中考数学复习隐形圆问题大全后有专题练习无答案.docx
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中考数学复习隐形圆问题大全后有专题练习无答案
2019中考数学复习隐形圆问题大全
一定点+定长
1.依据：
到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
2.应用：
（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。
简析：
因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD=
。
（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是 .
简析：
E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为
。
（3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 .
简析：
先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：
√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：
缩小即得O点路径。
如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=3
。
二定线+定角
1.依据：
与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
2.应用：
（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.
简析：
AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。
（2）如图，∠XOY=45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB=2，那么OC的最大值为 .
简析：
AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=
+1+
。
（3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．
简析：
作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。
如下图，易得C点坐标为（0，2
）或（0，-2
）。
（4）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C（0,2）,交轴于点A、B，（A点在点左侧）,顶点为D.
①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;
②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标;
③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC？
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
简析③：
定线BC对定角∠BPC=∠BAC，则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所示。
三三点定圆
1.依据：
不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.应用：
ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。
简析：
作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。
四四点共圆
1.依据：
对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。
2.应用：
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。
简析：
因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：
AP＝CD：
AD，得CF＝1.5。
五旋转生圆
1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____。
简析：
CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。
2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，则线段AB扫过区域的面积为_____。
简析：
扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。
六动圆综合
1.动圆+定弦：
依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。
如图,△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝6,BC＝8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为 .
简析：
图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.
2.动圆+定线：
相切时为临界值。
如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AB＝6,点D在AB边上,点E是BC边上一点（不与点B、C重合）,且DA＝DE,则AD的取值范围是 。
简析：
因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。
E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得2≤AD<3。
3.动弦+定角：
圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。
已知：
△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，过E作EH⊥AB于H，EI⊥BC于I，连FG、HI，
求证：
FG与HI的最小值相等。
简析：
可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BE⊥AC，解△OHI可得HI的最小长度。
同样可求FG的最小长度。
此题可归纳一般结论：
当∠ABC=α，∠ACB=β，BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。
达标测试：
1.BC＝AC＝6，∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，AD＝2，求BD.
2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD，BD，则∠BDC的度数为 .
3.如图，在边长为2√3的等边△ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，则CP的最小值为____.
4.如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：
FE＝DE.
5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最理想吗？
如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米，最低点Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为 米.
6.如图直线y=x+2分别与x轴，y轴交于点M、N，边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点，直线AN与MC交于点P，若正方形OABC绕点O旋转一周，则点P到点（0,1）长度的最小值是____.
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