新人教版数学七年级下册第五章51相交线 学案.docx

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新人教版数学七年级下册第五章51相交线学案

5.1.1相交线

主备：

审核：

授课时间：

____年____月____日

【学习目标】了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对顶角的性质：

对顶角相等，并能运用它解决一些问题。

【学习重点】邻补角、对顶角的概念，对顶角性质与应用。

【学法指导】把剪刀的构造看做是两条相交的直线，剪刀就构成了一个相交线的模型，从剪刀剪开布片过程中角的不断变化，两条相交线形成的角也在不断变化，但是这些角之间存在不变的数量关系和位置关系，这就引出了邻补角和对顶角。

【学习过程】

一、学前准备

1．热身填空：

（1）如果两个角的和是平角（或等于），那么说这两个角互为补角。

数学符号表示为：

若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β，简称互补；

反过来，若∠α与∠β互补，则∠α+∠β=。

我们得到：

α的补角是180°－α（α<180°）

（2）若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互为，α的余角是。

（3）如图1中的∠AOD与互为补角，∠1的余角是。

（4）余角与补角的性质：

同角或等角的余角；。

二、解读教材

探索一：

完成课本P2页的探究，填在课本上。

你能归纳出“邻补角”的定义吗？

。

“对顶角”的定义呢？

。

即时练习一：

1．如图2所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线。

（1）写出∠AOC的邻补角：

__________；

（2）写出∠COE的邻补角：

__；

（3）写出∠BOC的邻补角：

__________；

（4）写出∠BOD的对顶角：

_____。

2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（）

探索二：

任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？

如果相等，请说明理由。

请归纳“对顶角的性质”：

。

即时练习二：

1．如图，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______,∠3=_______,∠4=_______。

2．如图直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是______，∠COF的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______。

3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,则∠EOF=_____。

三、挖掘教材

1．如图3

（1）用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小?

。

（2）如果将图3转化成几何图形得到图4，那么∠1与∠2的位置有什么关系？

∠1与∠3呢？

______________________________________

（3）互为对顶角的两个角的特点：

①两个角有公共的顶点②一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。

（4）互为邻补角的两个角的特点：

①两个角有一个公共顶点②两个角有一条公共边（邻）③两个角在公共边两侧④两个角和为（补）。

2．难点透释

（1）对顶角和邻补角都是指两个角之间的关系，即互为对顶角、互为邻补角。

（2）对顶角相等，但相等的两个角却不一定是对顶角；邻补角是具有特殊位置关系且互补的两个角。

四、当堂反馈

1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为度。

2．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=60°，∠2=

∠4，求∠3、∠5的度数。

3．如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？

你的根据是什么？

4．探索规律：

（1）两条直线交于一点，有对对顶角；

（2）三条直线交于一点，有对对顶角；

（3）四条直线交于一点，有对对顶角；

（4）n条直线交于一点，有对对顶角。

五、学习反思

本节课你有哪些收获？

六、课后练习

（一）基础练习

1．如图1，直线AB、CD相交于点O，若∠1=28°，则∠2=_____。

2．如图2，O为直线AB上一点，过O作一射线OC使∠AOC=3∠BOC，则∠BOC=_____。

3．如图3，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC+∠BOD=90°，则∠BOC=_____。

（图1）（图2）（图3）

4．下列说法中，正确的是（）

A．有公共顶点的角是对顶角B．相等的角是对顶角

C．对顶角一定相等D．不是对顶角的角不相等

5．两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是（）。

A.1B.2C.3或2D.1或2或3

6．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，并且∠EOC=70°，求∠BOD的度数。

7．如图，直线a，b，c两两相交，∠4=120°，∠2=∠3，求∠1的度数。

（二）拓展探究

1．如图，AOE是一条直线，OB⊥AE，OC⊥OD，找出图中互补的角有多少对，分别是哪些？

2．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=30°，∠BOC是∠AOC的2倍多30°，求∠DOF的度数。

5.1.2垂线

主备：

周身道审核：

熊夕授课时间：

____年____月____日

【学习目标】1.了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质；

2.会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离。

【学习重点】垂线的意义、性质和画法，垂线段性质及其简单应用. 

【学法指导】用前节练习中相交线的模型作动态演示，当直线a，b所成的四个角中有任意一个角是90°，则这两条直线互相垂直。

垂直是它们相交的一种特殊情况。

两线段垂直、两射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直。

历经探索和实践得到垂线的两个性质及点到直线的距离。

在用文字语言叙述的基础上，给出垂直的符号语言和图形语言的表示，从不同角度认识体会垂直。

【学习过程】

一、学前准备

1．在学习对顶角知识的时候，我们认识了“两线四角”，及两条直线相交于一点，得到四个角，这四个角里面，有两对对顶角，它们分别对应相等；有_____对邻补角，每一对邻补角的和为_____°

如图，可以说成“直线AB与CD相交于点O”，

∵∠AOC+∠AOD=_____°，∠BOD+∠AOD=_____°。

∴∠AOC=∠BOD

∠AOD的对顶角是______。

2．我们如果把直线CD绕点O旋转，无论是按照顺时针方向转，还是按照逆时针方向转，∠BOD的大小都将发生变化。

当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足。

如图，用几何语言表示：

方式⑴∵∠AOC=90°，∴AB_____CD，垂足是_____。

方式⑵∵AB⊥CD于点O，∴∠AOC=______。

3．完成课本P5练习2（画在书上）。

二、解读教材

探索一：

请你认真画一画，看看有什么收获。

⑴如图1，利用三角尺或量角器画已知直线

的垂线，这样的垂线能画__________条；

⑵如图2，经过直线

上一点A画

的垂线，这样的垂线能画_____条；

⑶如图3，经过直线

外一点B画

的垂线，这样的垂线能画_____条；

（图1）（图2）（图3）

经过探索，我们可以发现：

在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．

即时练习一：

1．如图所示，OA⊥OB，OC是一条射线，若∠AOC=120°，求∠BOC度数。

2．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，

若∠1=26°，求∠2的度数。

3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点。

（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E。

（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点。

（3）比较线段PE，PF，PO三者的大小关系。

探索二：

仔细观察测量比较上题中点P分别到直线AB上三点E、F、O的距离，你还有什么收获？

请将你的收获记录下来：

_______________________________________________简单说成：

。

还有，直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离。

三、挖掘教材

1．难点透释垂直是两条直线相交的特例，画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线有且只有一条（垂足可能在所给图形的延长线上）；过直线外一点的斜线段有______条。

2．注意：

垂线是，垂线段是一条，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离。

即时练习二：

1．在下列语句中，正确的是（）．

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条

C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离

2．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是________，点A到BC的距离是_______，点C到AB的距离是_______，AC>CD的依据是_________。

四、当堂反馈

1．如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，

∠EOD与∠FOB的大小关系是（）

A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小

C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定

2．如图，AOB为直线，∠AOD：

∠DOB=3：

1，OD平分∠COB。

（1）求∠AOC的度数；

（2）判断AB与OC的位置关系。

五、学习反思

本节课你有哪些收获？

六、课后练习

（一）、基础练习

1．如图

（1），OA⊥OB，OD⊥OC，O为垂足，若∠AOC=35°，则∠BOD=________。

2．如图

（2），AO⊥BO，O为垂足,直线CD过点O，且∠BOD=2∠AOC，则∠BOD=________。

3．如图（3），AB、CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，则OE与AB的位置关系是_____。

4．下列说法正确的有（）

①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，过一点可以画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线。

A.1个B.2个C.3个D.4个

5．到直线L的距离等于2cm的点有（）

A.0个B.1个C.无数个D.无法确定

6．点P为直线m外一点，点A、B、C为直线m上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线m的距离为（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

7．已知钝角∠AOB,点D在射线OB上。

（1）画直线DE⊥OB；

（2）画直线DF⊥OA，垂足为F。

（二）、拓展探究

1．如图，已知∠AOB=165°，AO⊥OC，DO⊥OB，OE平分∠COD。

求∠COE的度数。

2．如图，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数。

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

主备：

周身道审核：

熊夕授课时间：

____年____月____日

【学习目标】1.理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们；

2.通过对三线八角的特点的分析，逐步培养自己抽象概括问题的能力。

【学习重点】三线八角的意义，以及如何在各种变式的图形中找出这三类角。

【学法指导】以两条直线相交构成四个角的知识为基础，进一步研究一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，不共顶点的角的位置关系。

同位角、内错角、同旁内角，这些角的名称很好地反应了它们的位置关系，掌握辨别这些角的关键是分清哪两条直线被哪一条直线所截，在截线的同旁，找同位角、同旁内角，在截线的不同旁，找内错角。

通过比较这些角的位置关系，结合图形多做辨认练习，掌握辨认这些角位置关系的要领。

【学习过程】

一、学前准备

1．在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，如图

直线AB和CD相交构成个角（小于平角的角）：

其中邻补角有对，

分别是；对顶角有对，

分别是。

如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？

2．认识三线八角：

如图，两条直线AB、CD都和第三条直线EF相交，我们称“直线AB、CD被直线EF所截”，其中直线EF称为“截线”，直线AB、CD称为

“被截线”。

并且形成：

∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8

共个角。

前四个角和后四个角这些共顶点的角都分别有对

邻补角和对对顶角。

不共顶点的角又有怎样的位置关系呢？

二、解读教材

探索：

如图，直线c分别与直线a、b相交（也可以说两条

直线a、b被第三条直线c所截），得到8个角，通常称为

“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？

观察填表：

不共顶点

位置1

位置2

结论

∠1和∠5

处于直线c的同侧

处于直线a、b的同一方

这样位置的一对角就称为同位角

∠2和∠8

处于直线c的（）

这样位置的一对角就称为（）

∠3和∠6

处于直线a、b的（）

这样位置的一对角就称为（）

∠1和∠5

这样位置的一对角就称为（）

∠4和∠8

处于直线c的两侧

处于直线a、b之间

这样位置的一对角就称为内错角

∠3和∠5

这样位置的一对角就称为（）

∠3和∠8

处于直线c的（）

处于直线a、b（）

这样位置的一对角就称为同旁内角

∠4和∠5

这样位置的一对角就称为（）

练习：

1．如图1所示，∠1与∠2是___角，∠2与∠4是_角，∠2与∠3是___角。

（图1）（图2）（图3）

2．如图2所示，∠1与∠2是____角，是直线______和直线_______被直线_______所截而形成的，

∠1与∠3是_____角，是直线________和直线______被直线________所截而形成的。

3．如图3所示，∠B的同旁内角有哪些？

三、挖掘教材

1．不共顶点的角

（1）同位角：

其中∠1与∠5都分别在被截线AB、CD的同旁（下方），

都在截线EF的同侧（右侧），即“位置相同”，形成“F”字形。

象具有这样位置关系的两个角称为同位角，即∠1与∠5是同位角。

还有其它同位角吗？

写出其它的同位角：

。

（2）内错角：

其中∠2与∠8在被截线AB、CD之间（内部），并且在截线EF的两旁（交错），即“内部交错”形成“Z”字形，象具有这样位置关系的两个角称为内错角，即∠2与∠8是内错角。

与也是内错角。

（3）同旁内角：

其中∠1与∠8在被截线AB、CD之间（内部），并且在截线EF的同旁，即“内部同旁”，形成“匚”字形，象具有这样位置关系的两个角称为同旁内角，即∠1与∠8是同旁内角。

同旁内角还有。

2．根据三线找角

（1）如图3，直线a和b被c所截，则同位角有，

内错角有，同旁内角有。

（2）我是法官：

判断下图中的∠1与∠2是不是同位角？

（是在括号里打“√”，不是在括号里打“×”）

（）（）（）（）（）（）（）

3．根据角找三线

如图4所示，回答下列问题：

∠1与∠BAD是角，它是直线和被所截成的。

∠1与哪些角是同旁内角？

找出截线和被截线。

分析：

我们不妨将图形进行如下分解：

（1）当BC是截线时，如图

（1），则∠1与是直线与被直线所截成的同旁内角；

（2）当AB是截线时，有两种情况：

a．如图

（2），∠1与是直线与被直线所截成的同旁内角；b．如图（3），∠1与是直线与被直线所截成的同旁内角。

综上所述：

∠1与∠ACB、∠BAC、∠BAE都是同旁内角。

归纳小结：

以上解法用了数学重要的思想方法——分类讨论方法

类似地，我还能指出图4中的∠C与是同旁内角。

并口述截线和被截线。

四、当堂反馈

1．如图5，∠ABC与是同位角；

∠ADB与是内错角；

∠ABD与是内错角；

∠ABC与是同旁内角；

∠ADC与是内错角。

2．如图6所示，下列说法错误的是：

（）

A.∠1与∠2是内错角B.∠1与∠4是同位角

C.∠2与∠4是内错角D.∠2与∠3是同旁内角

3．如图7，直线DE、BC被直线AB所截。

（1）∠1与∠2是角，∠1与∠3是角，

∠1与∠4是角。

（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？

∠1和∠3互补吗？

试一试说明理由。

4．如图8中∠A与是内错角；∠A与是同旁内角；

∠B与是内错角；∠B与是同旁内角。

能口述它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截成的吗？