中考数学几何之辅助线的添加.docx
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中考数学几何之辅助线的添加
中考几何题之辅助线的添加精华讲述
辅助线的添加
【知识要点】
平面几何是中学数学的一个重要组成部分,证明是平面几何的重要内容。
许多初中生对几何证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策。
在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。
一、三角形中常见辅助线的添加
1.与角平分线有关的
ⅰ可向两边作垂线。
ⅱ可作平行线,构造等腰三角形
ⅲ在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形
2.与线段长度相关的
ⅰ截长:
证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
ⅱ补短:
证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
ⅲ
得到全等三角形。
ⅳ
3.与等腰等边三角形相关的
ⅰ考虑三线合一
ⅱ
60
二、四边形
.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.
1
它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.
ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形
ⅱ.利用两组对边平行构造平行四边形
ⅲ.利用对角线互相平分构造平行四边形
2、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.
ⅰ.作菱形的高;
ⅱ.连结菱形的对角线.
3、与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种:
ⅰ.计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;
ⅱ.证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.
4、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题
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较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.5、与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:
（1作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;
（2作梯形的高,构造矩形和直角三角形;
（3作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;
（4延长两腰构成三角形;
（5作两腰的平行线等.
三、圆
1.遇到弦时（解决有关弦的问题时
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径（或直径或再连结过弦的端点的半径。
作用:
①利用垂径定理;
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时
常常添加（画直径所对的圆周角。
作用:
利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:
利用圆周角的性质,可得到直径。
4.遇到弦时
作用:
①可得等腰三角形;
5.遇到有切线时
（1
作用:
利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。
（2常常添加连结圆上一点和切点
作用:
可构成弦切角,从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时
（1若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。
作用:
若OA=r,则l为切线。
（2若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心（即作半径作用:
只需证OA⊥l,则l为切线。
（3有遇到圆上或圆外一点作圆的切线
7.遇到两相交切线时（切线长
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用:
据切线长及其它性质,可得到:
①角、线段的等量关系;
②垂直关系;
③全等、相似三角形。
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8.遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。
作用:
利用内心的性质,可得:
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;
②内心到三角形三条边的距离相等。
9.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点
作用:
外心到三角形各顶点的距离相等。
10.遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。
作用:
①利用切线的性质;②利用解直角三角形的有关知识。
11.遇到两圆相交时
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。
作用:
①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;
②利用圆内接四边形的性质;
③利用两圆公共的圆周的性质;
④垂径定理。
12.遇到两圆相切时
常常作连心线、公切线。
作用:
①利用连心线性质;
②切线性质等。
13.遇到三个圆两两外切时
常常作每两个圆的连心线。
14常常添加辅助圆。
作用:
以便利用圆的性质。
【历年考卷形势分析及中考预测】
平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容,其题目的灵活性远远是代数题目所不能比拟的,从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题,出题范围极为广泛,难易程度差距较大,对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。
纵观近6年广州市的中考试题,分值分布大约在60分左右,其中简单的题目大约占43分,其余的17分较难,每年必有一道几何压轴题,分值14分,经常和实际问题,动点问题及函数问题结合,难度较大,应引起同学们的高度重视。
题目难主要难在辅助线的添加,尤其像特殊四边形及圆中的问题,从中考考纲来看,2011年广州市中考命题,同往年相比,变化不大,压轴题中可能会以三角形或四边形结合动点问题给出,或者以圆中相关知识为背景,结合动点,函数问题给出,区分度较大。
【考点精析】
考点1.三角形:
例1如图,AB=CD,E为BC中点,∠BAC=∠BCA,求证:
AD=2AE。
中考几何题之辅助线的添加精华讲述例2如图,AB>AC,∠1=∠2,求证:
AB-AC>BD-CD。
例3如图9—5,设O是正三角形ABC,∠BOC=125°。
求以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角。
例4如图所示,△ABC是边长为4的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB,AC于M,N两点,连结MN,求△AMN的周长.
【举一反三】
1、如图,AB=6,AC=8,D为BC的中点,求AD的取值范围。
C
B图9—5C
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D
2、如图,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求证:
∠A+∠C=180。
A
BDC
3.如图9—21,设O是正三角形ABC内一点,∠BOC=135°,求以线段OA、
OB、OC为边构成的三角形的各角。
图9—21
考点2.四边形:
例5如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形.求
证:
OE与AD互相平分.
例6如图3,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.
中考几何题之辅助线的添加精华讲述例7如图7,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长.
例8如图,在正方形ABCD中,BCE
∆是正三角形,求AED
∠的度数例9如图,AB∥CD,M、N分别为AD、BC中点,MN交AC、BD于G、H点。
求证:
GH=1
2
（CD-AB
B
D
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【举一反三】
1.如图2,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:
ED+FG=AC.
2.如图6,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.
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3.如图:
正方形ABCD,AE+CF=EF,求证:
︒=∠45EDF
4、如图③,已知梯形ABCD中,AD=1.5cm,BC=3.5cm,对角线AC⊥BD,且BD=3cm,AC=4cm,求梯形ABCD的面积。
考点3.圆:
例10（2010江苏泰州,18O的半径为1cm,弦AB、CD
1cm,
则试求弦AC、BD.
例11（2010年安徽芜湖市如图所示,在圆⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,试求BC的长为.
AE
B
F
CD
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例12.（2010山东临沂如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且PDAPBD∠=∠.
（1判断直线PD是否为O的切线,并说明理由;（2如果60BDE∠=
PD=PA的长。
例13.（2010江苏宿迁（本题满分10分如图,AB的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切⊙O于点D,连结E.
求证:
（1PD=PE;
（2PBPAPE⋅=2
.
【举一反三】1.（番禺一模
已知:
如图12,在RtABC△中,90C∠=
点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与ACAB,分别交于点DE,,且CBDA∠=∠.（1判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;（2若2ADBD==,求⊙O的面积.
P
A
E
O
D
A
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2.（天河一模如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。
（1求证:
AC=AE;（2求△ACD外接圆的半径。
3.（荔湾十校一模
如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且⊥AB于B.（1求证:
AD是⊙O的切线;
（2若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长.
综合
例14.（2010宁夏回族自治区在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.
（1判断四边形AEMF的形状,并给予证明.（2若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.
A
B
C
D
中考几何题之辅助线的添加精华讲述例15．（2010河北）观察思考河北）．滑道滑块某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2是它的示意图．其工作原理是：
滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径连杆的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．C图14-1解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是点Q与点O间的最大距离是分米；分米；AOE点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．
（2）如图14-3，小明同学说：
“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？
（3）①小丽同学发现：
“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．•BDHQlPOH（Q）图14-2lPO图14-3【举一反三】】11
中考几何题之辅助线的添加精华讲述1.（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：
△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；NAD②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；EM⑶当AM＋BM＋CM的最小值为3+1时，求正方形的边长.BC12
中考几何题之辅助线的添加精华讲述2．（广雅一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②,将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．
（1）图①中，若△COD翻折后点F落在OA边上，写出D、E点坐标，并且求出直线DE的解析式．
（2）设
（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想．（3）图②中，设E（10，b），求b的最小值．图①图②13
中考几何题之辅助线的添加精华讲述3、2010年福建省南安市）13分）（（如图1，Rt△ABC中，A=90，在∠AB=oAC，=42，BC另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；
（2）操作：
固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．①探究1：
在运动过程中，四边形CEF′F能否是菱形？
若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．②探究2：
设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为的函数关系式．y，y与x求AG（DB图1FC（EBGAG′FF′ED图2C14
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