线性代数习题册答案.docx
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线性代数习题册答案
线性代数习题册（答案）
x12x2x3x41
2．已知线性方程组2x22x36x42，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变
2x3x2x9
241
换化为阶梯形、行最简形。
210
3．已知A，将A化成标准形。
并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。
132
021
4．已知A213，利用矩阵的初等变换，求A1。
334
5117A1132
364
110
11，AX2XA，求X。
5．已知A0
101
练习二
班级学号姓名1.选择题：
1）Amn的行阶梯形中只有前r（r＜m且r＜n）行为非零行，则R（A）为（C）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.
2）非零矩阵Amn（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为（D）
Em
（A）
00000010
；（B）；（C）；（D）
0E00000mnmnmnmmn
3）方阵An的秩R（A）=n，则An必定不满足（D）（A）An可逆；（B）An与E等价；（C）R（A）n；（D）存在BO,使ABO
4）An为奇异矩阵，下列的错误的是（C）
T
（A）R（A）R（A）；（B）R（A）n；（C）A0；（D）An不与单位阵E等价
3102
2.已知矩阵A1121，求R（A）。
1344
R（A）=2
123k
3.设A12k3，问k为何值时，可分别使
（1）
（2）（3）R（A）=1；R（A）=2；R（A）=3？
k23
4.已知n阶方阵A，使A2E为不可逆矩阵，求证：
A不为零矩阵。
练习三
班级学号姓名1．选择题：
1）当（D）时，齐次线性方程组Amnx0一定有非零解。
（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n.2）设A为n（≥2）阶方阵，且R（A）=n-1，1,2是Ax0的两个不同的解向量，k为任意常数，则AxO的通解为（C）
（A）k1；（B）k2；（C）k（12）；（D）k（12）.2．填空题:
1）设4阶方阵A（1234），且1234，则方程组Ax的一个解
向量为（1111）。
2）设方程组A（n1）nxb有解，则其增广矩阵的行列式Ab
x1x2a1xxa232
3）若有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件xxa334x4x1a4
a
i1
4
i
0
1x1112
4）已知方程组23a2x23无解，则a=-1。
1a2x03
11121112
23a2301a11a20
00（a3）（a1）a3x1x2x50
3．求齐次线性方程组x1x2x30的解。
xxx0345
4．解矩阵方程：
12310
X
23101
x1x2x31
5．取何值时，非齐次线性方程组x1x2x3
（1）有唯一解；
（2）无解；（3）有
2x1x2x3
无穷多解？
并在有解时，求解。
解：
112111
r1r3
A1111
112111
11r2r1
r3r1011
01122
213
112
r3r2
0112
0022132112
011
（1）
200
（2）
（1）
（1）
（1）
112
（1）当2,1时，有唯一解；A011
2
（1）001
2
x1
（1）2
（1）322
1001110222
x1
（1）2
（1）2
0100102
222
（1）2
（1）2
（1）2x3001001222
（2）当2时，无解；
1111
（3）当1时，有无穷多解。
A0000，
0000
x1111
xc1c（其中c1,c2是任意实数）21200，x0103
自测题
1．选择题：
1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，A中有一元素aij的代数余子式Aij0，则方程组AxO的基础解系所含向量个数为（B）
（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.
x1x22x30
2）方程组x1x2x30的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵BO，
xxx0
312
使得ABO，则（A）
（A）1，B0；（B）1，B0；（C）1，B0；（D）1，B0.3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组AxO，BxO有相同的基础解系1,2,3，则以下方程组以1,2,3为基础解系的是（D）
（A）（AB）xO；（B）ABxO；（C）BAxO；（D）
A
xO.B
2．判断题:
1）初等矩阵与初等变换是一一对应的（√）
Er
2）任一秩为r的矩阵A必与
O
T
O
等价（√）O
3）AxO与AAxO为同解方程组（√）4）方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件是Axb有两个不同的解（√）3．设n阶方阵A的列向量为i（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为
12,23,,n1n,n1，试问：
当R（A）n时，BxO是否有非零解？
试证明你的结论。
4．若齐次线性方程组AmnxO的解均为齐次线性方程组BlnxO的解，试证明R（A）R（B）。
5．求方程组
x1x20x1x2x30
与的非零公共解。
x2x40x2x3x40
解：
11001100101010101r3r1r32r20A11100210r4r2001110111010r4r3
00
10
01
101r1r20
0012
0000
1
101
012
00000
1
0
101012
012
1x1
非零公共解为x2c1（c0,c是任意实数）2x3
x4
6．设非齐次线性方程组Amnxb的系数矩阵Amn的秩为r，1,2,,nr是Amnx0的一个基础解系，是Amnxb的一个解。
证明：
Amnxb的任一解可表示为
xk1
（1）k2
（2）knr（nr）knr1,（k1k2knr11）
7．设1,2,3,4,为四维列向量，A（1,2,3,4），已知Ax的通解为
11111*****
xk1k2，其中，为对应的齐次方程组的基础解系，k1,k2为
2010111010
任意常数，令B（1,2,3），试求By的通解。
第四章向量组的线性相关性
练习一
班级学号姓名
1．已知向量1,1,0,1,2,1,1,2,1,2,0,1，试求向量32.解：
3231,1,0,122,1,1,21,2,0,1（6,3,2,6）2．已知向量组A:
10,1,2,3,23,0,1,2,32,3,0,1,
T
T
T
B:
12,1,1,2,20,2,1,1,34,4,1,3,证明B组能由A组线性表示，但A
组不能由B组线性表示。
解：
TTT
01AB2341
031240
0*****
*****0
3220XX年
32
12
2057
161281
4
479
10
0041
161570
002051525
041350
0312
4
16157
04135
00000
0312
R（A）3R（AB），所以B组能由A组线性表示。
20
12BA
11
2110
00
1
1
403211
410303
0*****
3321012
1
1
0
31132412
11011
2
1
1
2
1
01
111010
000210
0021000
11101
00210
00000
R（B）2,R（BA）3，所以A组不能由B组线性表示。
3．设可由1,2,,m线性表示，但不能由1,2,,m1线性表示，证明：
m可由
1,2,,m1,线性表示，而不能由1,2,,m1线性表示。
4．已知11,4,0,2,22,7,1,3,30,1,1,a,3,10,b,4，问：
（1）a,b取何值时，不能由1,2,3线性表示？
（2）a,b取何值时，可由1,2,3线性表示？
并写出此表达式。
解：
T
T
T
T
14
A1,2,3,
0231203
71100112
011b11b
3a401a2
20
1
0
0031
1120
000b2
0a100
20
3
1120a10
00b2
20
（1）当a1,b2或a1,b2时，R（A）R（A），不能由1,2,3线性表示。
10
（2）当a1,b2时，A
0031
1120
00a10
0000
20
001
102
010
000
R（A）R（A）3，可由1,2,3线性表示，12203
10
当a1,b2时，A
00
31
1120
0000
00002
1
112
，000
0000
2
R（A）R（A）2，可由1,2,3线性表示。
（12k）1（2k）2k3（kR）
练习二
班级学号姓名
1．判断向量组11,1,0,0,20,1,1,0,30,0,1,1,41,0,0,1的线性相关性。
T
T
T
T
2．讨论向量组11,1,0,21,3,1,35,3,t的线性相关性？
即t取何值时，向量组线性无关？
t又取何值时，向量组线性相关？
T
T
T
3．已知向量组1,2,3线性无关，判断2132,233,123的线性相关性。
4．如果向量可以用向量组1,2,,r线性表示，试证表示方法是唯一的充要条件是
1,2,,r线性无关。
练习三
班级学号姓名
1．已知向量组11,2,3,4,22,3,4,5,33,4,5,6,44,5,6,7，求该向量组的秩。
2．求向量组11,1,2,4,20,3,1,2,33,0,7,14,41,2,2,0的秩和最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。
1
3
3．利用初等行变换求矩阵
24
324
142
的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量342
139
用最大无关组线性表示。
4．设A为n阶矩阵（n≥2），A为A的伴随矩阵，证明：
n,当R（A）n
R（A）1,当R（A）n1
0,当
R（A）n2
练习四
班级学号姓名
x1x23x4x50
x1x22x3x4x50
1．求齐次线性方程组的基础解系。
4x2x6x5xx0*****2x14x22x34x416x50
x13x23x32x4x532x6xx3x21234
2．求非齐次线性方程组的通解。
x13x22x3x4x513x19x24x35x4x55
3．已知1,2,3是四元非齐次线性方程组Axb的解，R（A）2，且
112201
12,23,31,求该方程组的通解。
012123
4．设是齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,,nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：
（1）,1,2,,nr线行无关；
（2）,1,2,,nr线行无关。
练习五
班级学号姓名1．试判定集合V（x1,x2,,xn）x1x2xn1,xiR是否构成向量空间？
2．求向量空间R4的基11,2,1,0,21,1,1,1,31,2,1,1,41,1,0,1
20,1,2,到基12,1,0,12,3
坐标变换公式。
2,1,1,4,2
1,3,1,2的过渡矩阵和向量的
自测题
一、选择题：
1．设向量组
（1）：
1,：
1,2等价，则（A）。
2,3与向量组
（2）（A）向量组
（1）线性相关；（B）向量组
（2）线性无关；（C）向量组
（1）线性无关；（D）向量组
（2）线性相关。
2．设n维向量组1,2,,m线性无关，则（B）。
（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关；（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关；（D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。
3．设三阶行列式Daij0，则（A）。
（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合；（B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；
（C）D中至少有两行向量线性相关；（D）D中每一行向量都线性相关。
4．设A:
1,2,,4是一组n维向量，且1,2,3线性相关，则（D）。
（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。
5．设不能由非零向量1,2,,s线性表示，则（D）。
（A）1,2,,s线性相关；（B）1,2,,s,线性相关；
（C）与某个i线性相关；（D）与任一i都线性无关。
二、填空题：
1．设n维向量1,2,3线性相关，则向量组12,23,31的秩。
2．向量组,,线性相关的充分必要条件为。
3．设1,2线性无关，而1,2,3线性相关，则向量组1,22,33的极大无关组为1,2。
4．已知11,3,2,4,22,6,k,8线性相关，则
5．已知向量组,,线性相关，而向量组,,线性无关，则向量组,,的秩为。
1123
三、已知21223，证明1,2,3与1,2,3等价。
23
1233
a211
四、设有向量组A:
12,21,21，又向量b，试问当a,b,c满
1054c
足什么条件时，则：
（1）可由1,2,3线性表示，且表示式唯一；
（2）不能由1,2,3线性表示；
（3）可由1,2,3线性表示，但不唯一，并求一般表达式。
（1）
（2）
（3）
五、已知1,2,,s及都是n维向量，且12s，证明向量组
1,2,,s线性无关的充分必要条件是向量组1,2,,s线性无关。
六、设n维向量组
（1）：
1,2,,s的秩为r1；
（2）1,2,,s的秩为r2；（3）
11,22,,ss的秩为r3。
证明：
r1r2r3。
（21）x1x2
（1）x31
七、取何值时，线性方程组
（2）x1
（1）x2
（2）x3有惟一解、无解、无
（21）x
（1）x（21）x
123
穷多解？
在有无穷多解时求通解。
八、已知a1,a2,a3为三维向量空间R的一个基，设
3
b12a13a23a3,b22a1a22a3,b3a15a23a3,
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