初三数学有关圆的经典例题.docx
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初三数学有关圆的经典例题
Xupeisen110初三数学
初三数学有关圆的经典例题
1.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，求∠BAC的度数。
分析：
根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。
解：
由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，
当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，
过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，
∵AB
3，AC
2，∴AD
3，AE
2
2
2
∵OA
1，∴cos∠OAD
AD
3，
OA
2
AE
2
cos∠OAE
2
OA
∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，
同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，
∴∠BAC=15°
点拨：
本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2.如图：
△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点，
（1）求证：
△ABC是直角三角形；
（2）求
AD
2
的值
BC
分
析
：
（1）由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结
OD交AB于F，
则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；
1
Xupeisen110初三数学
（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF
∽△DAE，可得AD2
DF·DE，而DF
1BC，DE
2R，故AD2
可求
2
BC
解：
（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E
∵D为AB的中点，∴AB⊥DE，AF
FB
又∵AD=DC
∴DF∥BC，DF
1BC
2
∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。
（2）解：
连结AE
∵DE是⊙O的直径∴∠DAE=90°
而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA
∴AD
DF，即AD2
DE·DF
DE
AD
1BC
∵DE
2R，DF
2
∴AD
2
AD
2
BC·R，故
R
BC
例3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）
A.AB2CDB.AB2CD
C.AB2CDD.AB与2CD的大小关系不确定
分析：
要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：
（1）把AB的一半作出来，然后比较1AB与CD的大小。
2
（2）把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。
解：
解法
（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，
2
Xupeisen110
初三数学
则AF
FB
1AB
1
2
AB
AEEB
2
1AB
∵AB
2CD，∴AE
CD
2
∵AF
FB，∴AF
FB
在△AFB
中，有AF+FB>AB
∴2AF
AB，∴AF
AB，∴AF
CD，∴2AF2CD
2
∴AB
2CD
∴选A。
解法
（二），如图，作弦
DE=CD，连结CE
则DECD1CE
2
在△CDE中，有CD+DE>CE
∴2CD>CE
∵AB=2CD，∴AB>CE
∴ABCE，∴AB2CD
∴选A。
例
4.
如图，四边形ABCD内接于半径为
2的⊙O，已知ABBC
1AD
，
4
1
求CD的长。
分析：
连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长
AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O
的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。
解：
延长AB、DC交于E点，连结BD
∵ABBC1AD1
4
∴ABBC，AD4，∴∠ADB∠EDB
3
Xupeisen110初三数学
∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径
∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD
∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD
∴△EBC∽△EDA，∴BC
CE
AD
AE
·
AE
BC（AB
BE）
11
1
BC
∴CE
AD
4
2
AD
∴CDDE
CE
4
1
7
22
例5.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB
于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？
（2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2DE·DF，为什么？
分析：
由题意容易想到作辅助线OC，
（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+
∠AFH就可以了。
（2）要使AD2
DE·DF，即使AD
DF，也就是使△DAF∽△DEA
DE
AD
解：
（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，
下面对满足条件PC=PF进行证明，
连结OC，则∠OCA=∠FAH，
∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，
∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。
4
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初三数学
（2）当点D是劣弧AC的中点时，AD2
DE·DF，理由如下：
连结AE，∵ADCD，∴∠DAF
∠DEA
又∵∠ADF∠EDA，
∴△DAF∽△DEA，∴AD
DF
DE
AD
即AD2=DE·DF
点拨：
本题是一道条件探索问题，第（
1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与
⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；
第
（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点
D的位置。
例6.
如图，四边形ABCD是矩形（AB
1BC），以BC为直径作半圆O，过点
2
D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：
BE=2：
1，求tan∠ADE的值。
分析：
要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以
得到。
ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，
进一步可求出AE：
AD。
解：
∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于点B和点C，
∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，
又∵AE：
EB=2：
1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，
在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，
∴AD23x
则tan∠ADE
AE2x3
AD23x3
点拨：
本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
例7.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，
（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；
5
Xupeisen110初三数学
（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？
证明你的结论。
分析：
（1）要证CO2⊥
AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到
AD是⊙O2的直径，连结公共弦
AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。
（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结
AC，直观上看，AC等于
CD，到底AC与CD是否相等呢？
考虑到O2在⊙O1上，连结
AO2、DO2、BO2，可得∠1=
∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。
解：
（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°
∴∠D+∠BAD=90°
又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD
（2）CO2所在直线与AD垂直，
证明：
连结O2A、O2B、O2D、AC
在△AO2C与△DO2C中
∵O2AO2B，∴AO2BO2，∴∠1∠2
∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB
∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，
∴△CAD为等腰三角形，
∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。
例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，
a
以为半径的圆相切于点O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面
2
积S。
（图中阴影部分）
6
Xupeisen110初三数学
分析：
阴影部分面积等于三角形面积减去
3个扇形面积。
解：
S△ABC
3a2，3S扇
3×
·（a）2
a2
4
6
2
8
∴S阴
3a2
a2
23
a2
4
8
8
此题可变式为如下图所示，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都
为a，求图中三个扇形（阴影部分）的面积之和。
2
分析：
因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，
因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为a2，
8
原题可在上一题基础上进一步变形：
⊙A1、⊙A2、⊙A3⋯⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3⋯An，求n个扇形的面积之和。
解题思路同上。
解：
（n2）
2
一、填空题（10×4=40分）
1.已知：
一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为
___________。
2.圆内接四边形ABCD中，如果∠A：
∠B：
∠C=2：
3：
4，那么∠D=___________度。
3.若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为
___________。
7
Xupeisen110初三数学
4.如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，ACBC
等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：
___________。
5.⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是
___________。
6.圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。
7.已知：
如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的
半径是___________。
8.若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，
PA=103，则PC的长为___________。
9．如图5，△ABC内接于⊙O，点P是AC上任意一点（不与A、C重
合），ABC55,则POC的取值范围是．
10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、
40°，则∠1的度数为.
（第9题图）
°
°
O
8
Xupeisen110初三数学
11．已知O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与O的位置关系
是．
12．如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等
分点，BOC46，则AED的度数为．
13．如图，Rt△ABC中ACB90，AC4，BC3．将
△ABC绕AC所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体
的侧面积
．（取3.14
，结果保留两个有效数字）
14．如图8，两个同心圆的半径分别为
2和1，AOB
120o，则阴影部分的面积为
f
A
B
A
120o
O
M
B
C
N
A
B
O
图8
第14题图
15．如图，AB是O的直径，AM为弦，MAB
30，过M点的
O的切线交AB延
长线于点N．若ON
12cm，则
O的半径为
cm
．
16．如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点
A，B，C在同一条
直线上，在Rt△ABC中，若∠C
90，BC
2，AB
4，则斜边AB旋转到AB所
扫过的扇形面积为
．
A
A
C
D
C
O
A
B
P
C
（15题图）
E
B
（第17题图）
17．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若PA
8cm，
C是AB上的一个动点（点C与A，B两点不重合），过点C作圆O的切线，分别交PA，PB
于点D，E，则△PED的周长是
．
9
Xupeisen110
初三数学
18、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系
是
.
19．如图8，在Rt△ABC中，C
90，AC
3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别
以BA，BC为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为
．
20．如图9，点A，B是
O上两点，AB10，点P是
O上的动点（P与A，B不重
合）连结AP，PB，过点O分别作OE
AP于点E，OF
PB于点F，则EF
．
A
A
O
B
C
E
B
F
图8
P
图9
三、解答题：
1.已知：
如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。
过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与
BD相交于F点。
（1）求证：
EF·BC=DE·AC；
（2）若AD=3，AC=1，AF3，求EF的长。
2.某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。
请在如图所示的圆中画出三种设计方案。
（只画示意图，不写作法）。
3.已知：
△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一
点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。
10
Xupeisen110初三数学
（1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：
PA·PB=PE·PF；
（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第
（1）题的结论还成立吗？
如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若AB
4
2，cos∠EBA
1，求⊙O的半径。
3
4．如图，△ABC是
O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），
设OAB
，
C
．
（1）当
35时，求
的度数；
（2）猜想
与之间的关
系，并给予证明．
5、（８分）已知：
如图，在△
ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O
A
与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
E
求证：
（1）△ABC是等边三角形；
（2）AE
1CE．
D
3
BC
O
6、已知：
如图，在Rt△ABC中，C
90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半
径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且
CBD
A．
C
（1）判断直线BD与
O的位置关系，并证明你的结论；
D
（2）若AD:
AO8:
5
，BC2，求BD的长．
A
E
B
O
7、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
（Ⅰ）求AOD的度数；（Ⅱ）若AO8cm，DO6cm，求OE的长．
11
Xupeisen110初三数学
8、已知Rt△ABC中，ACB
90，CACB，有一个圆心角为
45，半径的长等于CA
的扇形CEF绕点C旋转，且直线
CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：
MN2
AM2
BN2；
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2
AM2
BN2是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请
C说明理由．
C
E
AM
N
B
MA
N
B
E
F
F
图①
图②
9．如图，△ABC内接于
O，过点A的直线交
O于点P，交
BC的延长线于点
D，AB2
APAD．
（1）求证：
ABAC；
（2）如果ABC
60，
O的半径为1，且P为AC的中点，
求AD的长．
10．（本题满分
10分）已知：
如图，在半径为
4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的
中点，
的延长线交⊙
O
于点
，且
＞
．连结
，=15.
CM
E
EMMC
DEDE
（1）求证：
AMMBEMMC；
（2）求EM的长；
12
Xupeisen110初三数学
（3）求sin∠EOB的值.
11．（本题满分10分，第
（1）小题满分3分，第
（2）小题满分7分）
“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看
不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半
径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．
O
AC
DEH
图8
图7
（1）请你帮助小王在图8
中把图形补画完整；
（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中
i1:
0.75是坡面
CE的坡度），求r的值．
C
D
O
MEABN
第12题图
12．已知，如图，直线
MN
交
O于
，
B
两点，
AC
是直径，
AD
平分
CAM
交
O于
A
D，过D作DE
MN于E．
（1）求证：
DE是O的切线
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