二阶线性微分方程及其解法.docx
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二阶线性微分方程及其解法
n阶微分方程的一般形式为：
F（x,y,y',y",L,y（n））0，
一般情况下，求n阶微分方程的解是困难的.作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.
一、二阶线性微分方程解的结构
如果二阶微分方程y''F（x,y,y'）的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性
微分方程.二阶线性微分方程的一般形式为
y''p（x）y'q（x）yf（x）.（）
如果f（x）0，则方程（）成为
y''p（x）y'q（x）y0.（）
方程（）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（）称为二阶非齐次线性微分方程.
定理齐次线性微分方程解的叠加性定理•设y1和y2是二阶齐次线性微分方程（）的两个解，则
yc1y1c2y2
也是微分方程（）的解，其中c1,c2为任意常数•
证：
将yqyiC2『2代入方程（）的左端，可得
（c1y1c2y2）''p（x）（c1y1c2y2）'q（x）（c1y1c2y2）
（C1y1''C2y2''）p（x）（C1y1'C2y2'）q（x）（C1y1C2y2）
=C1（y1''p（x）y1'q（x）y1）C2（y2''p（x）y2'q（x）y2）
=0，
所以，yc1y1c2y2也是微分方程（）的解•口
定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加•如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解yi和y，很容易得到含有任意常数Ci,C2的解，yciyi5^2.如果解yi和y有一定
关系，那么，解yCiyiC2『2中的任意常数Ci,C2可以合并成一个任意常数•因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解•那么，二阶齐次线性微分方程
通解呢？
为此，引入线性相关和线性无关的概念
定义设函数yi和y2是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数
C1,C2，使
cyC2y20
在区间上恒成立，则称函数y1和y2在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.
确定两个函数y1和y2在区间上是否线性相关的简易方法为：
看这两个函数之比0是
y2
否为常数.如果业等于常数，则yi与y线性相关；如果上等于函数，则yi与y线性无y2y2
关.例如,匹3,则yi与y2线性相关.出x,则yi与y线性无关•
y2y2
定理二阶齐次线性微分方程的通解结构定理•如果yi和y2是二阶齐次线性微分方程（）
的两个线性无关的特解，则
yciyiC2y2
是微分方程（）的通解，其中ci,c2为任意常数•
例如，yiex,y22ex,yaexy°2ex都是二阶齐次线性微分方程yi0
的解
Ci,C2是任意常数，则下列哪些选项表示微分方程
y
i0的通解：
A.
ciyiC2y2B.ciyi
C2y4
C.
Ciyi
C2D.
Ciya
C2y4
E.
ciyiyaf.yi
ciy4
G.
Ci（yi
y2）
C2W3
y4）
由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理，可知：
选项B,G为该方程的通解•本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程•
定理非齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y*是二阶非齐次线性微分方程（）的
一个特解，Y是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则
yYy*
是二阶非齐次线性微分方程（）的通解•
证：
将yYy*代入方程（）的左端，可得
（Yy*）''P（X）（Yy*）'q（x）（Yy*）
（Y''y*''）p（x）（Y'y*'）q（x）（Yy*）
=（Y''p（x）Y'q（x）Y）（y*''p（x）y*'q（x）y*）
=f（x），
所以，yYy*是微分方程（）的解，又Y是二阶齐次线性微分方程（）的通解，它含
有两个任意常数，即解中yYy*含有两个任意常数，因此yYy*是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.□
上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础.根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：
（1）求对应的二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解y1和y2，构成对应的
二阶齐次线性微分方程的余函数Yc1y1c2y2；
（2）求二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解y*；则，二阶非齐次线性微分方程（）
的通解为yYy*.
上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解.
二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
y''py'qy0.（）
其中p，q为常数•根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只要求出
该方程的任意的两个线性无关的特解y1和y2即可•注意到方程（）的系数是常数，可以设
之间只相差一个常数，该函数就可能是方
想如果能找到一个函数y，其导数y''，y'和y
程（）的特解.而基本初等函数中的指数函数
恰好具有这个性质
.因此，设方程（）
的解为y
，其中为待定常数，将y
x
、y
ex和y"2e
x
x代入微分方程（），
则有
q）ex0，即
q0
我们称方程（）
为二阶常系数齐次线性微分方程
）的特征方程，而称F（）2pq
为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征多项式，特征方程的根
1,2
P.P24q
"2
称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征根•
因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（）的通解.
2
（1）当p4q0时，特征方程有两个相异的实根i和2，因此，微分方程有两个特
解yieix,y2e2X由于上e（12）x，所以yi,y线性无关•故二阶常系数齐次线性微
y2
分方程（）的通解为
yc1eixc2e2X（g,c2为任意常数）（）
（2）当p24q0时，特征方程有重根12，因此，微分方程只有一个特解
XX
y1e.设yh（x）y1h（x）e是微分方程（）另一个特解，求导
得：
y\h'（x）eXh（x）eX，y=h"（x）ex2h'（x）ex2h（x）ex.将
2P
y2,y'2,y"2代入微分方程（），注意到方程pq0和，化简后得：
2
h"（x）0.满足这个条件的函数无穷多，取最简单的一个h（x）x，则微分方程（）另一
个特解为y2xex，且y1,y线性无关•故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为
（3）
其中
因为
y
y2
x
y（C1C2x）e
（C1,C2为任意常数）
（）
2
p4q0时，特征方程有一对共轭复根1
丄也—.因此，微分方程有两个特解
2
y1
e（
）x
y2
e（i）x
e2ix，所以y「y2线性无关.为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式
找两个线性无关的实数解
ix.
由欧拉公式ecosxisinx可得
XX
y1e（cosxisinx）,y2e（cosxisinx）,
根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理，有
1x1X
2（%y2）eXcosx2（y1y?
）exsinx.
xxecosx
ecosx和esinx均为微分方程（）的解•而xcotx.故二阶常系数齐
esinx
次线性微分方程（）的通解为
X
y（CicosxC2sinx）e（为任意常数）•（）
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的
根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶
常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：
例1求方程y"3y'4y
0的通解•
（1）
写出的特征方程；
（2）
求出特征根；
（3）
根据特征根的三种不同情况，分别用公式（）
、（）或（）写出微分方程（）的通解
特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解
解:
特征方程为
2340,
特征根i4，21,所求通解为
yCie
c?
e
（Ci,C2为任意常数）
例2
求方程
y"
2y'y0的通解•
解：
特征方程为
2
2
10,
特征根1
2
1,所求通解为
y
（C1
c2x）ex
（c1,c2为任意常数）
例3
求方程
y"
y'y0的通解•
4x
x
（Cicos空x
2
c?
sinx）e
2
（C1,c2为任意常数）
解：
特征方程为
2,
1
0,
B
f
特征根
1.
1,2i
所求通解为
2
2
例4求方程y"4y'4y0的满足定解条件y（0）1，y'（0）4的特解.
解：
特征方程为
40,
特征根122,所求通解为
y（c1c2x）e2x
对上式求导，得
y'
2x
c2e
2x
2（c1c2x）e,
由定解条件y（0）1，y'（0）4代入：
c11，c22,因此，所求特解为
2x
y（12x）e2x.
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
y''py'qyf（x）.（p,q为常数）
由定理可知，如果y*是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分方程的通解为yYy*其中Y为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通
解，可用二中的方法求得•当f（x）为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐
次线性微分方程一个特解y*，代入公式（）即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解•现
就f（x）为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解y*的方法.
1、当f（x）m（x）ex，其中为常数，m（x）为m次多项式：
m（x）b0xmb1xm1bm1xbm，m0.
因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程（）的一个特解为
y*z（x）ex，z（x）xkm（x）
其中m（x）为m次待定多项式.
2例如,0（x）3,则设0（x）B0;1（x）x,1（x）B0xB1;2（x）x21,则设
2（x）Box2BiXB2.以y*"[z"（x）2z'（x）2z（x）]ex，代入微分方程（），整
理后可得待定系数平衡公式
（2pq）z（x）（2p）z'（x）z''（x）m（x）
或
F（）z（x）F'（）z'（x）z''（x）m（x）.（）
由此，通过比较两端
x的同次幂的系数确定待定多项式
k
z（x）xkm（x）中的待定系数.因
为特征方程的根不同，
z（x）的次数也不同，分别讨论之
1）当F（）
2pq0，即不是特征方程的根时，
要使平衡公式（）的两端
恒等，z（x）与
m（x）应为同次多项式，即
z（x）
x0m（x）B0xm
B1xm1
Bm1xBm
代入平衡公式（）
，比较等式两端
x的同次幂的系数，可得含有待定系数
B0,B1,,Bm的
m1个联立方程：
（2p
（2p
q）B0
q）B1
b0,
2（p）mB0b1,
确定
Bi（i0,1,2,
m），就可以确定待定多项式z（x），得到微分方程（
）的一个特解
y*
xz（x）e.
（2）
当F（）
2
p
q0，即是特征方程的单根时，F'（）
0.要使平衡公式
（）
的两端恒等，
z'（x）与
m（x）为同次多项式，设
z（x）
xm（x）
x（B0xmB1xm1Bm1xBm）.
用与
（1）同样的方法，就可以确定z（x），得到微分方程（）的一个特解
y*z（x）ex.
（3）
当F（）
2
p
q0，F'（）2p0，即是特征方程的重根时，要
使平衡公式（）的两端恒等，
z''（x）与m（x）为同次多项式，设
z（x）x2m（x）
x2（B0xmB1xm1Bm1xBm）.
用与
（1）同样的方法，就可以确定z（x），得到微分方程（）的一个特解y*z（x）e
上述讨论可归纳如下：
当f（x）m（x）ex，其中常数，m次多项式m（x）已知，微分方程的特解形式为
y*z（x）exxkm（x）ex，即z（x）xkm（x），
其中：
m（x）与m（x）为同次多项式；k0,1,2，分别根据不是特征方程的根、是特征
方程的单根或是特征方程的重根而确定
i.设微
2、当f（x）ex（acosxbsinx），其中a,b,,为常数时，可得复数
分方程的特解形式为
y*xk（A1cosxA2sinx）ex，
其中：
A?
为待定常数；k0,1,分别根据
i不是特征方程的根或是特征方程的一
对共轭复根而确定•以y*,y*',y*"代入原方程，比较同类项的系数，解得a1,a2.
例5求方程y"y'y
（7x2）e2x的通解.
分析：
所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为yYy*其中Y为余函
数，2,，1（x）7x2可用待定系数平衡公式确定
设y*z（x）e2x,z（x）
BoxB.根据待定系数平衡公式
F
（2）z（x）F
（2）z（x）
z（x）7（BoXB）5Bq
其特征根为
13i
，余函数为
1,2
2
Y
（C1
3cos-x
2
3-x
c2sinx）e
2
c1,c2为任意常数
特征多项式为
F（
）
2
1，且F（）21,
解：
特征方程为
2
10,
2不是特征方程的根
7B°x（5Bq7Bi）
7x2.
比较系数，7Bq7,5Bq7Bi2,得Bq1,Bi1,即y（x1）e2x.
所求通解为
1
33A
（C|cosxc2sinx）e2+（x
22
1）e2x
（G,c2为任意常数）
例6求方程y"2y'yx2的通解.
分析：
x2
解：
特征方程为
10,
其特征根为仁1，余函数为
x
Y（&C2X）eC1,C2为任意常数
特征多项式为
F（）221，且F'（）2
（1）
0不是特征方程的根,
22
2（x）x为二次多项式，故设y*z（x）BoxB1XB2，
根据待定系数平衡公式得
F（0）（B0x2B1xB2）
B°x2（4B0BJx
F'（0）（2B0xB1）2B2
（2B02B1B2）
2
x,
比较等式两端x同次幕的系数，可得
B。
1,
4B0B1
0,
2B0
2B1B20,
解得B00,B1
4,B26,
即y*
2x
4x6.
所求通解为
y（g
c2x）exx2
4x
6
（c1,c2为任意常数）
例7求方程y"2
Iy
3y
16xex通解.
解：
特征方程为
22
3
0,
其特征根为11,
2
2
，余函数为
Yc1ex
c
2x
>e
c1,c2为任意常数
特征多项式为
F（）
23，且F'（）2
（1）
1是特征方程的单根，1（x）16x为一次多项式，故设y*x（BoXB1）ex，即
z（x）x（B°xBi），根据待定系数平衡公式得
F
（1）z（x）F（i）z（x）z（x）4（2B°xBJ2Bo
8B0x（2B04BJ
16x,
比较系数，8Bo16,2Bo
x
4B10,得Bo2,B11,yx（2x1）e.
所求通解为
x3x
yc1ec2e
x
x（2x1）e,（C1,C2为任意常数）.
例8求方程y"
4y'
4y
e2x的通解.
解：
特征方程为
其特征根为
0,
2，余函数为
（Ci
c2x）e
2x
c1,C2为任意常数•
特征多项式为
F（
4，且
F'（）24
2是特征方程的重根,
o（x）
1为零次多项式，故设
y*B0x2e
2x，即z（x）Box2.
根据待定系数平衡公式得
F（
2）z（x）F（
2）z（x）
z（x）2Boi,Bo
1
2'
y*
122x
—xe
2
所求通解为
1
（C|qxx
2
2、2x
）e
（C1,c2为任意常数）.
例9求方程
y"4y2cos2x的通解.
y*其中Y为余函
分析：
所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为yY
数，可用节二中的方法求得：
y*为一个特解，可用待定系数法确定
解：
特征方程为
40,
其特征根为仁2i，余函数为
Yc1cos2xc2sin2x,c1,c2为任意常数.
因为f（x）2cos2x,0,2,2i是特征方程的一对共轭复根.设微分方程的特解
为
y*x（A1cos2xA?
sin2x），Ai,A2为待定常数.
y*'A1cos2xA2sin2x2x（A2cos2xA1sin2x），
y*"4A1sin2x4A2cos2x4x（A1cos2xA2sin2x）,
代入方程y"4y2cos2x，可得
4A2cos2x4A1sin2x2cos2x，
比较等式两端
sin2x,cos2x项的系数，得
0,A22，
2
特解为
y*
1xsin2x.
2
所求通解为
1
c1cos2xc2sin2xxsin2x
2
（G,C2为任意常数）.
例10求方程y"y'
2x8
2ye2x满足定解条件y（0）0,y'（0）§的特解.
解：
特征方程为
0,
其特征根为
1,2
2，余函数为
x
c〔e
2x
C2e
C1,C2为任意常数.
特征多项式为
F（
2，且F'（）21
2是特征方程的单根，0（x）1为零次多项式，故设微分方程的特解为
2x
y*B°xe，即z（x）B°x.根据待定系数平衡公式得
F
（2）z（x）F
（2）z（x）z（x）3B。
1,B。
1,
y*
3
xe，
所求通解为
y
x
Ge
2x
C2e
12x
xei
3
y'
x
C1e
2x12x
2c2exe
3
由定解条件
y（0）
0,y'（0）
8
-代入可得:
3
C1
C2
0，C1
2C23,
所以，特解为
22X
xe,
3
12x
联立求解得
（Ci,C2为任意常数）.
Ci1,C21,
所以，方程满足定解条件的特解为
x2x12x
yeexe
3
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