平行四边形难题.docx

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平行四边形难题

平行四边形难题1（总8页）

1、如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H

（1）求证：

AG⊥BE；

（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是多少

．

2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：

AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形请说明理由．

正方形ABCD，AE=DF，CF与BD相交于G，连接AG交BE与H，连接DH，求DH的最大值。

正方形ABEO和等腰直角三角形△O,∠DCO=90，具有公共顶点O，M为BD的中点，MN⊥AC，是探究MN与AC的数量关系，并说明理由：

1.如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,BE=EC,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,连接DE交AB于点F,试探究线段DF与EF的数量关系,并加以证明.

2.如图2-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,

（1）将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°,得到Rt△AC'B',直线BB'交直线CC'于点D,连接AD.

探究：

AD与BB'之间的关系,并说明理由.

（2）如图2-2,若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度,其他条件不变,还有

（1）的结论吗为什么？

3.在△ABC与△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,BC=DE,AC=BE,分别是的中点,连接MN交CE于点K

（1）如图3-1,当共线,AB=2BC时,探究CK与EK之间的数量关系,并证明；

（2）如图3-2,当不共线,AB≠2BC时,

（1）中的结论是否成立,若成立,请证明；若不成立,请说明理由；

（3）将题目中的条件“∠ABC=∠BDE=90°,BC=DE,AC=BE”都去掉,再添加一个条件,写出一个类似的对一般三角形都成立的问题（画出图形,写出已知和结论,不用证明）

4.已知：

如图4,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,连接BD

操作：

画出△ABD绕点D顺时针旋转90°后的图形△A'B'D'.若点分别是AD,A'D的中点,直线MN交线段B'C于点O.

探究：

点O是否是线段B'C的中点,并证明你的结论.

5.如图,△ABO与△CDO均为等腰三角形,且∠BAO=∠DCO=90°,M为BD的中点,MN⊥AC,试探究MN与AC的数量关系,并说明理由.

阿若0096 2014-11-01

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1:

本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质,等边三角形的性质得到一些隐含的条件,然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．

证明和猜想如下（若是看不懂抄上就对.

（1）DF=EF．

（2）猜想：

DF=FE．

证明：

过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90度．

∵DA=DB,∠ADB=60度．

∴AG=BG,△DBA是等边三角形．

∴DB=BA．

∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,

∴AC= 1/2AB=BG．

∴△DBG≌△BAC．

∴DG=BC．

∵BE=EC,∠BEC=60°,

∴△EBC是等边三角形．

∴BC=BE,∠CBE=60度．

∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．

∵∠DFG=∠EFB,∠DGF=∠EBF,

∴△DFG≌△EFB．

∴DF=EF．

（3）猜想：

DF=FE．

证法一：

过点D作DH⊥AB于H,连接HC,HE,HE交CB于K,则∠DHB=90度．

∵DA=DB,

∴AH=BH,∠1=∠HDB．

∵∠ACB=90°,

∴HC=HB．

∵EB=EC,HE=HE,

∴△HBE≌△HCE．

∴∠2=∠3,∠4=∠BEH．

∴HK⊥BC．

∴∠BKE=90°．

∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,

∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．

∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°,

∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°．

∴DB∥HE,DH∥BE．

∴四边形DHEB是平行四边形．

∴DF=EF．

证法二：

分别过点D、E作DH⊥AB于H,EK⊥BC于K,连接HK,则

∠DHB=∠EKB=90度．

∵∠ACB=90°,

∴EK∥AC．

∵DA=DB,EB=EC,

∴AH=BH,∠1=∠HDB,

CK=BK,∠2=∠BEK．

∴HK∥AC．

∴点H、K、E在同一条直线上．

下同证法一．

2:

（1）.作B'G‖BC,交CD延长线于G.则B'G⊥B'C'.

∵AC⊥AC',AC=AC'

∴∠ACC'=∠AC'C=45°,∠B'C'G=180°-90°-45°=45°,

又B'G⊥B'C',

∴∠B'GC'=45°,∠B'GC'=∠B'C'G,B'G=B'C'=BC,

所以在△B'DG和△BCD中,

因作B'G‖BC,∠B'GD=∠BCD,∠B'DG=∠BDC,B'G=BC,

因此△B'DG≌△BCD,B'D=BD,

又因∠CAB+∠C'AB=90°,

所以∠B'AC'+∠C'AD=90°,

所以△AB'B为等腰RT△,

又D为斜边BB'中点,

AD=1/2BB'.

（2）若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度,其他条件不变,得不出

（1）的结论

因为△ABB'不是RT△,所以中线AD≠1/2BB'.

3：

（1）CK=EK；

证明：

∵BC=DE,AC=BE,∠ABC=∠BDE=90°,

∴△ABC≌△BDE,

∴AB=BD；（1分）

∵M、N分别为AB、BD中点,AB=2BC,

∴BM=AM=BC=1/2AB=1/2BD=DN=BN,

∴∠BMN=∠BNM=∠DNE=∠BMC=45°,

∴∠CMN=∠MNE=90°,

连接CM、EN,

则△BCM≌△DEN,

∴CM=NE,又∠CKM=∠EKN,

∴△CMK≌△ENK,

∴CK=EK；

（2）CK=EK；

过C、E分别作直线MK的垂线段,垂足分别为P、Q,

由

（1）知△ABC≌△BDE,△BCM≌△DEN,

∴BM=BN,CM=NE,∠DNE=∠CMB,

∴∠BNM=∠BMN,

∴180°-∠BNM-∠DNE=180°-∠BMN-∠CMB,

即∠CMP=∠ENQ,

又∵∠CPM=∠NQE=90°,CM=EN,

∴△CMP≌△ENQ,

∴PC=QE,

∵∠CPQ=∠EQP=90°,∠EKQ=∠CKP,

∴△CPK≌△EQK,

∴CK=KE；

（3）如图,△ABC≌△BDE,M、N分别为AB、DB中点,直线MN交CE于K．

结论：

CK=EK．

4：

过D点作BD的垂线,在垂线上截取B'D=BD

过D点作C'D垂直于CD,使C'D=CD

连接B'C'

三角形DB'C'就是所求作的三角形

5：

连结AM、MC,延长AM到点F,使AM=MF,

连结CF、DF,延长AO与DF交于点G.

因为M为BD的中点,

所以AM=MFAM=MF,BM=DM,∠AMB=∠DMC.

所以△ABM=△DMF,

所以∠ABM=∠MDF,AB=DF.

又∵△ABO与△CDO均为等腰三角形,且∠BAO=∠DCO=90°,

所以AB=AO,CO=CD.

所以AO=DF.

因为∠ABM=∠MDF,

所以AB∥DF,

所以∠G=∠ADC=90°

所以∠CDF=180°-∠COG=∠AOC.∠CDF=∠AOC,CO=CD,AO=DF.

所以△AOC=△CFD.（SAS）

所以∠ACO=∠DCF,AC=CF.

所以AM=CM,AM与CM垂直.

所以△AMC是等腰直角三角形,

又∵MN⊥AC,

∴2NM=AC（等腰三角形三线合一）我找不到你的图所以上网上看了看原图.这是一套新试题11年.11月左右发的.答案自己做的,与网上那些已知的对比了一下还可以.希望对你有帮助   图看不清楚的话给我追问,给我邮箱我给你发大图