一元二次方程求解教法解析.docx

1、一元二次方程求解教法解析一元二次方程讲解与解析一元二次方程一元：代表未知数的个数，这里指的是只含有一个未知数；次：代表次数，这里指次数为2。第一节 一元二次方程的概念：知识点1 一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。了解：只有同时满足三个条件：是整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2。 这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任意一条件都不是一元二次方程。一元二次方程的一般式为：ax+bx+c=0(a0)其中ax为二次项，bx为一次项，c为常数项。a为二次项的系数，b为一次项的系数。尽可能在正常情况下将右边的数值移动到左边，使右边的数

2、值为0。【总结】上面的方程都只含有一个未知数x的整式方程并且都可以化成ax+bx+c=0（a，b，c为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。我们吧ax+bx+c=0（a，b，c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。例子：4x+5x-1=0（一般形式）。4x为二次项，5x为一次项，-1为常数项。4为二次项系数，5为一次项系数。随堂练习：1.根据题意列方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。解：设直角三角形的三边长为x，x+1，x+2。x+(x+1) =(x+2) （只需要列车方程到

3、这步即可）x-2x-3 =0x-2x+1=3+1(x-1) =4x-1=2习题2.1知识技能1.根据题意，列方程：（1）有一个面积为54的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的变长是多少？解：设这个正方形的边长是x m(x0)。(x+5)(x+2)=54，即x+7x-44=0。（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？设三个连续整数依次为x，x+1，x+2。x (x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242，即x+2x-80=0。2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般

4、形式二次项系数一次项系数常数项3x=5x-13x-5x+1=03-59（x+2）（x-1）x+x-8=011-84-7x=0-7x+4=0-7043.请根据这一问题列方程例：有一个人拿着一根竹竿，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。后来他沿着门的两个对角斜着拿杆，不多不少刚好进去了。你知道这根竹竿有多长吗？ 解：设竹竿长x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺。(x-2)+(x-4)=x即：x-12x+20=0。知识点2 估计一元二次方程的取值范围在得到一元二次方程后，我们最关心的是它的解及其取值范围。可利用列表取值法判断一元二次方程的取值范围，具体步骤如下：（1）

5、列表，利用未知数的取值分别计算方程ax+bx+c (a0)中ax+bx+c的值；（2）在表中找出使ax+bx+c的值可能等于0的未知数符合要求的取值范围；（3）进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止。知识拓展：在估计一元二次方程解的取值范围时，当ax+bx+c (a0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax+bx+c=0成立的x值。第二节 配方法【知识点】 直接开平方（重点；掌握）定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义。直接开平方法试用于解形如

6、下(x+a) =b(b0)的一元二次方程。先给出解题的前提条件，让大家重点掌握！（重点，必背）（下面的用在二次项系数为“1”的情况下）1 移（移常数项）2 方程两边同时加上一次项系数一半的平方3 构成(x+n) =m的形式，然后开方（x，m只是代数）4 解：x+m=n，x =nm。或（下面的用在二次项系数不为“1”的情况下）1 化二次项系数为12 移 将常数项移到方程右边3 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方4 开方(x+m) =n（m，n只是代数）5 解：x+m=n，x =n m。上面的背好后简单记住：一化、二移、三配、四开、五解（统一使用此方法记住）例题：课本P55页随堂练习（1）x

7、 -10x+25 =7x -10x+25-7=0（首先先使右边为0，将“7”移到左边，左右两边移动要变号。）x -10x+18 =0（为一元二次方程的一般形式）x-10x+5=-18+5（一移，常数项“18”移到方程右边；方程两边同乘以一次项系数一半的平方）(x-5) =7（构成(x+m) =n的形式了）x-5 =7（解的步骤，从上一步到下一步，方程左边去掉括号和平方后，右边直接开方，开不了的用根号。必须为正和负两个）x1=5+7,x2=5-7（2）x+6x=1x+6x-1 =0（无论怎样都先化为一元二次方程的一般形式） x+6x+3 =1+3（一移，常数项“1”移动到右边，方程两边加上一次项

8、系数一半的平方） （x+3）=10（构成(x+m) =n的形式了） x+3 =10（方程左边去掉括号后，右边进行开方）x1=-3+10,x2=3+10（3）x-14x=8 x-14x-8=0x-14x+7=8+7(x+7) =57x+7=57x1=7+57,x2=7-57（4）x+2x+2=8x+4 =0 =0x-6x- =0x-6x+ =2+ ( ) =11X3= x1= ，x2= 看看你上面的是否做对了呢！第四小题偏难。第四小题答案x+2x+2-8x-4=0x+2x-8x+2-4=0x-6x-2=0x-6x+3=2+3(x-3) =11x-3=11x1=3+11,x2=3-11我们通过配成

9、完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。用配方法解下列方程（增订内容）（1） x+8x-9=0 （2）3x+8x-3=0分析：当二次项系数为1时，只要先把常数项移动到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成(x+m) =n(n0)的形式，再用直接开平方法求解，当二次项系数不是1时，先将二次项系数华为1，再用配方法解过程。（1）移项，得x+8x=9配方，得x+8x+4=9+4（两边同时加上一次项系数一半的平方）即(x+4) =25直接开平方得x+4=5即x+4=5或x+4=-5所以x1=1，x2=-9（2） 两边同除以3，得x+

10、8/3x-1=0（之前说过二次项系数非1的要先华为1，就是把一次项系数和常数项各除以二次项系数，二次项系数被除后可去除，这样变为1）移项，得x+8/3x=1配方，得x+8/3x+(4/3) =1+(4/3) （两边同时加上一次项系数一半的平方）即(x+4/3) =(5/3) 直接开平方，得x+4/3=5/3，所以x1=1/3，x2=-3第三节 分解因式法分解因式分别有：平方差公式、完全平方公式、提取公因式和十字相乘法。其实只需要利用一下以上公式，有的要从以上公式变位一元二次方程的一般形式才能计算，有的可以直接计算。知识点对于一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（a0）来说，诺其左端能够分解

11、因式，得(a1x+b1)(a2x+b2)=0，必有a1x+b1=0或a2x+b2=0，进而求得方程的解，这种方法就是分解因式。例题：用分解因式法解下列各题。（1） x+x-2=0 （2）49(x-3) =16(x+6) （3）(x-1) -2(x-1)=0（4）(x-3)(x+1)=5解：（1）原方程变形为(x+2)(x-1)=0，所以x+2=0，所以x1=-2，x2=1.（2） 原方程变形为49(x-3) -16(x+6) =0，即7(x-3) -4(x+6) =0，所以(7x-21+4x+24)(7x-21-4x-24)=0，所以11x+3=0或3x-45=0，所以x1=-3/11，x2=

12、15.（3） 原方程变形为(x-1) -2(x+1)(x-1)=0，(x-1)(x-1-2x-2)=0，所以x-1=0或-x-1=0，所以x=1，x=-3.（4） 原方程变形为(x-3)(x+1)-5=0，即x-2x-8=0，所以(x-4)(x+2)=0，所以x-4=0或x+2=0，所以x1=4，x2=-2.第四节 公式法公式法是万能的，任何的一元二次方程都能用公式法解，但要看哪种方法比较简单，否则不建议都用公式法。把 叫做一元二次方程 的根的判别式。判别式=b-4ac0有两个不同的实数根判别式=b-4ac=0有两个相同的实数根判别式=b-4ac0没有实数根 一元二次方程的根是 （a0）【知识

13、拓展】 1.被开方数b -4ac必须是非负数，否b -4ac没有意义。2.由于根公式可知，一元二次方程的根是有其系数a，b，c决定的，只有确定了a，b，c的值，就可带入公式求一元二次方程。方程的两根与系数的关系：（也称韦达定理） 根据 韦达定理 逆推可得：当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：x2-(p+q)x+pq=0计算时以一元二次方程一般式为主，不是的要先化，二次项系数可以是非1的数；分别用a，b，c来取代 二次项系数，一次项系数，常数项。但方程右边确保要等于0的情况下。【提示】先将一次项系数化为1（这样能使方程简便），然后再用a、b、c取值，但是在化为1时发现会出现分数的情况下，

14、就尽量不要化为1，这个时候直接用a、b、c代替取值。例题1：x -7x-18=0（一元二次方程一般形式）a=1 b=-7 c=-18 （二次项系数或一次项系数为一的用1代替，常数项为0的照样用0代替）b -4ac=(-7) 41(-18) =121（牢记固定公式“b-4ac”，直接计算） （套用公式）x1=9，x2=-9 例题2：2x-9x+8=0a=2 b=-9 c=8b-4ac =(-9) 428 =81-64 =17利用公式法可以求出有两个不同的实数根练习题：1. 下列是一元二次方程的是 （ ）A. (x-1)x=x B. x+1 C. 2x+1/x+1=0 D .x=12.下列各一元二

15、次方程是一般形式的是 （ ）A. 6x=10+5x B. 5x-6x-10=0 C. 6x-5x-10 D. 10+5x+6x=2x+13.下列方程不是整式方程的是 （ ）A. 2/2 x+1/2x=1 B. 0.2x-0.4x=0 C.(x+1)/5=3 D. 1/(x+x)=24.方程8x=x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。5.方程(x-3)(x+3)=0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。6.关于x的方程kx-k(x+2)=x(x+1)+6，当k时，这个方程是一元二次方程。7.方程(m-1)x+(m+1)x+3m+2=0，当m时，为一元一次方程；当m时，为一元二次方程。配方法

16、1.方程x=0.16的根为 （ ）A. x=0.4 B. x=-0.4 C. x1=0.4，x=0.4 D. x1=0.4，x2=-0.42.用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ）A. x+2x-99=0，化为(x+1) =100B. m-7m-4=0，化为(m-7/2) =65/4C. x+8x+9=0，化为(x+4) =25D. 3x-4x-2=0，化为(x-2/3) =10/93.诺n(n0)是关于x的方程x+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）A.1 B.2 C.-1 D.-24.方程x-2x-7=0的两个根为 （ ）A.-122 B.122 C.221 D. 225.诺关于x的一元二次方程x+(k+3)x=0的一个根是-2，则另一个根是。公式法1.如果x1，x2是一元二次方程x-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是 （ ）A.1 B.5 C.-5 D.62.关于x的方程(a-5)x-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）A.6 B.7 C.8 D.93.如果关于x的一元二次方程kx-2x-1=0有两个不相等的实数根。则k的取值范围是（ ）4.如果关于x的一元二次方程-x+(2k+1)x+2-k有实数根，则k的取值范围是 。5.如果关于x的方程x-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，你们k。