七年级数学上册 第25章 知识总结华东师大版.docx

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七年级数学上册第25章知识总结华东师大版

第二章有理数

1．负数：

像-5,-2,-237,-3

.6这样的数，这是一种新数，叫做负数；正数：

过去学过的那些数（零除外）,如10,3,500,5.5等,叫做正数．注意：

0既不是正数,也不是负数．

2．正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数．整数和分数统称有理数．

．

3．数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

4．在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．

5．相反数：

只有正负号不同的两个数称互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等；规定：

0的相反数是0；我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的相反数；在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身．

6．绝对值：

数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记作|a|；一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数；任意有理数a，总有|a|≥0．

7．两个负数，绝对值大的反而小．

8．有理数的加法法则：

1）同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加；2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）互为相反数的两个数相加得0；4）一个数同0相加，仍得这个数.

注意

一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，应注意确定和的正负号与绝对值．

9．加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变．a+b=b+a．

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

（a+b）+c=a+（b+c）．

10．有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数．

11．有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0．

12．乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变．ab＝ba.

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变.

（ab）c＝a（bc）.

分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

a（b＋c）＝ab＋ac．

几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

13．倒数：

乘积是1的两个数互为倒数；除以一个数等于乘上这个数的倒数.

注意

：

0不能作除数.

有理数的除法法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．

14．求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫作底数，n叫做指数，an读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.

正数的任何次幂都是正数；

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

15．科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法．

16．有理数混合运算的运算顺序规定如下：

1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；

2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；

3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．

17．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．

18．小结

一、知识结构

二、概括

1．数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，学习本章要善于结合数轴理解有理数的有关概念（如相反、绝对值），会利用数轴比较两个有理数的大小.

2．在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，还要善于灵活运用运算律简化运算.

3．在实际运算中经常会遇到近似数，要注意按要求的精确度进行计算和保留结果.对较大的数用科学记数法表示既方便，又容易体现对有效数字的要求．

第三章整式的加减

1．代数式：

数和字母用运算符号连结所成的式子，称为代数式．

注意：

1）代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如6×b常写作6·b或6b；2）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如6b一般不写作b6；3）除法运算写成分数形式；4）数与字母相乘，带分数要化假分数；5）括号与括号相乘可省略括号．

2．列代数式：

把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式．

3．代数式的值：

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值．

4．单项式：

由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母也是单项式．

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

注意：

1）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；

2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．

5．多项式：

几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，项：

每个单项式叫做多项式的项．其中，不含字母的项，叫做常数项．一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数．

注意：

1）多项式的次数不是所有项的次数之和；

2）多项式的每一项都包括它前面的正负号．

6．单项式与多项式统称整式．

7．降幂排列：

按某一字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的降幂排列．

升幂排列：

按某一字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的升幂排列．

注意：

1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；

2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列．

8．同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

9．合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变．

10．去括号法则：

括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变正负号．

11．添括号法则：

所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变正负号．

12．整式加减的一般步骤是：

先去括号，再合并同类项．

一、知识结构

二、概括

1．整式中，只含一项的是单项式，否则是多项式．分母中含有字母的代数式不是整式，当然也不是单项式或多项式．

2．单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数．

3．单项式的系数包括它前面的符号，多项式中每一项的系数也包括它前面的符号．

4．去（添）括号时，要特别注意括号前面是“－”号的情形：

去括号时，括号里各项都改变符号；添括号时，括到括号里的各项都改变符号．

第四章图形的初步认识

1．1）柱体：

圆柱，棱柱（三棱柱，四棱柱，…）；2）锥体：

圆锥，棱锥（三棱锥，四棱锥，…）；3）球体．

多面体：

围成立体图形的面是平的面，像这样的立体图形，又称为多面体．

2．视图：

从三个不同的方向看一个物体，一般是从正面、上面和侧面，然后描绘三张所看到的图，即视图．

从正面看到的图形，称为正视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图（左视图，右视图）．

3．表面展开图：

多面体是由平面图

形围成的立体图形，沿着多面体的棱将它剪开，可以把多面体的表面变成一个平面图形．

4．圆是由曲线围成的封闭图形.多边形是由线段围成的封闭图形．

一个n边形至少可以分割成n-2个三角形．

5．射线：

线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线；

直线：

把线段向两方无限延伸所形成的图形就是直线．

表示方法：

点：

用一个大写字母表示；

线段：

用两个端点的大写字母表示；或用一个小写字母表示；

射线：

用端点和射线上任意一点的两个大写字母表示；或用一个小写字母表示；

直线：

用直线上任意两点的大写字母表示；或用一个小写字母表示．

公理1：

两点之间，直段最短．此时线段的长度，就是这两点间的距离．

公理2：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线．

6．线段的中点：

把一条险段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．

7．角：

由两条有公共端点的射线组成的图形．可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.

角的顶点：

射线的端点；角的始边：

起始位置的射线；角的终边：

终止位置的射线．

表示方法：

（1）用两边和顶点的三个大写字母表示（顶点字母在中间）；

（2）用顶点的大写字母表示；（3）用阿拉伯数字表示；（4）用小写的希腊字母表示．

8．平角：

绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线所成的角；

周角：

绕着端点旋转到终边和始边重合所成的角．

9．1周角=360°；1平角=180°；1°=60′；1′=60"．

10．角的平分线：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

11．互余：

两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余．

互补：

两个角的和等于一平角（180°），就说这两个角互为补角，简称互补．

同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等．

两直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4（如图1），我们把其中的∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角．对顶角相等．

12．互相垂直：

直线AB与直线CD相交，交点为O，当所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，他们的交点O叫做垂足．

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直

线与已知直线垂直．

若线段AB垂直于直线BC，垂足为B．线段AB叫做点A到直线BC的垂线段，它的长度就是点A到直线BC的距离．直线外一点与直线上各点连结而得到的所有线段中，垂线段最短．

13．同位角，内错角，同旁内角（见教材P164-165）．

14．平行线：

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．

在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：

相交或平行．

经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

15．平行线的判定方法：

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）内错角相等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行．

垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

16．平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）两直线平行，内错角相等；

（3）两直线平行，同旁内角互补．

知识框图

5.1相交线

1、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

∠1与∠2

有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

∠3与∠4

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。

∠3+∠4=180°

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O

⑵垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：

沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

记得时候应该结合图形进行记忆。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。

PO是垂线段。

PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

分析它们的联系与区别

⑴垂线与垂线段区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：

具有垂直于已知直线的共同特征。

（垂直的性质）

⑵两点间距离与点到直线的距离区别：

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

联系：

都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。

⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

5.2平行线

1、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线

与直线

互相平行，记作

∥

。

2、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵

∥

，

∥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴

∥

　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

5、三线八角

　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

　如图，直线

被直线

所截

　①∠1与∠5在截线

的同侧，同在被截直线

的上方，

叫做同位角（位置相同）

　②∠5与∠3在截线

的两旁（交错），在被截直线

之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

　③∠5与∠4在截线

的同侧，在被截直线

之间（内），叫做同旁内角。

　④三线八角也可以成模型中看出。

同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

6、如何判别三线八角

　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

　例如：

　如图，判断下列各对角的位置关系：

⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。

　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。

　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。

注意：

图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。

7、两直线平行的判定方法

方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同位角相等，两直线平行

方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

内错角相等，两直线平行

方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同旁内角互补，两直线平行

　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。

平行线的判定是写角相等，然后写平行。

注意：

⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。

上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：

①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。

②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

典型例题：

判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

　⑴不相交的两条直线必定平行线。

　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答：

⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。

“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。

　　　⑵正确

　　　⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。

因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。

典型例题：

如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

解答：

⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

　　　⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

　　　⑶由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行。

　　　　　　　　　5.3平行线的性质

1、平行线的性质：

　性质1：

两直线平行，同位角相等；

　性质2：

两直线平行，内错角相等；

　性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

2、两条平行线的距离

　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

　注意：

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

3、命题：

⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成

每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。

命题常写成“如果……，那么……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

　有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

注意：

命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

4、平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

　两直线平行　　　　　同位角相等；

　两直线平行　　　　　内错角相等；

　两直线平行　　　　　同旁内角互补。

其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。

典型例题：

已知∠1＝∠B，求证：

∠2＝∠C

　　证明：

∵∠1＝∠B（已知）

　　　　　∴DE∥BC（同位角相等，

　　　　　　　　　　两直线平行）

　　　　　∴∠2＝∠C（两直线平行

　　　　　　　　　　同位角相等）

注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。

典型例题：

如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

　　　　　求∠2、∠3的度数

解答：

∵DE∥BC（已知）

　　　∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）

　　　∵AB∥DF（已知）

　　　∴AB∥DF（已知）

　　　∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

　　　∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

5.4平移

1、平移变换

　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

　③连接各组对应点的线段平行且相等

2、平移的特征：

　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

典型例题：

如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：

⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿。

⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿。

　　⑺＿＿＿＿的对应角是∠F。

解答：

　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。

思维方式：

利用平移特征：

平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。