周期问题含答案.docx
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周期问题含答案
简单的周期问题
一、填空题
1．某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 _________ ．
2．1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期 _________ ．
3．按如图摆法摆80个三角形，有 _________ 个白色的．
4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是 _________ 灯．
5．时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是 _________ 时．
6．把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在 _________ 列．
7．把分数
化成小数后，小数点第110位上的数字是 _________ ．
8．循环小数
与
．这两个循环小数在小数点后第 _________ 位，首次同时出现在该位中的数字都是7．
9．一串数：
1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．
（1）其中共有 _________ 个1， _________ 个9 _________ 个4；
（2）这些数字的总和是 _________ ．10．
所得积末位数是 _________ ．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：
1989286…
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？
13．n=
，那么n的末两位数字是多少？
14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 二 ．
考点：
日期和时间的推算。
1665141
分析：
因为某年二月份有五个星期日，又知4×7=28，所以这年二月份应为29天，而且可知2月1日和2月29日均为星期天．所以3月1日为星期一．到六月一日经过了3月、4月、5月，因为3月、5月又1天，4月有30天，所以共有31+30+31+1=93天，每个星期有七天，所以93÷7=13…2，所以6月1日是星期二．
解答：
解：
因为7×4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了
31+30+31+1=93（天）．
93÷7=13…2，所以这年6月1日是星期二．
答：
这年六月一日是星期二．
故答案为：
二．
点评：
本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年．
2．（3分）1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期 日 ．
考点：
日期和时间的推算。
1665141
分析：
先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几．
解答：
解：
这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365×10+2=3652（天）；
3652÷7=521（周）…5（天），
5+2=7，所以再过十年的12月5日是星期日．
故答案为：
日．
点评：
本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年．
3．（3分）按如图摆法摆80个三角形，有 39 个白色的．
考点：
简单周期现象中的规律。
1665141
分析：
从图中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，80÷6得出周期数和余数，一个周期有3个白色，加上余数的白色个数，即可得解．
解答：
解：
80÷6=13…2，
余数2全是黑色，所以，白色的三角形有：
13×3=39；
答：
有39个白色的．
故答案为：
39．
点评：
看出规律，找到周期，是解决这类题的关键．
4．（3分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是 白 灯．
考点：
简单周期现象中的规律。
1665141
分析：
每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73是多少个周期余数是几，排一下就知道了．
解答：
解：
73÷4=18…1，
所以是白灯；
答：
小明想第73盏灯是白灯．
故答案为：
白．
点评：
此题考查了简单周期现象中的规律．
5．（3分）时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是 13 时．
考点：
时间与钟面。
1665141
分析：
分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时；一天24小时，1991÷24=82（天）…23（小时），1991小时共82天又23小时；现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是13时．
解答：
解：
1991÷24=82天…23小时，1991小时共82天又23小时．
14+23﹣24=13小时，
答：
时针表示的时间是13时．
故答案为：
13．
点评：
考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面．钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面．
6．（3分）把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在 第三 列．
考点：
数表中的规律。
1665141
分析：
9个数一个循环，这9个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第三列、第二列；那么求出1992是多少个循环，得出余数，即可得解．
解答：
解：
1992÷9=221…3；
所以，1992在第三列．
故答案为：
第三．
点评：
此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论．
7．（3分）把分数
化成小数后，小数点第110位上的数字是 7 ．
考点：
简单周期现象中的规律；循环小数与分数。
1665141
分析：
先把
化成小数：
0.0.571428571428571428，是一个循环小数，它的循环周期是6，六个数字依次是：
5，7，1，4，2，8．
因为110÷6=18…2，所以第110位上的数是一周期的第二个数即7．
解答：
解：
因为
=0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是6，具体地六个数字依次是5，7，1，4，2，8；
110÷6=18…2，所以第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7．
故答案为：
7．
点评：
做这类题先把分数化为小数，（一般为循环小数），周初他的循环周期及循环的数列，求第几位上的数字，就用这个数字除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字．
8．（3分）循环小数
与
．这两个循环小数在小数点后第 35 位，首次同时出现在该位中的数字都是7．
考点：
循环小数及其分类；公约数与公倍数问题。
1665141
分析：
根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是7位数和5位数，求出5和7的最小公倍数即可．
解答：
解：
因为0.1992517的循环节是7位数，0.34567的循环节是5位数，又5和7的最小公倍数是35，所以两个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7．
故答案为：
35．
点评：
此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答．
9．（3分）一串数：
1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．
（1）其中共有 853 个1， 570 个9 568 个4；
（2）这些数字的总和是 8255 ．
考点：
数字串问题；数字和问题。
1665141
分析：
不难看出，这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，即周期为7，且每个周期中有3个1，2个9，2个4．因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9．其中1的个数是：
3×284+1=853（个），9的个数是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．这些数字的总和为1×853+9×570+4×568=8255．
解答：
解：
（1）这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，且每个周期中有3个1，2个9，2个4．因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9．其中1的个数是：
3×284+1=853（个），9的个数是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．
（2）这些数字的总和为：
1×853+9×570+4×568=8255．
故答案为：
853，570，568；8255．
点评：
在做题时应首先观察规律：
7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环．
10．（3分）
所得积末位数是 9 ．
考点：
乘积的个位数。
1665141
分析：
当7的个数是1时，末位是7；当7的个数是2时，末位是9；当7的个数是3时，末位是3；当7的个数是4时，末位是1；当7的个数是5时，末位又是7；由此发现积的末尾依次出现7、9、3、1；依此规律解答即可．
解答：
解：
先找出积的末位数的变化规律：
71末位数为7，72末位数为9，73末位数为3，74末位数1；75=74+1末位数为7，76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=74×2末位数为1；
由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1，以4为周期循环出现．
因为50÷4=12…2，即750=74×12+2，所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是9．
故答案为：
9
点评：
此题考查的目的是：
通过计算发现规律，依照规律解答这类问题．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：
1989286…
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
考点：
数字串问题。
1665141
分析：
依照题述规则多写几个数字：
198********86884…
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6．因为（1989﹣4）÷6=3305，正好除尽，286884所以所求数字是8．
解答：
解：
依照题述规则多写几个数字得到：
198********86884286884…
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6．因为（1989﹣4）÷6=3305，所以286884的第四个数字为8，所求数字是8．
点评：
此题属于数字串问题，解答此题的关键是要找出规律：
1989后面的数总是不断循环重复出现286884．
12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？
考点：
简单周期现象中的规律。
1665141
分析：
本题问的是两积相加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出两个积的末尾两位数即可．可知1991个1990相乘所得的积末尾两位是00；1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个1991相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10．因为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积的末两位数是01．即可得答案．
解答：
解：
因为1991个1990相乘所得的积末两位是0．
1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01，11个1991相乘积的末两位数字是91，可知每10个1991相乘的末两位数字重复出现，周期为10．因为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积的末两位数是01．
所以两个积相加的和末两位是01．
答：
再相加的和末两位是01．
点评：
做此题不能被庞大的数字所迷惑，要看清问的是什么．要求两积相加和的末两位数，只要知道每个积的末两位数，然后相加即可，不用算出两积的具体得数．1991个1990相乘所得的积的末尾两位数很显然是00，求1990个1991相乘所得的积的末尾两位数，要靠推算，找出其中的规律，通过计算可知末尾两位数是呈周期循环出现的．再根据循环现象求1990个1991相乘所得积的末尾两位数即可．
13．n=
，那么n的末两位数字是多少？
考点：
周期性问题。
1665141
分析：
此题可用列表法寻找规律．n是1991个2的连乘积，即n=21991．首先从2的较低次幂入手寻找规律，列表如下：
n
n的十位数字
n的个位数字
n
n的十位数字
n的个位数字
21
0
2
212
9
6
22
0
4
213
9
2
23
0
8
214
8
4
24
1
6
215
6
8
25
3
2
216
3
6
26
6
4
217
7
2
27
2
8
218
4
4
28
5
6
219
8
8
29
1
2
220
7
6
210
2
4
221
5
2
211
4
8
222
0
4
解答：
解：
n是1991个2的连乘积，可记为n=21991，首先从2的较低次幂入手寻找规律，见上表．观察上表，容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20．因为1991÷20=99…11，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8．所以，n的末两位数字是48．
答：
n的末两位数字是48．
点评：
此题属于周期性问题，考查学生探索规律的能力．
14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
考点：
染色问题；公约数与公倍数问题。
1665141
分析：
因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色．于是我们可以看作是从同一端点染色．
6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是30厘米，如图所示．
由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周期中，6﹣5=1，5×5﹣6×4=1．剩余10厘米中有一段．所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段．
解答：
解：
2×[（100﹣10）÷30]+1，
=2×3+1，
=7（段）．
答：
那么长度是1厘米的短木棍有7根．
点评：
解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易．
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