点集拓扑学练习题第二章答案.docx
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点集拓扑学练习题第二章答案
练习(第二章)参考答案:
1.判断题(每小题2分)
1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑(X)
2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.(V)
3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.(X)
4.「、T2是X的两个拓扑,则TiUT是一个拓扑.(X)
5.平庸空间中任一个序列均收敛,且收敛于任一个点。
(V)
6.从(X,Ti)至U(X,T2)的恒同映射必是连续的。
(X)
7.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(V)
8.设Ti,T2是集合X的两个拓扑,则「T2不一定是集合X的拓扑(X)
9.从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射(V)
10.设A为离散拓扑空间X的任意子集,则dA(V)
11.设A为平庸空间X(X多于一点)的一个单点集,则dA(X)
12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集,则dAX(V)
2.填空题:
(每空格3分)
1、X二Z+,T二{ZZ…乙…},其中
乙={n,n+1,n+2,-},
贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Zs
包含3的所有闭集为乙,z4,z5,z6,...
包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1}Z3
设A二{1,2,3,4,5}则A的导集为{1,2,3,4},A的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X为度量空间,x€X,则d({x})=_
3、在实数空间R中,有理数集Q的导集是R.
4、xd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有;
答案:
U(A{x})
5、设A是有限补空间X中的一个无限子集,则d(A)=—A=;
答案:
X;X
6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则d(A)=—A=;
答案:
X;X
7、设X{1,2,3},X的拓扑T{X,,{2},{2,3}},则X的子集A{1,2}的内部
为;
答案:
{2}
三、单项选择题(每题2分)
4、设X{a,b,c,d},拓扑T{X,,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的
个数为()
11②2③3④4答案:
②
5、设X{a,b},拓扑T{X,,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为()
答案:
③
答案:
②
③R-Z④
10、在实数空间中,区间[0,1)的边界是(
①d(AB)d(A)d(B)
12、已知X是-
个离散拓扑空间,
()
①d(A)
②d(A)
③d(A)A
④d(A)
A是X的子集,则下列结论中正确的是
XA
X答案:
①
13、已知X是一个平庸拓扑空间,A是X的子集,则下列结论中不正确的是
()
①若A,则d(A)②若A{x。
},则d(A)XA
③若A={xi,x2},则d(A)X④若AX,则d(A)X答案:
④
14、设X{a,b,c,d},令B{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是()
①{
X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}
②{
X,,{c},{d},{c,d}}
③{
X,,{c},{a,b,c}}
④{
X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}
答案:
①
15、离散空间的任一子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案:
③
16、平庸空间的任一非空真子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案:
④
17、实数空间R中的任一单点集是()
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案:
②
18、实数空间R的子集A={1,丄,1,丄,……},则A=()
234
①©②R③AU{0}④A答案:
③
19、在实数空间R中,下列集合是闭集的是()
①整数集②a,b③有理数集④无理数集答案:
①
20、在实数空间R中,下列集合是开集的是()
①整数集Z②有理数集
③无理数集④整数集Z的补集Z答案:
④
已知X{1,2,3}上的拓扑T{X,,{1}},则点1的邻域个数是(
答案:
④
四.证明题(52分):
1.设X有拓扑Ti,T2,…Tn,
证:
2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.
证:
设度量空间X中序列{Xi}iZ有:
limXi
limxi
)/3)=
若Xy则B(x,Px,y)/3)nB(y,px,y
对于B(x,
P(x,y
)/3),
存在Ni>0,当i>Ni时
有xi
B(x,
P(x,y
)/3)
对于B(y,
P(x,y
)/3),
存在N2>0,当i>N2时
有xi
B(y,
P(x,y
)/3)
取N=max{N1,N2},则当i>N时
有XiB(x,Px,y)/3)nB(y,px,y)/3)
与B(x,Px,y)/3)nB(y,Px,y)/3)=.矛盾
3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x€X,则B二{B€B|x€B}是点x处的一个邻域基.
见P.82定理2.6.7
4.在欧氏平面R中令Y={(0,y)|y€R}U{(x,0)|x€R},证明:
Y与实数空间R不同
胚.(提示:
用反证法)
证:
设丫与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.
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