版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例91随机抽样学案文.docx
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版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例91随机抽样学案文
9．1 随机抽样
[知识梳理]
1．简单随机抽样
（1）定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
（2）最常用的简单随机抽样的方法：
抽签法和随机数表法．
2．系统抽样
（1）定义：
当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
（2）系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当
（n是样本容量）是整数时，取k＝
；当
不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x，取k＝
；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号1＋k，再加k得到第3个个体编号1＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
（1）定义：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
（2）应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
注：
三种抽样方法的比较
[诊断自测]
1．概念思辨
（1）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．（ ）
（2）系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．（ ）
（3）分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本，分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样．（ ）
（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
2．教材衍化
（1）（必修A3P64A组T3）某单位有职工140人，其中科技人员91人，行政干部28人，职员21人，为了了解职工的某种情况要从中抽取一个容量为20的样本．以下抽样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是（ ）
①将140人从1～140编号，然后制出有编号1～140的140个形状大小相同的号签；将号签放入同一个箱子时进行均匀搅拌，并从中抽取20个号签，编号与签号相同的20人选出．
②将140个人分成20组，每组7个人，并将每组7人按1～7编号，在第一组中采用抽签的方法抽出K号（1≤K≤7），则其余各组K号也被抽到，20个人被选出．
③按20∶140＝1∶7的比例，从科技人员中抽取13人，从行政人员中抽取4人，从职员中抽取3人，从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽出20人．
A．②①③B．②③①
C．①②③D．③②①
答案 C
解析 从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的操作步骤入手．故选C.
下列关于上述样本的结论正确的是（ ）
A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样
答案 D
解析 从抽得号码的编号入手，若为系统抽样，则抽样间隔应该相等，若可能为分层抽样，则一、二、三年级应按4∶3∶3的比例进行抽取，即1～108号抽取4人，109～189号抽取3人，190～270号应抽取3人．故选D.
3．小题热身
A．简单随机抽样B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样D．系统抽样
答案 C
解析 该地区不同学段学生视力情况有较大差异，不适合采用简单随机抽样和系统抽样，又男、女生视力差别不大，故不适合按性别分层抽样．故选C.
（2）（2018·长春模拟）将高一（9）班参加社会实践编号为：
1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．
答案 17
解析 根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.
题型1 简单随机抽样
下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
A．0B．1
C．2D．3
应用简单随机抽样的定义进行判断．
答案 A
解析 ①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样，故选A.
（2018·河北模拟）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0701
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08B．07
C．02D．01
随机数法．
答案 D
方法技巧
1．简单随机抽样的特点
（1）被抽取样本的总体中的个体数是有限的；
（2）是逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
2．抽签法与随机数法的适用情况
（1）抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．
（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（3）在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
冲关针对训练
利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为
，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 根据题意，
＝
，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为
＝
.故选C.
题型2 系统抽样
（2017·徐州模拟）从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（ ）
A．8B．10
C．12D．16
确定分段间隔，再利用间隔不变解题．
答案 B
解析 从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件，则可将这80件产品分成5组，每组16件，每组抽取1件，而编号为42的产品在第3组，所以第1组所抽取产品的编号为42－16×2＝10，故选B.
[条件探究1] 把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10，a,42，b,74号在样本中”，求a＋b.
解 由典例中解析易知编号构成首项为10，公差为16的等差数列，易求得a＝26，b＝58，故a＋b＝84.
[条件探究2] 把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”，则抽到的最小编号是多少？
解 利用等差数列前n项和公式S5＝5a1＋
·16＝185，得a1＝5.
方法技巧
系统抽样的注意点
1．系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
2．若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．
3．抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．
4．如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法．
冲关针对训练
（2018·广东肇庆模拟）一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是（ ）
A．63B．64
C．65D．66
答案 A
解析 由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而题型3 分层抽样
（2015·北京高考）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90B．100
C．180D．300
根据抽样比列方程．
答案 C
解析 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得
＝
，故x＝180.故选C.
（2018·西安摸底考试）某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（ ）
A．800B．1000
C．1200D．1500
答案 C
解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.所以
＝
.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的
.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的
，即为
×3600＝1200.故选C.
方法技巧
分层抽样问题类型及解题思路
1．求某层应抽个体数量：
按该层所占总体的比例计算．
2．已知某层个体数量，求总体容量或反之：
根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝
＝
”．
提醒：
分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·
（i＝1,2，…，k）个个体（其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量）．
冲关针对训练
A．200,20B．100,20
C．200,10D．100,10
答案 A
1.（2014·湖南高考）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1＝p2C．p1＝p3答案 D
解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.
号应该为（ ）
A．480B．481
C．482D．483
答案 C
解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25（n－1）≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.故选C.
3．（2017·大连调研）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调为（ ）
A．11B．12
C．13D．14
答案 B
解析 由系统抽样定义可知，所分组距为
＝20，每组抽取一个，因为包含整数个4．（2017·江苏高考）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
答案 18
解析 ∵
＝
＝
，
∴应从丙种型号的产品中抽取
×300＝18（件）．
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一、选择题
1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析 5000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A.
019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为（ ）
A．700B．669
C．695D．676
答案 C
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，分段间隔k＝
＝
＝20，故抽取的第35个编号为15＋（35－1）×20＝695.故选C.
3．某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1,2,3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是（ ）
A．13B．17
C．19D．23
答案 D
解析 因为第一组的编号为1,2,3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编4．从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产读数，则依次抽取的第4个个体的编号是（ ）
附：
随机数表第6行至第8行各数如下：
A．217B．245
C．421D．206
答案 D
解析 产品的编号为3位号码，故每次读数取3位，第一个三位数为217，依次取出符合5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7B．9
C．10D．15
答案 C
解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为
＝30，抽取的号码依次为差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．故选C.
6．（2018·朝阳质检）某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品共3000件，且它们的数量成等比数列，现用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中从乙、丁两类产品中抽取的总数为100件，则甲类产品有（ ）
A．100件B．200件
C．300件D．400件
答案 B
解析 设从甲、乙、丙、丁四类产品中分别抽取a1，a2，a3，a4件进行检测，由于四类产品的数量成等比数列且是分层抽样，所以a1，a2，a3，a4也成等比数列，设此等比数列的公比为q，由
即
解得
即从甲类产品中抽取10件，则甲类产品的数量为
＝200（件），故选B.
7．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（ ）
4954435482173793237887352096438426349164
5724550688770474476721763350258392120676
A．23B．09
C．02D．17
答案 C
解析 从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选C.
系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
答案 B
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N*）组抽中的号码是3＋12（k－1）．令3＋12（k－1）≤300，得k≤
，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得
9．某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
答案 D
解析 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．因为总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，由于按
抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为
＝
.若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×
＝6（人），中年人应抽取54×
＝12（人），青年人应抽取81×
＝18（人），从而组成容量为36的样本．故选D.
高一级
高二级
高三级
女生
373
y
x
男生
327
z
340
A．14B．15
C．16D．17
答案 B
解析 由已知高三女生数x＝2000×0.18＝360.
故高三年级总共有360＋340＝700（人）．
而高一年级共有373＋327＝700（人）．
所以高二年级共有2000－700－700＝600（人）．
设高二年级应抽取的学生数为n，则由分层抽样的特点知，
＝
，解得n＝15.故选B.
二、填空题
11．（2017·郑州期末）已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
答案 1211
解析 由系统抽样，抽样间隔k＝
＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，则a61＝11＋60×20＝1211，故第61组抽取号码为1211.
12．（2018·浙江五校模拟）某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是________份．
答案 60
解析 由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，则
＝
，∴a2＝200.又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，∴a4＝400.设在D单位抽取的问卷数为n，∴
＝
，解得n＝60.
13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.
14．（2017·临沂期末）某地区有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户．在普通家庭中以简单随机抽样的方式抽取990户，在高收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地区拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．
答案 5.7%
解析 99000户普通家庭中拥有3套或3套以上住房的约有99000×
＝5000（户），1000户高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的约有
×1000＝700（户），故该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例约为
×100%＝5.7%.
三、解答题
15．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.
解 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，
系统抽样的间隔为
，
分层抽样的比例是
，
抽取工程师人数为
×6＝
（人），
技术员人数为
×12＝
（人），
技工人数为
×18＝
（人），
当样本容量为（n＋1）时，总体容量是35，
系统抽样的间隔
，因为
必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n＝6.
16．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1200
共计
160
320
480
1040
2000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
（3）若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
解
（1）按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，
抽取比例为
＝
.
故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人．
（2）按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为
＝
，故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人．
（3）用系统抽样，对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从人组成一个样本．
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