这两个数分别为强和花，首先，很明显强|2008，否则立刻判断出2008是和，花=2008-强，此时小强是因为无法确定2008是和还是积导致无法判断出小花的数，同理，花|12008.

此时小花也知道了强|2008，小花会这样进行推理：

如果2008是积，那么与已知的情况都符合；如果2008是和，那么由强|2008知2008-花|2008，如果2008-花不能整除2008，小花立刻就知道2008不是和，是积，就能知道小强的数．由于实际上小花无法确定小强的数，说明花|2008的同时2008-花|2008.而2008=23×251，枚举出它所有的约数：

1、2008、2、1004、4、502、8、251，经检验只有1004符合，所有小花所选的数是1004.

5．已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？

答案：

36

解析：

解法一：

结合“等差数列”和“最小”很容易想到（1，2，3），此时乘积是6，很明显三个数都扩6倍得到（6，12，18）就符合题意，和为36，下面证明它是最小的．

注意到6、12、18中只含质因数2和3，想到先排除其他种类的质因数，

假设这三个数中含质因数5，那么肯定至少有1个数含52.

证法一：

设这三个数从小到大依次为a-d、a、a+d.

情况一：

如果某个数含质因数5，且公差是5的倍数，那么三个数就都含质因数5，由于乘积是完仝平方数，所以肯定至少有1个数含52.（很容易想到若2d是5的倍数，那么d也一定是5的倍数）

情况二：

如果某个数含质因数5，且公差不是5的倍数，那么三个数中就只有它含质因数5，很明显它至少含52．证毕．

证法二：

若乘积中至少含54，那么根据抽屉原理，三个数肯定有一个数至少含52；若乘积只含52，若其4中两个数都恰好含有1个因数5，那么公差一定是5的倍数，故第三个数也是5的倍数，与乘积只含52矛盾，所以52只能恰好属于某一个数，证毕．

要想三个数的和不超过36，这个含52的数只能是25，且是最大的那个数，此时满足“三个互不相等的正整数成等差数列”的最小只能是（1，13，25），和超过36.

同理，2、3以外的质因数均被排除．

很明显只含质因数2或只含质因数3是无法构造出“三个互不相等的正整数成等差数列”，所以这三个数的乘积里质因数2和3均有．

若乘积是62，结合之前的分析，必有一个数至少含32，一个数至少含22，很明显

若乘积是64，结合之前的分析，必有一个数至少含32，一个数至少含22，枚举一下发现只有（6、12、18）符合．

若乘积是66．那么这三个数的和最小是62+62+62>36，肯定构造不出和更小的三个数．

同理，剩下的都不用讨论了．

综上，这三个数的和最小是36．

解法二：

考虑等差中项，

若等差中项是1，很明显没有符合的；

若等差中项是2，只有（1，2，3），不符合；

若等差中项是3，只有（1，3，5）和（2，3，4），都不符合；（当然此时很明显可以想到，要想乘积是完全平方数，那么此时的公差一定要是3的倍数，否则另外两个数都不含3，乘积肯定不是完全平方数）

若等差中项是4，只有（1，4，7）、（2，4，6）、（3,4，5），都不符合；

若等差中项是5，那么公差肯定是5的倍数，很明显没有符合的；

若等差中项是6，那么公差肯定是6的倍数，很明显没有符合的；

若等差中项是7，那么公差肯定是7的倍数，很明显没有符合的；

若等差中项是8，那么公差肯定是2的倍数，只有（2，8，14）、（4，8，12）、（6，8，10），都不符合；

若等差中项是9，只有（1，9，17）、（2，9，16）、（3,9,15）、（4,9,14）、（5,9,13）、（6,9,12）、（7,9，11）、（8，9，10），都不符合；

若等差中项是10，那么公差肯定是10的倍数，很明显没育符合的；

若等差中项是11，那么公差肯定是11的倍数，很明显没有符合的；

若等差中项是12，那么公差肯定是3的倍数，只有（3，12，21）、（6，12，18）、（9，12，15），其中（6，12，18）是符合的，且此时和最小，为36.

综上，这三个数的和最小是36.

解法三：

设这三个数分别为a-d、a、a+d，依题意有

a（a-d）（a+d）=c2.

如果a是完全平方数，那么可知（a-d）（a+d）也是完全平方数，设为（a-d）（a+d）=a2-d2=q2，说明（a，d，q）是一组勾股数，所以a为完全平方数时最小为（25，20，15）．

如果a不是完全平方数，那么假设a=kb2，其中k没有完全平方因子，先证b≠1，如果b=1，则a=k，易知q是k的倍数，所以a2-d2是k的倍数，所以d是k的倍数，又d

6．是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）?

如果存在，请写出一个；如果不存在，请说明理由．

答案：

不存在．说明略

解析：

不存在．（本题中全1的情况就是数论综合三的拓展篇第13题第

（1）问）

利用平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可以直接排除掉很多情况．

利用完全平方数只能是4k或4k+1，把4k+2（全6）和4k+3（全1、全5、全9）的排除，还剩全4．

由于44……4=22×11……1，且全1不是完全平方数，所以全4也不是完全平方数．

7．有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，m>n，然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根．求m和n．

答案：

m=135，n-40

解析：

本题的解法很多，仅写一种．根据题目分割后，木棍的长度小于等于原长度的

（<

），而两端的小棍长就是原长度的

，所以这100根小棍长度都是原长度的

，这说明蓝色刻度与红色刻度有很多重叠到了一起，且m>100.还剩下70根长度更短的小棍，说明蓝色刻度与红色刻度没有全部重叠在一起，且一道没有重叠的蓝色刻度会抱红色刻度间原长度的

的小棍分为两段，所以原来红色刻度应该分为100+70÷2=135段，即m=135．设m=ka，n=kb，其中k=（m,n）．每个

长的小段中蓝色刻度还会刻b-1道．且不与红色重叠，共分出2k（b-1）=2（n-k）=70根短小棍，试一下发现k=5，n=40.

8．