常用的基本求导公式.docx

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常用的基本求导公式

1.基本求导公式

（1）{cy=o（c为常数）

（2）（xny=nx^；一般地，（xay=oxa^.

特别地：

（x\=1,（x2y=2x9（丄y=-丄

x；r

⑶0）'=ex；一般地，（"J=“'Ina（a>O.aH1）。

（4）（lnx）'=丄；一般地，（log”x）‘=—!

—（g>0m/H1）。

xjx\na

2.求导法则

（1）四则运算法则

设fG）,駅対均在点X可导，则有：

（I）（fM±g（x）Y=fXx）±gf（x）,

（II）（f（x）g（x）Y=f（x）g（x）+fMgXx）,特^（Cf（x）y=Cf（x）（C为常数人

3.微分函数y=/（x）在点*处的微分：

dy=yfdx=f\x}dx4、常用的不泄积分公式

|牙Z

（1）

（2）

^xadx=-一xa*}+C（a-\）,^dx=x+xdx=—+c,jx'dx=

Jx3tZx=^-+c

—dx=]n\x\+C:

[exdx=ex+C:

faxdx=———C（a>O.aH1）；

x」JIna

5.定积分

^f（x）clx=F（x^=F（b）-F（a）

f[«/（x）+k2g（x）]dx=k}£f（x）dx+k2£

分部积分法

设3心在4刃上具有连续导数u（x）y（x）,则

Ju（x）dv（x）=h（x）v（a）|^-Jv（x）du（x）

6、线性代数

特殊矩阵的概念

■1

…o'

'00]

…0

"1o'

_0o］⑵、单位矩阵“

…1

二阶沁J

（IX零矩阵0汰2=

6、矩阵运算

W〃」虫力」Lc+s

Cl\\a\2

…qJ

Cl\\U2\

…GJ

（6）、矩阵转置人=

a”

■—

•■■

…5

转置后人丁=

"12a22Cln2

幺川

an2

…ami

a\n

…%

A+B=

f~\[ae+h8af+bh

AB=

“」Lgh\L“+dgcf+dh7、MATLAB软件计算题

例6试写出用MATLAB软件求函数y=hi（Vx+x2+ev）的二阶导数y"的命令语句。

解：

»clear;

»symsxy;

»y=log（sqrt（x+x"2）+exp（x））;

»dy=diff（y,2）

例：

试写出用MATLAB软件求函数y=In（V7+ev）的一阶导数的命令语句。

»clear;

»symsxy;

»y=log（sqrt（x）+exp（x））;

»dy=diff（y）

例11试写岀用MATLAB软件计算泄积分匸卡九丫的命令语句。

解：

»clear;

»symsxy;»y=（l/x）*exp（x"3）;

»int（y,1,2）

解：

»clear;

»symsxy;

»y=（l/x）*exp（x"3）;

»int（y）

MATLAB软件的函数命令

表1NfATLAB软件中的函数命令

函数

、斤

Inx

Igx

log嗖

MATLAB

x^a

sqrt（x）

exp（.v）

log（x）

log10（x）

log2（x）

ahs（x）

运算符号

运算符

一

功能

加

减

乘

除

乘方

典型

例题

例1设某物资要从产地A”釘A,调往销地B”B：

B,Bh运输平衡表（单位：

吨）和运价表（单位：

百元/吨）如下表所示：

运输平衡表与运价表

、^地产Q"、

B：

供应量

B：

需求量

（1）用最小元素法编制的初始调运方案，

（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并讣算最低运输总费用。

解：

用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：

运输平衡表与运价表

^销地产地、

B：

供应量

A：

计算检验数：

2U=1,兄12=1，久22=°，儿4=一2

已岀现负检验数，方案需要调整，调整量为1

调整后的第二个调运方案如下表：

运输平衡表与运价表

销地产地、\^

B：

供应量

B：

A：

能

需求量

求第二个调运方案的检验数：

入|=一1

已岀现负检验数，方案需要再调整，调整量为2调整后的第三个调运方案如下表：

运输平衡表与运价表

销地产地、\^

B：

供应量

B：

A：

能

需求量

求第三个调运方案的检验数：

Ap=2,人$=1,兄2分=2,人3=1，兄打=9,码3=12

所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：

2X3+5X3+1X1+3X8+6X4+3X5=85（百元）

例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗左额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分別为6台时、3台时和6台时。

期外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一泄限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

1.试建立在上述条件下.如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。

2.写岀用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：

1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为為件、疋件和及件，显然e心及20

线性规划模型为

maxS=400xt+250x2+300勺

4xj+4x2+5x3<180

<6x,+3x2+6牙3<150

xv>0

2.解上述线性规划问题的语句为：

>>clear;

»C=-[400250300];

»A=[445;636];

»B=[180;1501;

»LB=[0;0;01;

>>[X,fval,exitflag]=1inprog（C,A,B,[],[],LB）

例4设y—（1+y）Inas求：

1.2

解:

yr=（1+x2）rInx+（1+x2）（lnx/=2xInx+一—

例5设y=—,求：

1+x

（e）（l+Q—e'（l+x）'_xe'

例7某厂生产某种产品的固泄成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为斤（q）=4q—0.5孑（万元）。

当产量为多少时，利润最大？

最大利润为多少？

解：

产量为q百台的总成本函数为：

C（q）=q+2

利润函数L（q）=R（q）—C（q）=—0.5孑+3q_2

令.必（q）=—q+3=0得唯一驻点＜7=3（百台）

故当产Sq=3百台时，利润最大，最大利润为

L（3）=-0.5X3:

+3X3-2=2.5（万元）

例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元,而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：

库存总成本函数C（沪条+竺竺匹

40q

令CS）=丄一也=o得崔义域内的唯一驻点<7=200000件。

40q-

即经济批量为200000件。

例9计算上积分：

j'（A+3ex）dY

C1la.!

解：

\（x+3cx）dx=（-x2+3cx）\=3e--

例10计算定积分：

［\x2+-）dx

J1r

1.对编程问题，要记住函数e\ln-v,仮在MATLAB软件中相应的命令函数exp（x）>log（x）»sqrt（x）:

2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：

f—dr=InIxI+cJx

7・记住两个函数值：

e°=l,In1=0.

模拟试题

1.单项选择题：

（每小题4分，共20分）

1.若某物资的总供应量（C）总需求量，可增设一个虚销地，英需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0,则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

（A）等于

（0大于

⑻小于

（D）不超过

2.某物流公司有三种化学原料A”乩g每公斤原料扎含盼B-三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤：

每公斤原料A：

含B：

B=,丛的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A,含B：

B：

&的含虽分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。

每公斤原料扎，As,As的成本分别为500元、300元和400元。

今需要比成分至少100公斤，B：

成分至少50公斤，B,成分至少80公斤。

为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A’，A=,凡的用量分别为及公斤、卫公斤和及公斤，则目标函数为（D）。

（A）max5=500^+300^+400丛（B）min5=100^+50上+80為

（C）max5=100為+50及+80及（D）min5=500兀+300%+400及

3.设心

_4-.V7.

x7.

‘并且A=£，则x=（

C）

（A）4

（B）3

（02

（D）1

4.设运输某物品q吨的成本（单位：

元）函数为C（q）=f+50q+2000,则运输该物品100吨时的平均成本为（A）元/吨。

（A）170（B）250

（C）1700（D）17000

5.已知运输某物品<7吨的边际收入函数为HR3,则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为（D）。

f3OO、r100

（A）LoM/?

（q）dq+C（0）（B）匸严/?

（?

）血/

（C）JMR⑷dg（D）JIn<）MR（q）dq

计算题：

（每小题7分，共21分）

8.计算定积分：

J（'（?

+2eA）（Lv

解：

f*（x3+2ex）dx=（—x4+2ev）|l=2e--

Jo4o4

三、编程题：

（每小题6分，共12分）

9.试写出用MATLAB软件求函数,v=ln（7x+x2+ex）的二阶导数h的命令语句。

解：

>>cl“:

>>symsxy;

»y=log（sqrt（x+x'2）+exp（x））;

»dy=diff（y,2）

10.试写出用MATLAB软件计算定积分J'xe'，r?

dr的命令语句。

解：

>>cl"：

>>symsxy;

»y=x*exp（sqrt（x））;

»int（y,0,1）

四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）

11.某物流企业生产某种商品，英年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元,而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

3心卄、,+）一〜_、q1OOOOOOOOO

解：

库存总成本函数C（q）=-^+

40q

令cr（<7）=丄-12299^2=o得定义域内的惟一驻点q=2ooooo件。

40q~

即经济批量为200000件。

12.某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。

另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一泄限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：

设生产甲、乙、丙三种产品分别为及件、£件和卫件，显然乂，ac及20

线性规划模型为

maxS=400X|+250a2+300x3

4jj+4x2+5x3<\80

*6兀[+3x2+6x3<150

X）,x2,x3>0

解上述线性规划问题的语句为：

>>clear;

»C=-[400250300];

>>A二[445;636];

»B=[180;150];

>〉LB二[0;0;0];

>>[X,fval,exitflag]=linprog（C,A,B,[],[],LB）

线性规划习题

1.某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A,B,C三种不同的原料，从工艺资料知道：

每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1,1,0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2,1单位。

每天原料供应的能力分别为6,8.3单位。

又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。

试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行）。

解：

设生产甲产品“吨，乙产品乙吨。

线性规划模型为：

maxS=3%i+4x2

Xj+x2<6

xx+2x2<8

x2<3

Xj,x2>0

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：

»clear;

»C二-[341;

»A=[l1;12;01];

»B=[6;8;3];

»LB=[0;01;

»[X,fval]=1inprog（C,A,B,[],[],LB）

2.某物流公司有三种化学产品A,,A=,勲都含有三种化学成分Bi,B：

B”每种产品成分含量及价格（元/斤）如下表，今需要B：

成分至少100斤，B：

成分至少50斤，B,成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。