（其中（0。
90。
）为异面直线a,b所成角，a,b分别
表示异面直线a,b的方向向量）
9•直线AB与平面所成角：
向量）•
iO、空间四点A、B、C、P共面OPxOAyOBzOC，且X+y+z=i
ii.二面角srlIarccosmnJ或
|m||n|人
dba2b2a3b3
2
a2
b2
的平面角
urarccosmr|m||n|
rab』Ixix2y』2Z1Z2I
|a||b|x
uuuir,
arcsin雪（m为平面的法
（m,n为平面,的法向
量）.
12.三余弦定理：
丄AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2,AO与AC所成的角为•贝Ucoscoses2.
13.空间两点间的距离公式若A（xi,yi,zi）,B（X2,y2,Z2），则
uur
AB
设AC是a内的任一条直线，且BC
uuuuruui
dA,B=|AB|ABAB©xi）2gVi）2亿zj2.
uuuur
14.异面直线间的距离：
d册其公垂向量为n,c、d分别是ii,i2间的距离）.
15.点B到平面的距离：
d
AB是经过面的一条斜线，
（hh是两异面直线，二任一点，d为肛
uurrn
la』（n为平面的法向量，
）.
|n|
A
rarc
2rcrb
2rbra
2
2rc
2rb
2ra
2
rc）
rb
16.三个向量和的平方公式：
（；
r2r2r2rrrr.rrrr
abc2|a||b|cos;a,b;2|b||c|cos：
b,c21c||a|cosc,a.
17.长度为i的线段在三条两两互相垂直的直线上
的射影长分别为11、12、13，夹角分别为1、2、3,则有l2I；I；I；cos1cos22cos31sin21sin22sin232.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
18.面积射影定理s壬.（平面多边形及其射影的面积分别是S、s',它们所在平面所成锐二面角的）.
19.球的组合体
（1）球与长方体的组合体：
长方体
的外接球的直径是长方体的体对角线长.
（2）球
与正方体的组合体：
正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径
是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为吕a,外接球的半径为严a.
20.求点到面的距离的常规方法是什么（直接法、
体积法）
21.求多面体体积的常规方法是什么（割补法、等积变换法）
〈二〉温馨提示：
1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围
1异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次仗刖3知0E.
IN」£
2直线的倾斜角、.到的角、J与的夹角的取值范
围依次是I1'■-:
.
〈三〉解题思路：
1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线//线
线//面
面//面
判定线丄线
线丄面
面丄面性质
线//线
线丄面
面//面
线面垂直:
线面平行的性质：
//面，面，ba//b
c
线面平行的判定:
a//b,b面，aa//面
a
面面垂直：
a丄面，a面丄
面丄面，I，aaa，丄I丄
三垂线定理（及逆定理）：
PA丄面,A0为P0在内射影，a面，则
面丄a，面丄a
//
（定义法）
2、三类角的定义及求法
（1）异面直线所成
90°
（2）直线与平面所成的角b,0°
90°
=0o时，b//或b
柞垂讎肘彩严
A
⑶二面角：
二面角l的平面角,0180°
（三垂线定理法：
A€a作或证AB丄卩于B,作BO丄棱于O,连AO,贝UAO丄棱i,•••/AOB为所求。
）
三类角的求法：
1找出或作出有关的角。
2证明其符合定义，并指出所求作的角。
3计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
二、题型与方法
【考点透视】
不论是求空间距离还是空间角，都要按照作，二证，三算”的步骤来完成。
求解空间距离和角的方法有两种：
一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1点到平面的距离
ABCA1B1C1
C1
Bi
CCi
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用•例1如图，正三棱柱ABCABiCi的所有棱长都为川AD为中占
求证:
AB丄平面AiBD；
求—面角AAiDB的大小；B
求点C到平面ABD的距离.
ABi丄平面
I八、、•
（I）
（n）
（皿）
查空间想象能力、
C1
考查目的：
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，逻辑思维能力和运算能力.
解答过程：
解法一：
（I）取中点O，连结AO.
QAABC为正三角形，AO丄BC.
Q正三棱柱ABCAiBiCi中，平ABC丄平BCCiBi，
AO丄平面BCCiBi.
连结BO，在正方形BBiCiC中，0,D分别为BC，CCi的中点，BiO丄BD，ABi丄BD.
在正方形ABBiA中,ABi丄AB，AB丄平面ABD.
（n）设AB1与AB交于点G，在平面ABD中，作GF丄AD于F,连结AF，由（I）得AB,丄平面ABD.
AF丄AD，/AFG为二面角AADB的平面角.
<△AAD中，由等面积法可求得AF琴，
丿5z
又qag2ab2，
sin/AFG
AG210.
AF<54
"~5-
所以二面角AADB的大小为arcs』.
（皿）△AiBD中，在正三棱柱中,
4
A到平面BCC1B1的距离为3.
BDAD」5，AB2丿2,SAbd，比BCD1.
设点C到平面ABD的距离为d.
由VABCD
VcABD，
BCDg3
3
3Sa
BCD
d
SaA[BD
QAABC为正三角形,Q在正三棱柱ABC
AD丄平
BCC1B1
点C到平面ABD的距离为-2.
解法二：
（I）取BC中点O，连结AO
AO丄BC.
A1BC1中，平面ABC丄平面BCC1B1，
取B1C1中点。
1，以O为原点，Ouu的正方向建立空间直角坐标系,
A（0,0「.3），B1（1,2,0），
UJLT-UUUUUT-
AB（1,2,J3）,BD（210）,BA（1,2,3）.
UJITUUUUULTUULT
QABgBD2200,ABgBA1430,
uuurmruuurluit
AB丄BD,AB丄BA・
AB!
丄平
ABD・
（U）设平面A!
AD的法向量为
n（x,y,z）.
UULT_UULT
AD（1,1,73）,AA（0,2,0）・
uuu_
ngAD0,xy3z0,y
UULT
ngAAi0,2y0x
ULLT
Qn丄AD
ULLT
n丄AAl）
0,
令z1得n（.3,01）为平面AAD的一个法向量.由（I）知AB」平面ABD,昭为平面ABD的法向量.
.3.3_6・
2g224
UULTcosnULUTngAB
cosn,AB——ULUT
ngAB
二面角AAD
B的大小为
ard・
（皿）由（n）,LLBr为平面Abd法向量，
UUTUULT-
QBC（2,0,0）,AB（1,2,3）・
点C到平面Abd的距离d吋早返・
AB,2j22
小结：
本例中（皿）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面AMB1的距离转化为容易求的点K
到平面AMB1的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.
考点2异面直线的距离
此类题目主要考查异面直线的距离的概念及
其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离•
4.2的正三角
例2已知三棱锥SABC,底面是边长为形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.
思路启迪：
由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.
解答过程：
如图所示，取BD的中点F，连结EF,SECF,EF为BCD的中位线，EFIICD,CD//面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.
又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF
的距离，设其为h，由题意知，bc4、ZD、E、F分别是
AB、BCBD的中点,
CD2
6,EF
1
—CD
2
6,
DF2,SC
2
VSCEF
11
EFDF
SC
116.2
c2.3
2
在Rt
32
中,
32
3
SCE
SE
、SC2CE2
23
在Rt
SCF
中,
SF
SC2CF2
4242.30
又EF
6,
SSEF
3
由于VcSEFVscef1Ssefh，即33h¥，解得h竽
3333
故CD与SE间的距离为空.
3
小结：
通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程•
考点3直线到平面的距离
此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查
点面、线面、面面距离间的转化•
例3.如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD到平面GBQ的距离.
思路启迪：
把线面距离转化为点面距离到
平面距离的方法求解.A1WBR^「
解答过程：
解析一一BD//平面GBiDi，Eg"
BD上任意一点到平面GBiD的距离皆为所求B以下求
点O平面GBiDi的距离,
BiDiAC，BQAA，BiD平面AACCi,
又BiDi平面GBiDi
平面AACCiGBDi，两个平面的交线是OiG,
作OHQG于H，则有OH平面GBiDi，即OH是O点到平面GBiDi的距离.
在OQG中，Sq°G2OiOAO22,2、2.
26
3
又SO1OG-OHOiG-v'3OH<2,OH
22
即BD到平面GB-Di的距离等于*6.
3
解析二BD//平面GB1D1,
BD上任意一点到平面GB-Di的距离皆为所求，以下求点B平面GB-Di的距离.
设点B到平面GB-Di的距离为h，将它视为三棱锥BGBiDi的高，则
VBGBiDiVDiGBBi,由于SGBiDi
122..3、6,
2
VDiGBBi
即BD到平面GBiDi的距离等于兰
3
小结：
当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离•所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离•本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离•
考点4异面直线所成的角
此类题目一般是按定义作出异面直线所成的
角，然后通过解三角形来求角•异面直线所成的角是高考考查的重点•
例4、如图，在RtAAOB中，OAB』，斜边AB4.Rt△AOC可以
6
D
IJII
Ij?
I
""：
_E_
B
小.
通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，二面角BAOC的直二面角.D是AB的占
;、、、•
（1）求证：
平面COD平面AOB；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大
思路启迪：
1）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.
解答过程：
解法1:
（错误！
未找到引用源。
）由题
、、/•:
*
意，COAO,BOAO,
D
z*
A
by
BOC是二面角BAOC是直二面角，
COBO，又QAOIBOO,
CO平面AOB,又CO平面COD.
平面COD平面AOB.
DE//AO
（2）作DEOB,垂足为E,连结CEC如图），贝U,CDE是异面直线AO与CD所成的角.
OE-BO1,2?
在.Rt△COE中，COBO2,
CE-CO2OE25.
3又DE1AO3.
2
在RtACDE中，tanCDEg-5f.
异面直线AO与CD所成角的大小为arctan乎.
解法2:
（1）同解法1.
（2）建立空间直角坐标系。
xyz，如图，则0（0,0,0）,A（0,0,2.3）,C（2,0,0）,D（01,,3）,
uur_uuu-
OA（0,0,2.3）,CD（2,1,3）,
LUUUUU—
uuuUUUOAgDD66
cosOA,CDUUU||UUU—=——=•
OA|gcD2屁"4
异面直线AO与CD所成角的大小为arccos扌.
小结：
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：
①平移法：
在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：
把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发
现两条异面直线间的关系，如解析三•一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法•同时要特别注意异面直线所成的角的范围：
0,2•
考点5直线和平面所成的角
此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算•线面角在空间角中占有重要地位，是咼考的常考内容.
例5.四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知/ABC45o,AB2,BC2运,SASB43.
（I）证明SABC；cb
（□）求直线SD与平面SAB所成角的大小：
考查目的：
本小题主要考查直线与直线，直线与平面的位置关系，
二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
C
DA
又ZABC45°,故△AOB,AO丄BO,
解答过程：
解法一：
（I）作so丄BC,垂足为o,连结AO,由侧面SBC丄底面ABCD,得SO丄底面ABCD・因为SASB,所以AOBO,由三垂线定理，得SA丄BC・
（U）由（I）知SA丄BC,依题设AD//BC,故SA丄AD，由ADBC2迈,SA^3,AO^2，得
SO1,SD刀・
△SAB的面积Si^abJsa2-1AB近・连结DB,得△DAB的面积S21ABgADsin135°2
设D到平面SAB的距离为h，由于VdsabVsabd，得3hgS1SOgS2，解得h晅・
设SD与平面SAB所成角为，则sin上2邑.
SDV1111
所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin^・
11
解法二：
（I）作SO丄BC,垂足为O，连结AO，由侧面SBC丄底面
ABCD，得SO丄平面ABCD・
因为
又ZABC45o,
如图，以O为坐标原点，OA为标系Oxyz,
A（20,0）,B（0,2,0）,C（0,2,0）,S（0,0,1）,uu_uruiu
CB（0,220）,SAgCB0,所以SA丄BC.
SASB，所以AOBO.
△AOB为等腰直角三角形，
x
轴正向,
EB
DA（2,0,a
AO丄O
立直角坐
连结SE，取SE中点G，连结OG,
G-J，上丄・
442
（U）取AB中点E,
OG迄,-I丄,sE丄,21,AB（.2,2,0）・
44222
SE,AB垂
SEgOGo,ABgOGo,og与平面SAB内两条相交直线直.
SD与平面SAB所
所以OG平面SAB,OG与DS的夹角记为成的角记为，则与互余.
D（、2,2.2,0）,DS（.2,2.21）・
OGgDS22.22
cos■sin
|OG〔gDS|1111
所以,直线SD与平面SAB所成的角为arcsin免・
11
小结：
求直线与平面所成的角时，应注意的问题是
（1）先判断直线和平面的位置关系；
（2）当直线
和平面斜交时，常用以下步骤：
①构造一一作出斜线与射影所成的角，②证明一一论证作出的角为所求的角，③计算常用解三角形的方法求角，④
结论一一点明直线和平面所成的角的值•
考点6二面角
此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解•二面角是高考的热点，应重视.例6.如图，已知直二面角PQ,APQ,B,C,
CACB,BAP45o,直线CA和平面所成的角为30。
.
I）证明BC丄PQ；
（II）求二面角BACP的大小.
命题目的：
本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力•
结OB.因为
PQ，所以CO丄,
过程指引：
（I）在平面内过点C作CO丄PQ于点O，连
又因为CACB，所以OAOB.
而BAO450,所以ABO450,AOB90o,
从而BO丄PQ,又CO丄PQ,
所以PQ丄平面OBC.因为BC平面OBC,故PQ丄BC.
（II）解法一：
由（I）知，BO丄PQ,又丄，IPQ,
BO，所以BO丄过点O作OH丄AC于点H，连结BH，由三垂线定理知,
BH丄AC
故BHO是二面角BACP的平面角.
由（I）知，CO丄，所以CAO是CA和平面所成的角,贝"CAO30。
，
不妨设AC2，贝卩AO,3,OHAOsin30o-3.
在Rt△OAB中,ABOBAO45o，所以BOAO.3,于是在Rt△BOH中，tanBHO昱李2.
OH3
~2
故二面角BACP的大小为arctan2.
解法二：
由（I）知，OC丄OA，OC丄OB，OA丄OB，故可以O为原点，分别以直线OB,OA,OC为
x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）
因为CO丄a，所以CAO是CA和平面
CAO30o.
不妨设AC2,则AO.3,CO1.
在RtAOAB中，ABOBAO45o,所以BOAO73.
则相关各点的坐标分别是
O（0,0,0）,BC-3,0,0）,A（0,3,0）,C（0,0,1）.
所以aB（.3,3,0）,Ac（O,.3,1）.
uruuu
设X{X,y,z}是平面ABC的一个法向量，由黑AB0得
r^gAC0
'一3x3y0,
.3yz0取xi，得X（ii<.3）・易知ru（100）是平面的一个法向量.
设二面角bacp的平面角为，由图可知，urx.
LTUU-
所以cos显％1匹・
□g|V515
故二面角BACP的大小为arccos_!
.
5
小结：
本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角•无棱二面角棱的确定有以下三种途径：
①由二面角两个面
内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内
的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平
面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.
考点7利用空间向量求空间距离和角
众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难
度，而且使得作题具有很强的操作性.
例7.如图，已知ABCDA|B1C1D1是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且AEFC11.
（1）求证：
巳B，F，D1四点共面；
（2）若点在上，BG2，点在上，GM丄BF，垂足为，求证:
EM丄平面BCC1B1；
（3）用表示截面EBFD!
和侧面BCCQ所成的锐二面角的
大小，求.
命题意图：
本小题主要考查平面的基本性质、
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