点集拓扑学练习题第二章答案.docx

1、点集拓扑学练习题第二章答案练习（第二章）参考答案：1.判断题（每小题2分）1.集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ）2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ）3.实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ）4.、T2是X的两个拓扑，则 TiUT是一个拓扑.（X ）5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。 （V ）6.从（X, Ti）至U（ X, T2）的恒同映射必是连续的。（X ）7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 （ V ）8.设Ti,T2是集合X的两个拓扑，则T2不一定是集合X的拓扑（X ）9.从拓扑空间X到平庸空间丫的

2、任何映射都是连续映射（ V ）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （ V ）11.设A为平庸空间X （ X多于一点）的一个单点集，则d A （ X ）12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （ V ）2.填空题：（每空格3分）1、X二Z+,T二ZZ 乙,其中乙=n,n+1,n+2, -,贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Zs包含3的所有闭集为 乙,z4,z5,z6,.包含3的所有邻域为 Z1,Z2,Z3,1 Z3设 A二1,2,3,4,5 则 A 的导集为1,2,3,4 , A 的闭包为1,2,3,4,52、 设X为度量空间,x X,则d (x ) =_3、

3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是 R .4、 x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 ; 答案：U (A x)5、 设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= A= ；答案：X ； X6、 设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= A= ;答案：X ； X7、 设 X 1,2,3 , X 的拓扑 T X, ,2,2,3,则 X 的子集 A 1,2的内部为 ； 答案：2三、单项选择题(每题2分)4、 设X a,b,c,d，拓扑T X, ,a,b,c,d,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）11 2 3 4 答案：5、 设X a,b，拓扑T X, ,b,则X的既开又闭的子集

4、的个数为（ ）答案：答案：R-Z 10、在实数空间中，区间0,1）的边界是（ d(A B) d(A) d(B)12、已知X是-个离散拓扑空间，（ ） d(A) d(A) d(A) A d(A)A是X的子集，则下列结论中正确的是X AX 答案：13、 已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中不正确的是( )若A ,则d(A) 若A x。,则d(A) X A若A=xi,x2,则d(A) X 若A X ,则d(A) X 答案：14、 设 X a,b,c,d,令 B a,b,c, c, d,则由 B 产生的 X 上的拓扑是( )X , , c, d, c, d, a, b, cX, , c

5、, d, c, dX , , c, a, b, cX , , d, b, c, b, d, b, c, d答案：15、离散空间的任一子集为()开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：16、 平庸空间的任一非空真子集为()开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：17、 实数空间R中的任一单点集是()开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案：18、 实数空间R的子集A =1,丄，1 ,丄，,则A =()2 3 4 R AU 0 A 答案：19、 在实数空间R中，下列集合是闭集的是( )整数集 a,b 有理数集 无理数集 答案：20、 在实数空间R中，下列集合是开集的是()整数集Z 有理数集无理数集 整数集

6、Z的补集Z 答案：已知X 1,2,3上的拓扑T X, ,1,则点1的邻域个数是（答案：四.证明题（52 分）:1.设X有拓扑Ti,T2,Tn,证:2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的 .证：设度量空间X中序列Xii Z有：lim Xi,lim xi)/3)=若 X y 则 B(x, Px , y )/3) n B(y, px , y对于 B(x ,P(x , y)/3),存在Ni0,当i Ni时有 xiB(x ,P(x , y)/3)对于 B(y ,P(x , y)/3),存在 N20, 当 i N 2 时有 xiB(y ,P(x , y)/3)取 N=maxN1, N2,则当 i N时有 X

7、i B(x , Px , y )/3) n B(y , px , y )/3)与 B(x , Px , y )/3) n B(y , Px , y )/3)= .矛盾3.设X是一个拓扑空间，B是一个基，x X,则B二B B | x B是点x处的一个 邻域基 .见 P.82 定理 2.6.74.在欧氏平面R中令Y=(0,y)|y RU (x,0)|x R,证明:Y与实数空间R不同胚.( 提示: 用反证法 )证：设丫与实数空间R同胚.则仍有Y-0,0与R-0同胚.但Y-0,0有四个连通分 支, 而 R-0 却只有两个连通分支 . 而连通性是拓扑不变的 , 得到矛盾 . 所以 Y 与实 数空间R不同胚.Welcome !欢迎您的下载,资料仅供参考!