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材料力学基本知识

复习要点

1.材料力学的任务

材料力学的主要任务就是在满足刚度、强度和稳定性的基础上，以最经济的代价，为构件确定合理的截面形状和尺寸，选择合适的材料，为合理设计构件提供必要的理论基础和计算方法。

2.变形固体及其基本假设

连续性假设：

认为组成物体的物质密实地充满物体所在的空间，毫无空隙。

均匀性假设：

认为物体内各处的力学性能完全相同。

各向同性假设：

认为组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。

小变形假设：

认为构件在荷载作用下的变形与构件原始尺寸相比非常小。

3.外力与内力的概念

外力：

施加在结构上的外部荷载及支座反力。

内力：

在外力作用下，构件内部各质点间相互作用力的改变量，即附加相互作用力。

内力成对出现，等值、反向，分别作用在构件的两部分上。

4.应力、正应力与切应力

应力：

截面上任一点内力的集度。

正应力：

垂直于截面的应力分量。

切应力：

和截面相切的应力分量。

5.截面法

分二留一，内力代替。

可概括为四个字：

截、弃、代、平。

即：

欲求某点处内力，假想用截面把构件截开为两部分，保留其中一部分，舍弃另一部分，用内力代替弃去部分对保留部分的作用力，并进行受力平衡分析，求出内力。

6.变形与线应变切应变

变形：

变形固体形状的改变。

线应变：

单位长度的伸缩量。

练习题

1.单选题

1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。

下列除（）项，其他各项是必须满足的条件。

A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件

2、各向同性假设认为，材料内部各点的（）是相同的。

A.力学性质B.外力C.变形D.位移

3、根据小变形条件，可以认为（）

A.构件不变形B.结构不变形

C.构件仅发生弹性变形D.构件变形远小于其原始尺寸

4、构件的强度、刚度和稳定性（）

A.只与材料的力学性质有关B.只与构件的形状尺寸有关

C.与二者都有关D.与二者都无关

5、在下列各工程材料中，（）不可应用各向同性假设。

6、A.铸铁B.玻璃C.松木D.铸铜物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复原来形状和尺寸的性质称为（）

A．弹性B．塑性C．刚性D．稳定性

7、结构的超静定次数等于（）。

A．未知力的数目B．未知力数目与独立平衡方程数目的差数

C．支座反力的数目D．支座反力数目与独立平衡方程数目的差数

2.填空题

1.变形固体的变形可分为____________和_______________。

2.构件安全工作的基本要求是：

构件必须具有__________、__________和足够的稳定性。

（同：

材料在使用过程中提出三方面的性能要求，即__________、__________、__________。

）

3.材料力学中杆件变形的基本形式有__________、__________、__________和__________。

4.材料力学中，对变形固体做了__________、__________、__________、__________四个基本假设。

第6章轴向拉压、剪切

复习要点

1.轴向拉压

作用在杆件上的外力的合力作用线与杆件的轴线重合，使杆件产生沿轴向的伸长或缩短。

2.轴向拉压杆的内力

轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号FN表示，且规定轴力的方向拉伸为正，压缩为负。

求轴力采用截面法。

用横坐标x表示横截面的位置，用纵坐标FN表示相应截面上的轴力，称这种图为轴力图。

3.轴向拉压横截面上的应力

（1）横截面上的应力

对于均质杆，在承受拉压时，根据“平截面”假设，内力在横截面上均匀分布，面上各点正应力相同，即

（2）斜截面上的应力

斜截面上既有正应力也有切应力，即

式中

为从横截面外法线转到斜截面外法线的夹角。

当

；当

4.材料力学性质

材料力学性质，是指材料在外力作用下表现出的变形与破坏的特征。

在常温静载条件下低碳钢拉伸时，以

为纵坐标，以

为横坐标，可以得到应力应变曲线，如图6.1所示。

图6.1

从图中可以看出，有明显的四个阶段：

弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。

有四个极限应力：

比例极限

，弹性极限

，屈服极限

，强度极限

。

其中屈服极限

表示材料出现塑性变形，强度极限

表示材料失去承载能力，故

和

是衡量材料强度的两个重要指标。

在弹性范围内应力和应变是成正比的，即

。

式中，E为材料的弹性模量，该式称为胡克定律。

试件拉断后可测出两个塑性指标：

延伸率：

；断面收缩率：

此外，对于某些没有屈服阶段的塑性材料来讲，可将产生0.2%塑性变形时的应力作为屈服指标，用

表示。

材料压缩时，塑性材料压缩时的力学性能与拉伸时的基本无异，脆性材料则有较大差别。

5.轴向拉压杆的强度计算

（1）失效：

把断裂和出现塑性变形称为失效。

受压杆件被压溃、压扁也是失效。

（2）安全系数与许用应力

对于塑性材料

，脆性材料

式中，

为安全系数，其值大于1。

为许用应力。

（3）强度条件

6.轴向拉压杆的变形计算

轴向拉压杆的变形利用胡克定律求得：

EA称为材料的抗拉压刚度。

7.剪切实用计算

剪切的特点：

作用与构件某一截面两侧的力，等值、反向、作用线相互平行且距离非常近。

剪切强度条件：

。

式中，Fs为剪力，

为许用剪应力。

8.挤压实用计算

挤压强度条件：

练习题

3.单选题

1、内力和应力的关系是（）

A．内力大于应力B．内力等于应力的代数和

C．内力是矢量，应力是标量D．应力是分布内力的集度

2、用截面法求一水平杆某截面的内力时，是对（）建立平衡方程求解的。

A．该截面左段B．该截面右段

C．该截面左段或右段D．整个杆

3、图示拉（压）杆1—1截面的轴力为（）。

A．N=6PB．N=2PC．N=3PD．N=P

4、轴向拉伸杆，正应力最大的截面和切应力最大的截面（）

A.分别是横截面、45°斜截面B.都是横截面

C.分别是45°斜截面、横截面D.都是45°斜截面

5、轴向拉压杆，在与其轴线平行的纵向截面上（）

A.正应力为零，切应力不为零B.正应力不为零，切应力为零

C.正应力和切应力均不为零D.正应力和切应力均为零

6、进入屈服阶段后，材料发生（）变形

A.弹性B.线弹性C.塑性D.弹塑性

7、设一阶梯形杆的轴力沿杆轴是变化的，则发生破坏的截面上（）

A.外力一定最大，且面积一定最小B.轴力一定最大，且面积一定最小

C.轴力不一定最大，但面积一定最小D.轴力与面积之比一定最大

8、一个结构中有三根拉压杆，设由着三根杆的强度条件确定的结构许用荷载分别为

，且

，则该结构的实际许可荷载

为（）

A.

B.

C.

D.

9、在连接件上，剪切面和挤压面分别（）于外力方向

A.垂直、平行B.平行、垂直C.平行D.垂直

10、在连接件剪切强度的实用计算中，剪切许用应力是由（）得到的

A.精确计算B.拉伸试验C.剪切试验D.扭转试验

4.填空题

1.胡克定律的两种表达式为

和

。

E称为材料的。

它是衡量材料抵抗能力的一个指标。

E的单位为GPa，1GPa=_Pa。

2.衡量材料强度的两个重要指标是和。

3.通常工程材料丧失工作能力的情况是：

塑性材料发生现象，脆性材料发生现象。

4.挤压面为平面时，计算挤压面积按计算；挤压面为半圆柱面的按计算。

5.轴向拉伸杆，正应力最大的截面是，切应力最大的截面是。

6.进入屈服阶段后，材料发生变形。

7.泊松比是和的比值的绝对值，它是材料的弹性常数，无量纲。

5.判断题

1、正应力是指垂直于杆件横截面的应力。

正应力又可分为正值正应力和负值正应力。

（）

2、构件的工作应力可以和其极限应力相等。

（）

3、设计构件时，须在满足安全工作的前提下尽量节省材料的要求。

（）

4、挤压面的计算面积一定是实际挤压的面积。

（）

5、剪切和挤压总是同时产生，所以剪切面和挤压面是同一个面。

（）

6、低碳钢和铸铁试件在拉断前都有“颈缩”现象。

（）

7、在轴向拉、压杆中，轴力最大的截面一定是危险截面。

（）

8、轴向拉压作用下，杆件破坏一定发生在横截面上。

（）

9、铸铁是塑性材料，故它在拉伸时会出现颈缩现象。

（）

10、混凝土是脆性材料，故其抗压强度大于抗拉强度。

（）

第7章圆轴扭转

复习要点

1.扭转变形

在杆件两端作用等值、反向且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，使杆件的任意两截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形叫~。

2.外力偶矩的计算公式及扭矩

外力偶

扭矩T：

截面法求解，任一截面上的扭矩等于该截面任一侧外力偶矩的代数和。

扭矩符号规定：

按右手螺旋法则，矢量方向与横截面外法线方向一致时扭矩为正。

3.纯剪切

（1）薄壁圆筒扭转时的切应力

，其中

为壁厚且

（2）切应力互等定理

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

（3）切应变、剪切胡克定律

，其中

4.圆轴扭转时的应力及强度条件

，其中

称为抗扭截面模量。

等截面直杆圆轴扭转强度条件：

5.圆轴扭转时的变形及刚度条件

相对扭转角

：

两个截面间绕轴线的相对转角，计算公式：

单位长度扭转角：

；圆轴扭转刚度条件：

练习题

6.单选题

1、材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力之间和扭转角之间的关系为（）

A.

B.

C.

D.

2、电动机传动轴横截面上扭矩与传动轴的（）成正比

A.传递功率PB.转数nC.直径DD.剪切弹性模量G

3、圆轴横截面上某点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于过该点的半径。

这一结论是根据（）推知的。

A.物理关系B.变形几何关系和物理关系

C.变形几何关系D.变形几何关系、物理关系和平衡关系

4、一根空心轴的内、外径分别为d、D。

当D=2d时，其抗扭截面模量为（）

A.

B.

C.

D.

5、设直径为d、D的两个实心圆截面，其惯性矩分别为Ip（d）和Ip（D）、抗扭截面模量分别为Wt（d）和Wt（D）。

则内、外径分别为d、D的空心圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wt分别为（）

A.

B.

C.

D.

6、当实心圆轴的直径增加一倍时，其抗扭强度、抗扭刚度分别增加到原来的（）。

A.8和16B.16和8C.8和8D.16和16

7.填空题

1.扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了，并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有。

因半径长度不变，故切应力方向必与半径由于相邻截面的间距不变，即圆轴没有发生，所以横截面上无。

2.若长为L，直径为d的受扭圆轴两端截面间的扭转角是φ，材料的剪切模量为G，则圆轴的最大切应力是__________。

8.判断题

1、外径相同的空心圆轴和实心圆轴相比，空心圆轴的承载能力要大些。

（）

2、圆轴扭转危险截面一定是扭矩和横截面积均达到最大值的截面。

（）

3、圆轴扭转角φ的大小仅由轴内扭矩大小决定。

（）

4、圆环形截面轴的抗扭截面系数WT=πD3（1－α3）／16，式中α=d／D，d为圆轴内径，D为圆轴外径。

（）

附录I平面图形的几何性质

复习要点

1.静矩和形心

✓静矩：

面积与它到轴的距离之积，图形对x轴、y轴的静矩分别为：

，

。

✓力学意义：

构件截面上作用有分布荷载，荷载对某个轴的合力矩，等于分布荷载乘以该轴的面积距。

✓影响因素：

（1）图形的大小和形状；

（2）坐标轴位置。

✓同一截面对不同坐标轴的静矩不同，静矩可能为正值、负值，也可能为零。

✓形心：

图形几何形状的中心，计算公式：

，

✓【静矩与形心的关系】

（1）截面对形心轴的静矩为零；

（2）若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴；

（3）平面图形具有两根或两根以上对称轴则形心C必在对称轴的交点上。

✓组合截面的静矩与形心：

由若干简单图形（如矩形、圆形或三角形等）组合而成，称为组合截面图形。

组合截面的静矩：

，

组合截面的形心：

，

2.惯性矩和惯性积

✓惯性矩

面积与它到轴的距离的平方之积，图形对x轴、y轴的惯性矩分别为：

惯性矩恒为正。

✓惯性积

面积与其到两轴的距离之积，图形对xy轴的惯性积为：

惯性积可能为正值、负值，也可能为零。

如果x或y是对称轴，则Ixy=0

✓几个重要概念：

主惯性轴：

截面对一对坐标轴的惯性积等于零，则这对坐标轴称为主惯性轴，简称主轴。

主惯性矩：

截面对主惯性轴的惯性矩。

形心主轴：

当主惯性轴通过截面图形的形心时的主轴。

形心主矩：

截面对于形心主惯性轴的惯性矩。

3.极惯性矩

面积对极点的二次矩，图形对极点O的惯性矩为：

重要性质：

截面图形对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和等于它对该两轴交点的极惯性矩。

而过平面内一点可以作无数对正交坐标轴，因此截面图形对通过一点任意一对正交坐标轴的惯性矩之和恒为常量。

✓几个重要的性质

（1）、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩是对点定义的。

（2）、惯性矩和极惯性矩永远为正，静矩、惯性积可能为正、为负、为零。

（3）、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。

（4）、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积：

，

，

，

4.平行移轴公式

对组合截面图形可以通过求各简单图形对轴的惯性矩、惯性积，然后进行利用平行移轴公式，即可求得复杂截面图形的惯性矩、惯性积。

平行移轴公式为：

，

，

练习题

1、在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。

A.图形的对称轴必定过形心B.图形两个对称轴的交点必为形心

C.图形对对称轴的静矩为零D.使静矩为零的轴为对称轴

2、在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零

A.静矩和惯性矩B.极惯性矩和惯性矩

C.惯性矩和惯性积D.静矩和惯性积

3、设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I，则当其长宽比保持不变，而面积增加一倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为（）

A.2IB.4IC.8ID.16I

4、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（）

A.静矩为零，惯性矩不为零B.静矩不为零，惯性矩为零

C.静矩和惯性矩均为零D.静矩和惯性矩均不为零

5、若截面有一个对称轴，则下列说法中错误的是（）

A.截面对对称轴的静矩为零

B.对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等

C.截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零

D.截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决于坐标原点是否位于截面形心）

6、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（B）

A.形心轴B.主惯性轴C.形心主惯性轴D.对称轴

7、

I

II

xC

图示任意形状截面，其一个形心轴xc将截面分成I和II两部分，则下列哪式一定成立（）？

A.

B.

C.

D.

8、C是下面各截面图形的形心，图形对坐标轴的惯性积不为零的是（）

A.B.C.D.

9、已知图形面积为A的图形对x轴的惯性矩为Ix，形心在C处，xc、x和x1三轴相互平行，下列可求得图形对x1轴惯性矩的公式为（）

A.

B.

C.

D.

10、有下述两个结论：

（1）对称轴一定是形心主惯性轴；

（2）形心主惯性轴一定是对称轴。

其中（）

A.

（1）是正确的，

（2）是错误的B.

（1）是错误的，

（2）是正确的

C.

（1）

（2）都是正确的D.

（1）

（2）都是是错误的

第8章弯曲变形

复习要点

【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。

剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。

【公式】

1.弯曲正应力

变形几何关系：

物理关系：

静力关系：

，

，

中性层曲率：

弯曲正应力应力：

，

，

弯曲变形的正应力强度条件：

2.弯曲切应力

矩形截面梁弯曲切应力：

，

工字形梁弯曲切应力：

，

圆形截面梁弯曲切应力：

，

弯曲切应力强度条件：

3.梁的弯曲变形

梁的挠曲线近似微分方程：

梁的转角方程：

梁的挠度方程：

练习题

一、单选题

1.建立平面弯曲正应力公式

需要考虑的关系有（）。

A.平衡关系,物理关系，变形几何关系

B.变形几何关系，物理关系，静力关系；

C.变形几何关系，平衡关系，静力关系

D.平衡关系,物理关系，静力关系；

2.利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。

A、平衡条件B、边界条件C、连续性条件D、光滑性条件

3.在图1悬臂梁的AC段上，各个截面上的（）。

A．剪力相同，弯矩不同B．剪力不同，弯矩相同

C．剪力和弯矩均相同D．剪力和弯矩均不同

图1图2

4.图2悬臂梁受力，其中（）。

A.AB段是纯弯曲，BC段是横力弯曲

B.AB段是横力弯曲，BC段是纯弯曲

C.全梁均是纯弯曲

D.全梁均为横力弯曲

5.对于相同的横截面面积，同一梁采用下列截面，强度最高的是（）

A．圆形B.矩形C.方形D.工字型

6.矩形截面梁受弯曲变形，如果梁横截面的高度增加一倍时，则梁内的最大正应力为原来的多少倍？

（）

A.正应力为1/2倍B.正应力为1/4倍C.正应力为4倍D.无法确定

7.在弯曲和扭转变形中，外力矩的矢量方向分别与杆的轴线（）

A.垂直、平行B.垂直C.平行、垂直D.平行

8.平面弯曲变形的特征是（）

A.弯曲时横截面仍保持为平面

B.弯曲荷载均作用在同一平面内

C.弯曲变形后的轴线是一条平面曲线

D.弯曲变形的轴线与荷载作用面同在一个平面内

9.在下列四种情况中，（）称为纯弯曲

A.荷载作用在梁的纵向对称面内

B.荷载仅有集中力偶，无集中力和分布荷载

C.梁只发生弯曲，不发生扭转和拉压变形

D.梁的各个截面上均无剪力，且弯矩为常量

10.梁横力弯曲时，其截面上（）

A.只有正应力，无切应力B.只有切应力，无正应力

C.既有正应力，又有切应力D.既无正应力，也无切应力

11.中性轴是梁的（）的交线

A.纵向对称面与横截面B.纵向对称面与中性面

C.横截面与中性层D.横截面与顶面或底面

12.梁发生平面弯曲时，其横截面绕（）旋转

A.梁的轴线B.截面的中性轴

C.截面的对称轴D.截面的上（或下）边缘

13.几何形状完全相同的两根梁，一根为铝材，一根为钢材，若两根梁受力状态也相同，则它们的（）

A.弯曲应力相同，轴线曲率不同B.弯曲应力不同，轴线曲率相同

C.弯曲应力和轴线曲率均相同D.弯曲应力和轴线曲率均不同

14.等直实体梁发生平面弯曲变形的充分必要条件是（）

A.梁有纵向对称面B.荷载均作用在同一纵向对称面内

C.荷载作用在同一平面内D.荷载均作用在形心主惯性平面内

15.矩形截面梁，若截面高度和宽度都增加一倍，则其强度将提高到原来的（）

A.2B.4C.8D.16

16.设计钢梁时，宜采用中性轴为（）的截面

A.对称轴B.靠近受拉边的非对称轴

C.靠近受压力的非对称轴D.任意轴

17.梁的挠度是（）

A.横截面上任一点沿梁轴垂直方向的线位移

B.横截面形心沿梁轴垂直方向的线位移

C.横截面形心沿梁轴方向的线位移

D.横截面形心的线位移

18.在下列关于梁转角的说法中，错误的是（）

A.转角是横截面绕中性轴转过的角位移

B.转角是变形前后同一横截面间的夹角

C.转角是横截面之切线与轴向坐标轴间的夹角

D.转角是横截面绕梁轴线转过的角度

19.梁挠曲线近似微分方程

在（）条件下成立。

A.梁的变形属小变形B.材料服从胡克定律

C.挠曲线在xoy面内D.同时满足前三项

20.应用叠加原理求位移时应满足的条件是（）

A.线弹性小变形B.静定结构或构件

C.平面弯曲变形D.等截面直梁

二、填空题

1.吊车起吊重物时，钢丝绳的变形是__________；汽车行驶时，传动轴的变形是__________；教室中大梁的变形是__________。

2.内力是外力作用引起的，不同的外力引起不同的内力，轴向拉、压变形时的内力称为__________；剪切变形时的内力称为__________；扭转变形时的内力称为__________；纯弯曲变形时的内力称为__________。

3.受横力弯曲的梁横截面上的正应力沿截面高度按规律变化，在处最大。

4.对于，纯弯曲梁的正应力计算公式可以应用于横力弯曲梁。

5.工字形截面梁的切应力求解公式

中，d为工字形截面的。

三、判断题

1.平面弯曲的梁，横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的上、下边缘点上。

（）

2.平面弯曲的梁，位于横截面中性轴的点，其弯曲正应力σ=0。

（）

3.梁截面的最大正应力和最大剪应力都发生在中性轴上。

（）

4.梁的抗弯刚度EI越大，曲率越大，梁越不易变形。

（）

5.集中力作用处弯矩图没有变化，集中力偶作用处剪力图没有变化。

（）

6.梁受弯曲作用时，相对于正应力，切应力很小，因此可以不校核切应力强度条件。

（）

第9章应力状态与强度理论

复习要点

1.应力状态

一点的应力状态：

通过一点处的所有各截面上应力的集合。

主平面：

在应力单元体上，切应力等于零的截面。

主应力：

主平面上的正应力。

单向、二向、三向应