图形在坐标中的平移.docx

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图形在坐标中的平移

图形在坐标中的平移（提高）

【学习目标】

1.能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.

2.运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.

【要点梳理】

要点一、点在用坐标中的平移

在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）．

要点诠释：

（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：

右加左减；

（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：

上加下减；

（3）在坐标系内，平移点的坐标规律：

沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变．

要点二、图形在坐标中的平移

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

要点诠释：

（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.

【典型例题】

类型一、点在用坐标中的平移

1．甲图向上平移2个单位得到乙图，乙图向左平移2个单位得到丙图，丙图向下平移2个单位得到丁图，那么丁图_______平移_______个单位可以得到甲图．

【思路点拨】根据平移的性质，画出图形，得到丁图与甲图的位置关系，即可求解．

【答案与解析】

解：

根据题意，丁图位于甲图左侧两个单位，因此，有丁图右平移2个单位可以得到甲图．

【总结升华】根据平移的性质作出草图来，由图形可以直接得答案．注意结合图形解题的思想．

举一反三：

【变式】将△ABC向右平移5个单位、向上平移6个单位后A点的坐标为（4，7），则平移前A点的坐标为_______.

【答案】（-1，1）.

解：

设平移前A点的坐标为（x，y）．

由题意，得x+5=4，y+6=7，

解得x=-1，y=1．

所以平移前A点的坐标为（-1，1）．

故答案为（-1，1）．

2.如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______．

【答案】（1,1）或（5，1）

【解析】

解：

直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3）

照此规律计算可知平移后的点的坐标是（1，1）或（5,1）．

故答案填：

（1，1）或（5,1）．

【总结升华】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．

平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

举一反三：

【变式】将点M向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到M′（-2，-3），则点M的坐标是_______．

【答案】（1，-1）．

类型二、图形在坐标中的平移

如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为　　．

【思路点拨】根据对应点A、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q的坐标即可．

【答案】（a+5，﹣2）．

【解析】解：

由图可知，A（﹣4，3），A′（1，﹣1），

所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，

∵P（a，2），

∴对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．

故答案为：

（a+5，﹣2）．

【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形得到变化规律是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（　　）

A.（4，3）B.（2，4）C.（3，1）D.（2，5）

【答案】D．

解：

由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），

即（2，5），故选：

D．

类型三、综合应用

4.在A市北300km处有B市，以A市为原点，东西方向的直线为x轴，南北方向的直线为y轴，并以50km为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C（10，6）处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km，问经几小时后，B市将受到台风影响?

并画出示意图．

【思路点拨】当台风中心移动到距B点200千米时，B市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．

【答案与解析】

解：

∵台风影响范围半径为200km，

∴当台风中心移动到点（4，6）时，B市将受到台风的影响．

所用的时间为：

50×（10-4）÷40=7.5（小时）．

所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．

（注：

图中的单位1表示50km）

【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．

举一反三：

【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A（3，3．5），B（－2，2），C（0，3．5），D（－3，2），E（－4，4）．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．

【答案】解：

如图，

在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.

【巩固练习】

一、选择题

1．将点P（3，-5）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为（　　）

A．（5，-1）B．（1，-9）C．（5，-9）D．（1，-1）

2．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（6，1）B．（0，1）C．（0，-3）D．（6，-3）

3.线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）

　A.（2，9）B.（5，3）C.（1，2）D.（﹣9，﹣4）

4.（山东日照）以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（　）．

A．（3，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，5）

5．如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A（-4，-3），B（0，-3），C（-2，1），将B点向右平移2个单位长度后，再向上平移4个单位长度，到达B1点．若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）．

A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定

6．如图所示，海上二救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后，发现该船位于点A（5，-4），并且正以缓慢的速度向北漂移，同时发现在点B（5，2）和C（-1，-4）处各有一艘救护船．如果救护船的速度相同，问救护中心应派哪处的救护船前去救护可以在最短时间内靠近遇难船只?

（）

A．派C处B．派B处C．派C或B处D．无法确定

二、填空题

7.将点A（1，6）先水平向左平移7个单位，在竖直向下平移5个单位后，与点B重合，则点B的坐标：

_______.

8．点P（5，-6）可以由点Q（-5，6）通过两次平移得到，即先向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度．

9．已知△ABC的三个顶点分别是A（4，3），B（2，﹣1），C（﹣2，1）．现平移△ABC使它的一个顶点与坐标原点重合，则平移后点A的坐标是　　．

10.在数轴上，用有序数对表示点的平移，若（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到的数为3，则（3，5）是将表示数_____的点向_____平移_____个单位长度，得到的数为______.

11．把一个图形进行如下平移：

向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则这个图形上各点的橫坐标都_____，纵坐标都_____．

12．（湖北黄石）初二三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位．用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m-i，n-j]，并称a+b为该生的位置数，若某生的位置数为10，则当m+n取最小时，mn的最大值为______．

三、解答题

13.如图，在平面直角坐标系xoy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．

①求出△ABC的面积．

②作出△ABC向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的图形△A2B2C2．

③作出△ABC以向右平移3个单位，再向下平移1个单位的图形△A3B3C3．

14．如图，若三角形ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标，试探究下列问题：

（1）三角形ABC经过怎样的位置变换能得到三角形A′B′C′；

（2）这两个三角形对应点的坐标有什么特点?

15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？

若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：

①

的值不变，②

的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】D；

【解析】点P（3，-5）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，点的移动规律是（x-2，y+4），照此规律计算可知得到的点的坐标为（1，-1）．

2.【答案】B．

【解析】∵四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，

∴点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，

∴由图可知，A′坐标为（0，1）．

3.【答案】C；

【解析】解：

平移中，对应点的对应坐标的差相等，设D的坐标为（x，y）；

根据题意：

有4﹣（﹣1）=x﹣（﹣4）；7﹣4=y﹣（﹣1），解可得：

x=1，y=2；

故D的坐标为（1，2）．

4.【答案】D；

【解析】根据点A、D求出AD的长度，再根据点B求出点C的横坐标，从而得到点C的坐标，再根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．

5.【答案】B；

【解析】解：

△ABC的面积为S1=

，

将B点平移后得到B1点的坐标是（2，1），此时△AB1C的面积为S2=

，

所以S1=S2．故选B．

6.【答案】B．

二.填空题

7.【答案】（-6，1）;

【解析】根据题意，点B的横坐标为：

1-7=-6；纵坐标为6-5=1；

∴点Q的坐标是（-6，1）．

8.【答案】右，10，下，12；

9.【答案】（0，0）或（2，4）或（6，2）．

【解析】解：

分三种情况进行讨论：

①顶点A与坐标原点重合，则平移后点A的坐标是（0，0）；

②顶点B与坐标原点重合，则横坐标减2，纵坐标加1，所以平移后点A的坐标为（2，4）；

③顶点C与坐标原点重合，则横坐标加2，纵坐标减1，所以平移后点A的坐标为（6，2）．

故答案为（0，0）或（2，4）或（6，2）．

10．【答案】3,左，5，-2；

【解析】由（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到的数为3，可得在数轴上，用有序数对表示点的平移的规律：

第一个数表示数轴上点的开始位置，第二个数表示在数轴上平移的方向和距离．

11.【答案】减2;加3;

12．【答案】36；

【解析】依题意，

，所以

，又1≤

≤6，1≤

≤6，，当m+n取最小值时，即i+j最小，而当

时，取到最小值2，可得m+n的最小值为12，所以当

时，

有最大值36．

三.解答题

13.【解析】

解：

①S△ABC=

×5×3=

；

②所画图形如下：

；

③所作图形如下：

14.【解析】

解：

（1）把三角形ABC沿x轴翻折，得到三角形A′B′C′．

（2）这两个三角形对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．

15.【解析】

解：

（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），

∴S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8；

（2）存在．

设点P到AB的距离为h，

S△PAB=

×AB×h=2h，

由S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，解得h=4，

∴P（0，4）或（0，﹣4）；

（3）结论①正确，

过P点作PE∥AB交OC与E点，

∵AB∥PE∥CD，

∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，

∴

=1．