无穷大无穷小.ppt

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1无穷小无穷小（infinitelysmall）无穷大无穷大（infinitelygreat）小结小结思考题思考题作业作业无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2.3无穷小与无穷大无穷小与无穷大第第22章章极限与连续极限与连续一、无穷小一、无穷小1.定义定义:

极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.3.无穷小是指无穷小是指在某个过程中在某个过程中函数变化的趋势函数变化的趋势.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:

证证必要性必要性恒有恒有也即也即恒有恒有5于是于是恒有恒有即即类似可证明类似可证明的情形的情形.其中其中A是常数是常数,恒有恒有定理定理11充分性充分性意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷无穷小小）;3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:

定理定理2在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证推论推论1在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.如如,是无穷大是无穷大;是无穷大是无穷大.定义定义22记作记作特殊情形：

正无穷大，负无穷大特殊情形：

正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是某过程的无穷大界变量未必是某过程的无穷大.不是无穷大不是无穷大无界，无界，证证三、无穷小与无穷大的关系定理定理44在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证意义意义关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.四、小结1、主要内容、主要内容:

两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:

无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.

（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（22）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.17思考题思考题考研数学三考研数学三,3分分A.无穷小量无穷小量B.无穷大量无穷大量C.有界量非无穷小量有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量无界但非无穷大量D作业作业习题习题2.3（342.3（34页页）3.5.7.