一元二次方程求解教法解析.docx

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一元二次方程求解教法解析

一元二次方程讲解与解析

一元二次方程

一元：

代表未知数的个数，这里指的是只含有一个未知数；

次：

代表次数，这里指次数为2。

第一节一元二次方程的概念：

知识点1一元一次方程的概念

定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

了解：

只有同时满足三个条件：

①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。

这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任意一条件都不是一元二次方程。

一元二次方程的一般式为：

ax²+bx+c=0（a≠0）

其中ax²为二次项，bx为一次项，c为常数项。

a为二次项的系数，b为一次项的系数。

尽可能在正常情况下将右边的数值移动到左边，使右边的数值为0。

【总结】

上面的方程都只含有一个未知数x的整式方程并且都可以化成ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

我们吧ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。

例子：

4x²+5x-1=0（一般形式）。

4x²为二次项，5x为一次项，-1为常数项。

4为二次项系数，5为一次项系数。

随堂练习：

1.根据题意列方程：

已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。

解：

设直角三角形的三边长为x，x+1，x+2。

x²+（x+1）²=（x+2）²（只需要列车方程到这步即可）

x²-2x-3=0

x²-2x+1²=3+1²

（x-1）²=4

x-1=±2

习题2.1

知识技能

1.根据题意，列方程：

（1）有一个面积为54㎡的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的变长是多少？

解：

设这个正方形的边长是xm（x>0）。

（x+5）（x+2）=54，即x²+7x-44=0。

（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？

设三个连续整数依次为x，x+1，x+2。

x（x+1）+x（x+2）+（x+1）（x+2）=242，即x²+2x-80=0。

2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

方程

一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

3x²=5x-1

3x²-5x+1=0

3

-5

9

（x+2）（x-1）

x²+x-8=0

1

1

-8

4-7x²=0

-7x²+4=0

-7

0

4

3.请根据这一问题列方程

例：

有一个人拿着一根竹竿，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。

后来他沿着门的两个对角斜着拿杆，不多不少刚好进去了。

你知道这根竹竿有多长吗？

解：

设竹竿长x尺，则门框宽为（x-4）尺，门框高为（x-2）尺。

（x-2）²+（x-4）²=x²

即：

x²-12x+20=0。

知识点2估计一元二次方程的取值范围

在得到一元二次方程后，我们最关心的是它的解及其取值范围。

可利用列表取值法判断一元二次方程的取值范围，具体步骤如下：

（1）列表，利用未知数的取值分别计算方程ax²+bx+c（a≠0）中ax²+bx+c的值；

（2）在表中找出使ax²+bx+c的值可能等于0的未知数符合要求的取值范围；

（3）进一步在

（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止。

知识拓展：

在估计一元二次方程解的取值范围时，当ax²+bx+c（a≠0）的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax²+bx+c=0成立的x值。

第二节配方法

【知识点】直接开平方（重点；掌握）

定义：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法

直接开平方法的理论依据是平方根的定义。

直接开平方法试用于解形如下（x+a）²=b（b≧0）的一元二次方程。

先给出解题的前提条件，让大家重点掌握！

（重点，必背）

（下面的用在二次项系数为“1”的情况下）

1移（移常数项）

2方程两边同时加上一次项系数一半的平方

3构成（x+n）²=m的形式，然后开方（x，m只是代数）

4解：

x+m=±√n，x=±√n－m。

或

（下面的用在二次项系数不为“1”的情况下）

1化二次项系数为1

2移将常数项移到方程右边

3配：

方程两边同时加上一次项系数一半的平方

4开方（x+m）²=n（m，n只是代数）

5解：

x+m=±√n，x=±√n－m。

上面的背好后

简单记住：

一化、二移、三配、四开、五解（统一使用此方法记住）

例题：

课本P55页随堂练习

（1）x²-10x+25=7

x²-10x+25-7=0（首先先使右边为0，将“7”移到左边，左右两边移动要变号。

）

x²-10x+18=0（为一元二次方程的一般形式）

x²-10x+5²=-18+5²（一移，常数项“18”移到方程右边；方程两边同乘以一次项系数一半的平方）

（x-5）²=7（构成（x+m）²=n的形式了）

x-5=±√7（解的步骤，从上一步到下一步，方程左边去掉括号和平方后，右边直接开方，开不了的用根号。

必须为正和负两个）

∴x1=5+√7,x2=5-√7

（2）x²+6x=1

x²+6x-1=0（无论怎样都先化为一元二次方程的一般形式）

x²+6x+3²=1+3²（一移，常数项“1”移动到右边，方程两边加上一次项系数一半的平方）

（x+3）²=10（构成（x+m）²=n的形式了）

x+3=±√10（方程左边去掉括号后，右边进行开方）

∴x1=-3+√10,x2=3+√10

（3）x²-14x=8

x²-14x-8=0

x²-14x+7²=8+7²

（x+7）²=57

x+7=±√57

∴x1=7+√57,x2=7-√57

（4）x²+2x+2=8x+4

=0

=0

x²-6x-=0

x²-6x+=2+

（）²=11

X－3=±√

∴x1=，x2=

看看你上面的是否做对了呢！

第四小题偏难。

第四小题答案

x²+2x+2-8x-4=0

x²+2x-8x+2-4=0

x²-6x-2=0

x-6x+3²=2+3²

（x-3）²=11

x-3=±√11

∴x1=3+√11,x2=3-√11

我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

用配方法解下列方程（增订内容）

（1）x²+8x-9=0

（2）3x²+8x-3=0

分析：

当二次项系数为1时，只要先把常数项移动到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成（x+m）²=n（n≥0）的形式，再用直接开平方法求解，当二次项系数不是1时，先将二次项系数华为1，再用配方法解过程。

（1）移项，得x²+8x=9

配方，得x²+8x+4²=9+4²（两边同时加上一次项系数一半的平方）

即（x+4）²=25

直接开平方得x+4=±5

即x+4=5或x+4=-5

所以x1=1，x2=-9

（2）两边同除以3，得x²+8/3x-1=0（之前说过二次项系数非1的要先华为1，就是把一次项系数和常数项各除以二次项系数，二次项系数被除后可去除，这样变为1）

移项，得x²+8/3x=1

配方，得x²+8/3x+（4/3）²=1+（4/3）²（两边同时加上一次项系数一半的平方）

即（x+4/3）²=（5/3）²

直接开平方，得x+4/3=±5/3，所以x1=1/3，x2=-3

第三节分解因式法

分解因式分别有：

平方差公式、完全平方公式、提取公因式和十字相乘法。

其实只需要利用一下以上公式，有的要从以上公式变位一元二次方程的一般形式才能计算，有的可以直接计算。

知识点

对于一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）来说，诺其左端能够分解因式，得（a1x+b1）（a2x+b2）=0，必有a1x+b1=0或a2x+b2=0，进而求得方程的解，这种方法就是分解因式。

例题：

用分解因式法解下列各题。

（1）x²+x-2=0

（2）49（x-3）²=16（x+6）²（3）（x-1）²-2（x²-1）=0

（4）（x-3）（x+1）=5

解：

（1）原方程变形为（x+2）（x-1）=0，所以x+2=0，所以x1=-2，x2=1.

（2）原方程变形为49（x-3）²-16（x+6）²=0，即[7（x-3）]²-[4（x+6）]²=0，所以（7x-21+4x+24）（7x-21-4x-24）=0，所以11x+3=0或3x-45=0，所以x1=-3/11，x2=15.

（3）原方程变形为（x-1）²-2（x+1）（x-1）=0，（x-1）（x-1-2x-2）=0，所以x-1=0或-x-1=0，所以x=1，x=-3.

（4）原方程变形为（x-3）（x+1）-5=0，即x²-2x-8=0，所以（x-4）（x+2）=0，所以x-4=0或x+2=0，所以x1=4，x2=-2.

第四节公式法

公式法是万能的，任何的一元二次方程都能用公式法解，但要看哪种方法比较简单，否则不建议都用公式法。

把

叫做一元二次方程

的根的判别式。

判别式△=b²-4ac>0有两个不同的实数根

判别式△=b²-4ac=0有两个相同的实数根

判别式△=b²-4ac<0没有实数根

一元二次方程的根是

（a≠0）

【知识拓展】

1.被开方数b²-4ac必须是非负数，否√b²-4ac没有意义。

2.由于根公式可知，一元二次方程的根是有其系数a，b，c决定的，只有确定了a，b，c的值，就可带入公式求一元二次方程。

★方程的两根与系数的关系：

（也称韦达定理）

★根据韦达定理逆推可得：

当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：

x2-（p+q）x+pq=0

计算时以一元二次方程一般式为主，不是的要先化，二次项系数可以是非1的数；分别用a，b，c来取代二次项系数，一次项系数，常数项。

但方程右边确保要等于0的情况下。

【提示】先将一次项系数化为1（这样能使方程简便），然后再用a、b、c取值，但是在化为1时发现会出现分数的情况下，就尽量不要化为1，这个时候直接用a、b、c代替取值。

例题1：

x²-7x-18=0（一元二次方程一般形式）

a=1b=-7c=-18（二次项系数或一次项系数为一的用1代替，常数项为0的照样用0代替）

b²-4ac=（-7）²－4×1×（-18）=121（牢记固定公式“b²-4ac”，直接计算）

（套用公式）x1=9，x2=-9

例题2：

2x²-9x+8=0

a=2b=-9c=8

b²-4ac=（-9）²－4×2×8

=81-64

=17

利用公式法可以求出有两个不同的实数根

练习题：

1.下列是一元二次方程的是（）

A.（x-1）x=x²B.√x²+1C.2x²+1/x+1=0D.x²=1

2.下列各一元二次方程是一般形式的是（）

A.6x²=10+5xB.5x-6x²-10=0C.6x²-5x-10D.10+5x+6x²=2x+1

3.下列方程不是整式方程的是（）

A.√2/2x²+1/2x=1B.0.2x³-0.4x²=0C.（x²+1）/5=3D.1/（x²+x）=2

4.方程8x²=x的二次项系数是▁▁▁，一次项系数是▁▁▁，常数项是▁▁▁。

5.方程（x-√3）（x+√3）=0的二次项系数是▁▁▁，一次项系数是▁▁▁，常数项是▁▁▁。

6.关于x的方程kx²-k（x+2）=x（x+1）+6，当k▁▁▁时，这个方程是一元二次方程。

7.方程（m-1）x²+（m+1）x+3m+2=0，当m▁▁▁时，为一元一次方程；当m▁▁▁时，为一元二次方程。

配方法

1.方程x²=0.16的根为（）

A.x=0.4B.x=-0.4C.x1=0.4，x=0.4D.x1=0.4，x2=-0.4

2.用配方法解下列方程时，配方错误的是（）

A.x²+2x-99=0，化为（x+1）²=100

B.m²-7m-4=0，化为（m-7/2）²=65/4

C.x²+8x+9=0，化为（x+4）²=25

D.3x²-4x-2=0，化为（x-2/3）²=10/9

3.诺n（n≠0）是关于x的方程x²+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

4.方程x²-2x-7=0的两个根为（）

A.-1±2√2B.1±2√2C.2√2±1D.±2√2

5.诺关于x的一元二次方程x²+（k+3）x=0的一个根是-2，则另一个根是▁▁▁。

公式法

1.如果x1，x2是一元二次方程x²-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）

A.1B.5C.-5D.6

2.关于x的方程（a-5）x²-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（）

A.6B.7C.8D.9

3.如果关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不相等的实数根。

则k的取值范围是（）

4.如果关于x的一元二次方程-x²+（2k+1）x+2-k²有实数根，则k的取值范围是。

5.如果关于x的方程x²-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，你们k▁▁▁。