高考数学参数方程和普通方程的互化练习.docx

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高考数学参数方程和普通方程的互化练习

【参数方程和普通方程的互化】

例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的

交点．

解：

把代入

得：

两式平方相加可得

∴（舍去）

于是即所求二曲线的交点是（，－）．

说明：

在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普

通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解．例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且

）

解法一：

因，，故

∴

设。

取为参数，则得所求参数方程

解法二：

如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M

与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数．

过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有

∴

即为所求的参数方程。

说明：

①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由

此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．

②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便．

③如果取为参数，则得直线参数方程

一般地，直线的参数方程的一般形式是

（，为参数）

但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义．

例3求椭圆的参数方程．

分析一：

把与对比，不难发现，可设，也

可设

解法一：

设（为参数），则

∴

故

因此，所得参数方程是

（Ⅰ）或（Ⅱ）

由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（，

），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．

显然．椭圆的参数方程是

分析二：

借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义．

解法二：

以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径为终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标

（以下同解法一）．

由解法二知，参数是点M所对应的圆半径的转角，而不是的转角，因而称为椭圆的

离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知也是半径的转角）．

例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。

分析：

由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。

解：

如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上任一点，过P作轴于B，与x轴正半轴所成角为，，则：

又中，

∴

∴此圆的参数方程为

例5设（为参数）把普通方程化为以为参数的参数方

程。

解：

把代入原方程，得，

解得

∴参数方程为（为参数）

∵与表示的是同一曲线，所以它们是等价的，可以省略一个。

∴所求参数方程

例6化双曲线为参数方程。

解：

设，代入为，得

∴的参数方程为（为参数，）

这是同学中较为常见的解法，这种解法是错误的，那么错在哪里呢？

请你找出来。

错误在于，双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数，错解中得到的参数方程

中x的取值范围仅仅，故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分，不符合普通方程与参数方程的等价性要求，普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数，注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。

下面给出正确解法：

设，代入得。

∴的参数方程为：

（为参数，）例7化参数方程

（为参数）为普通方程。

分析一：

用代入消元法，从已知方程中解出参数，代入后消去参数。

解法一：

∵

∴即

将它代入

（1），并化简得

（）

分析二：

用整体消参法。

注意表达式的分母相同，而分子的平方和恰为原来相同的分

母。

解法二：

得

又∵∴

于是得所求普通方程为即

分析三：

因为，所以。

从表达式可联想万能公式。

于是可用三角变换，然后利用三角公式再消参。

解法三：

∵，

∴可令（，）

又∵

于是得

得

即

∵

，（

）

∴

（

）

即

∴普通方程是

，∴

（）

说明：

解法一是用代入法消参，解法二是整体消参法，解法三是运用万能公式，三角变换消参，三种解法中都应注意的限制条件，使参数方程化为普通方程时保持等价性。

例8将下列参数方程（其中，为参数）化为普通方程。

（1）

（2）（3）

解：

（1）∵

∴（）为所求。

（2）由，得（）

将它代入，并化简得（）

另解：

∵

并整理得

（）

（3）∵

且

∴所求普通方程为

说明：

（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参，

（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参，（3）小题是通过代数变换法消参。

但都应特别注意等价性。

例9对于方程（a，b为常数）

（1）当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线；

（2）当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线解：

（1）当t为常数，原方程可变形为

两式平方相加得

即

这是以（a，b）为圆心，为半径的圆。

（2）当为常数时，

由第一式得代入第二式得即

这是过点（a，b），斜率为的一条直线

小结：

同一参数方程，由于参数不同，所表示的曲线也不同，消去参数化为普通方程后，曲线的类型也就显现出来。

例10已知直线过点P（2，0），斜率为。

直线和抛物线相交于A、B两点，线段的中点为M。

求：

（1）线段的长；

（2）M点的坐标；

（3）线段的长解：

如图。

（1）由直线过点P（2，0），斜率为。

设其倾斜角为，则有

可得直线的标准参数方程为：

分别代入，

可得

点拨：

利用直线的标准参数方程中参数的几何含义，在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时，显得很方便和简捷。

例11已知椭圆上的一个点P（），求的最值。

解：

设椭圆的参数方程为：

（为参数，）

∴

，（其中）

∵

∴

即的最大值是，最小值是－。

点拨：

这个题虽然很简单，但它说明了一个道理：

曲线的参数方程不仅表示了曲线，同

时也表示了曲线上的点的坐标．当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时，实际上起到了消元的作用，即用一个参数表示了、，因此，在求某些几何量的最值时，参数方程可以

起到一元化即消元的作用．

例12过点M（2，1）作曲线（为参数）的弦，若M为的三等分点，求直线方程。

解：

设的方程为（t为参数），将x，y代入曲线（为参数）即，

整理、化简得，

①

②

∵点M在的内部∴

∴。

将①、②代入上式有。

解得，

则的方程为

小结：

本题是首先设出过定点的参数方程，然后和椭圆方程联立，再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义，求得斜率，用点斜式写出直线方程。

例13圆O内一定点A，过A任作两互相垂直的弦，求证这两弦长的平方和为定值。

证明：

以圆心O为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，

设圆的方程，过定点互相垂直的两弦、的方程分别为

即

分别代入圆方程，得，其二根为、，

，其二根为、，故有

∴两弦平方和为定值

小结：

涉及圆的弦长问题，可利用直线参数方程来解。

例14已知是抛物线的一动弦，O为原点。

当恒为直角时，如图求弦的中点P的轨迹方程。

分析点P是的中点，点P的坐标与，的坐标，，、相关，如果选取，，、作为参数，则要列出，，，、有关的五个方程，最后消去参数，，、就可以得到P点的轨迹方程。

解设P（），（，），（，）

∵P是的中点

∴①

②

∵，在抛物上

∴③

④

又∵恒为直角，即

∴⑤

由③×④：

∴

由③＋④：

∴

把①、②式代入得：

∴P点的轨迹方程是

说明此题的解法是利用参数求点的轨迹方程，参数的个数可以是一个，也可以是几个，所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个，最后消去参数，得出轨

迹方程．解决这类问题的关键是如何选取参数．此题还有一种选取参数的方法．

设直线的斜率为，根据则的方程是，

的方程是。

由解得

由解得

设，根据P是的中点

∴

（1）

（2）

由

把

（1）代入：

∴P点的轨迹方程是：