北师大九上数学11你能证明它们吗 导学案.docx

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北师大九上数学11你能证明它们吗导学案

1.1你能证明它们吗

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、等腰三角形的性质定理及推论；

2、等腰三角形的判定定理及推论.

【重点难点】

1、等腰三角形的性质定理及推论；

2、等腰三角形的判定定理及推论.

3、反证法

知识概览图

新课导引

如下图所示，很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架．

【问题探究】上面叙述的人字形梁架是由哪些图形组成的呢?

它们有哪些性质?

教材精华

知识点1等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等（简述为等边对等角）．

用符号语言表示为：

如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

定理的证明：

取BC的中点D，连接AD．

∵

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．

定理的作用：

证明同一个三角形中的两个内角相等．

拓展等腰三角形还具有其他性质．

（1）等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．

（2）等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．

（3）等腰三角形的三边关系：

设腰长为a，底边长为b，则

＜a．

（4）等腰三角形的三角关系：

设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．

知识点2等腰三角形的性质定理的推论

推论1：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）．

（1）用符号语言表示为：

如图1－3所示，

①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC；

②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC；

③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC．

（2）推论1的证明．

①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（SAS）．

∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．

②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）．

∴∠1＝∠2，BD＝CD．

③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.

（3）推论1的作用：

证明角相等、线段相等或垂直.

推论2：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．

（1）用符号语言表示为：

如图1－4所示，

在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

（2）推论2的证明：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．

∴∠A＝∠B＝∠C．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

知识点3等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简述为等角对等边）．

用符号语言表示为：

如图1－6所示，在△ABC中，

∵∠B＝∠C，∴AB＝AC

判定定理的证明：

如图1－6所示．

过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC．

√判定定理的作用：

证明同一个三角形中的边相等．

拓展如图1－6所示，在△ABC中，

（1）如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；

（2）如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；

（3）如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．

知识点4等腰三角形的判定定理的推论

推论1．

（1）推论1的内容：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

（2）用符号语言表示为：

如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°（或∠B＝60°或∠C＝60°），∴AB＝AC＝BC．

（3）推论1的证明：

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝

＝60°

∴AB＝AC＝BC．

（或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．）

√推论2．

（1）推论2的内容：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

（2）用符号语言表示为：

如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．

（3）推论2的证明：

在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC（等角对等边）．

又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∴AB＝AC＝BC．

（4）推论1和推论2的作用：

证明一个三角形是等边三角形．

拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：

（1）根据等边三角形的定义，证明三条边相等；

（2）根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；

（3）根据推论2，证明三个角都相等．

√推论3．

（1）推论3的内容：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

（2）用符号语言表示为：

如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝

AB．

（3）推论3的作用：

证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．

知识点5反证法

先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．

拓展反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：

（1）假设命题不成立；

（2）从假设出发推导出矛盾；

（3）否定假设，从而肯定命题的结论．

规律方法小结

1．转化思想：

在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．

2．类比思想：

采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．

3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．

探究交流

想一想：

还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？

解析有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.

∵

∴△ABD≌△ACD（SAS）.

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）

课堂检测

基础知识应用题

1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝

AC，AE＝

AB．求证BD＝CE．

2、如图1－12所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证BD＝CE．

3、

如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，

求证△ABC是等腰三角形．

综合应用题

4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．

学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：

已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．

同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：

“其余两角是30°和120°．”王华同学说：

“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……

假如你也在课堂上，你的意见如何?

为什么?

探索创新题

5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17

（1）所示，此时h3＝0，可得结论：

h1+h2+h3＝h．

请直接应用上述信息解决下列问题：

点P在△ABC内，如图1－17

（2）所示．点P在△ABC外，如图1－17（3）所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?

若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?

请写出你的猜想，不需证明．

体验中考

1、已知等腰三角形ABC的周长为10．若设腰长为x，则x的取值范围是．

2、如图1－20所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠1．求证AC＝DF（要求：

写出证明过程中的重要依据）．

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、证法1：

∵AB＝AC，AD＝

AC，AE＝

AB（已知），

∴AD＝AE．

在△ABD和△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．

证法2：

∵AB＝AC（已知），

∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．

∵AD＝

AC，AE＝

AB，

∴CD＝

AC，BE＝

AB，

∴CD＝BE（等量代换）．

在△DBC和△ECB中，

∵

∴△DBC≌△ECB（SAS），

∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．

【解题策略】认真观察BD边和CE边所在的三角形，寻找三角形全等的条件．

2、

分析本题考查等腰三角形的性质定理及其推论的应用．要证明线段BD＝CE，可以证明△ABD≌△ACE．由已知AB＝AC，AD＝AE，所以只要证明∠BAD＝∠CAE即可，这可由“等边对等角”得出∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C来证明．本题还可以运用“三线合一”的性质作辅助线（高AF）来证明．

证法1：

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED（等边对等角），

∴∠ADE－∠B＝∠AED－∠C，

即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD＝CE．

证法2：

过A作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE．

∵AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC，AF⊥DE，

∴BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形“三线合一”）．

∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE．

规律·方法作等腰三角形底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线），从而运用等腰三角形“三线合一”的性质进行解答，这是引辅助线的常见方法，在学习过程中要注意积累，并灵活运用．

3、分析本题考查等腰三角形的判定定理的应用．要证明△ABC是等腰三角形，需证明∠B＝∠C，这可利用已知条件得出．

证明：

∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C．

又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C．

∴△ABC是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形）．

【解题策略】判定等腰三角形的方法有：

（1）根据定义“有两边相等的三角形是等腰三角形”．

（2）运用等腰三角形的判定定理“等角对等边”．

4、分析本题考查等腰三角形的性质的应用，题中的三角形是等腰三角形，所以它的两个底角相等．由于∠A＝30°＜90°，所以∠A可能是顶角，也可能是底角，故需分类讨论另两个角的度数．解答时要考虑全面，不要遗漏或忽略任何一种情况.

解：

上述两名同学回答的都不全面，应该是：

其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：

①当∠A是顶角时，设底角为α，则30°+α+α＝180°，解得α＝75°.

∴其余两角分别是75°和75°．

②当∠A是底角时，设顶角是β，

则30°+30°+β＝180°，解得β＝120°．

∴其余两角分别是30°和120°．

综上，其余两角为75°和75°或30°和120°．

规律·方法在解答有关等腰三角形的问题时．要注意分类讨论思想的应用.

5、分析对于图

（2）结论仍然成立，对于图（3）结论不成立，此时h1+h2－h3＝h.

解：

当点P在△ABC内时，结论仍成立，证明如下：

过点P作NQ∥BC，分别交AB，AC，AM于N，Q，K，

由题意得h1+h2＝AK，

易证KM＝PF＝h3．

∴h1+h2+h3＝AK+KM＝h.

当点P在△ABC外时，结论不成立，它们的关系应是h1+h2－h3＝h．

体验中考

1、分析底边长为10－2x，显然10－2x＞0，∴x＜5．∵三角形两边之和大于第三边，∴x+x＞10－2x，∴x＞

．故

＜x＜5．

2、分析由SAS可知△ABC≌△DEF，则AC＝DF．

证明：

∵BE＝CF，

∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF．

在△ABC和△DEF中，∵

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF（全等三角形的对应边相等）