直线和圆基础习题和经典习题加答案.docx

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直线和圆基础习题和经典习题加答案

【知识网络】

综合复习和应用直线xx的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力．

【典型例题】

[例1]

（1）直线x＋y=1与圆x2＋y2－2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）

A．（0，－1）B．（－1，＋1）

C．（－－1，－1）D．（0，＋1

（2）圆（x－1）2＋（y＋）2=1的切线方程中有一个是（）

A．x－y=0B．x＋y=．x=0D．y=0

（3）“a=b”是“直线”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

（4）已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为．

（5）过点（1，）的直线l将圆（x－2）2＋y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．

[例2]设圆上点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2，求圆的方程．

[例3]已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：

x2＋y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

[例4]已知与曲线C：

x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l叫x轴，y轴于A，B两点，|OA|=a,|OB|=b（a＞2,b＞2）．

（1）求证：

（a－2）（b－2）=2；

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）求△AOB面积的最小值．

【课内练习】

1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋=0相切的直线的方程为（）

A．y=－3x或y=xB．y=3x或y=－x

C．y=－3x或y=－xD．y=3x或y=x

2．圆（x－2）2＋y2=5关于原点（0,0）对称的圆的方程为（）

A．（x＋2）2＋y2=5B．x2＋（y－2）2=5

C．（x－2）2＋（y－2）2=5D．x2＋（y＋2）2=5

3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称

4．直线l1：

y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：

y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）

A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）

5．若直线y=kx＋2与圆（x－2）2＋（y－3）2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．

6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：

x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则　＝.

7．直线l1：

y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．

8．求直线l1：

x＋y－4=0关于直线l：

4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．

9．已知圆C：

x2＋y2＋2x－4y＋3=0

（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；

（2）从圆C外一点P（x1,y1）xx一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

0．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,

2．

（1）若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线x＋y=mxx，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．

1．5直线与圆的综合应用

A组

1．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2＋y2=2相切，则a的值为（）

A．±B．±．±2D．±4

2．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为

A．－3或7B．－2或C．0或10D．1或11

3．从原点向圆x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）

A．πB．2πC．4πD．6π

4．若三点A（2，2），B（a,0），C（0，b）（a，b均不为0）共线，则的值等于．

5．设直线ax－y＋3=0与圆（x－1）2＋（y－2）2=4有两个不同的交点A，B，且弦AB的长为2，则a等于．

6．光线经过点A（1，），经直线l：

x＋y＋1=0反射，反射线经过点B（1，1）．

（1）求入射线所在的方程；

（2）求反射点的坐标．

7．在△ABCxx，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．

8．过圆O：

x2＋y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线l，M为lxx任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，当点M在直线lxx移动时，求△MAQ垂心H的轨迹方程．

B组

1．已知两定点A（－2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）

A．πB．4πC．8πD．9π

2．和x轴相切，且与圆x2＋y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是（）

A．x2=2y＋1B．x2=－2y＋．x2=2y－1D．x2=2|y|＋1

3．设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）

A．20　B．19C．18D．16

4．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是.

5．已知圆M：

（x＋cosθ）2＋（y－sinθ）2=1，直线l：

y=kx，下面四个命题

A．对任意实数k和θ，直线l和圆M都相切；

B．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；

C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；

D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切．

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．

6．已知点A，B的坐标为（－3，0），（3，0），C为线段AB上的任意一点，P，Q是分别以AC，BC为直径的两圆O1，O2的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程．

7．已知△ABC的顶点A（－1，－4），且∠B和∠C的平分线分别为lBT：

y＋1=0,lCK:

x＋y＋1=0,求BC边所在直线的方程．

8．设a,b,c,都是整数，过圆x2＋y2=（＋1）2外一点P（b3－b,c3－c）xx两条切线，试证明：

过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．

1．5直线与圆的综合应用

【典型例题】

例1

（1）A．提示：

用点到直线的距离公式．

（2）C．提示：

依据圆心和半径判断．

（3）A．提示：

将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系．

（4）－18

8．提示：

用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．

（5）．提示：

过圆心（2，0）与点（1，）的直线m的斜率是－，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l与直线m垂直．

2、设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2=r2,点A（2，3）关于直线x＋2y=0的对称点仍在圆xx，说明圆心在直线x＋2y=0xx，a＋2b=0，又（2－a）2＋（3－b）2=r2,而圆与直线x－y＋1=0相交的弦长为2，，故r2－（）2=2,依据xx述方程解得：

或

∴所求圆的方程为（x－6）2＋（y＋3）2=52，或（x－14）2＋（y＋7）2

224．

3、设切点为N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M（x,y）,则，整理得（λ2－1）（x2＋y2）－4λx＋（1＋4λ2）=0

当λ=1时，表示直线x=；

当λ≠1时，方程化为，它表示圆心在，半径为的一个圆．

4、

（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；

（2）设AB中点M（x,y）,则a=2x,b=2y,代入（a－2）（b－2）=2，得（x－1）（y－1）=（x＞1,y＞1）；

（3）由（a－2）（b－2）=2得ab＋2=2（a＋b）≥4,解得≥2＋（≤2－不合，舍去），当且仅当a=b时，ab取最小值6＋4，△AOB面积的最小值是3

2．

【课内练习】

1．A．提示：

依据圆心到直线的距离求直线的斜率．

2．D．提示：

求圆心关于原点的对称点．

3．C.提示：

画xx看，或考虑有关字母替代规律．

4．A．提示：

圆心在直线l2xx．

5．0＜k＜．提示：

直接用点到直线的距离公式或用△法．

6．．提示：

求弦所对圆心角．

7．2x＋y－10

0．提示：

所求直线上任意一点（x,y）关于（2，3）的对称点（4－x,6－y）在已知直线上．

8．2x＋11y＋16

0．提示：

求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l的对称点，用两点式写l2的方程；或直接设l2xx的任意一点，求其关于l的对称点，对称点在直线l1xx．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．

9．

（1）提示：

∵切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是

1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：

x＋y－3=0,x＋y＋1=0,x－y＋5=0,x－y＋1

0．

（2）将圆的方程化成标准式（x＋1）2＋（y－2）2=2，圆心C（－1，2），半径r=，

∵切线PM与CM垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，

又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x1－4y1＋3

0．

|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即．

从而解方程组，得满足条件的点P坐标为（－，）．

0．

（1）由题意设P（x0,y0）在圆外,切线l：

y－y0=k（x－x0），，

∴（x02－10）k2－2x0·y0k＋y02－10=0

由k1＋k2＋k1k2=－1得点P的轨迹方程是x＋y±2

0．

（2）∵P（x0,y0）在直线x＋y=mxx，∴y0=m－x0,又PA⊥PB，∴k1k2=－1,,即：

x02＋y02=20,将y0=m－x0代入化简得,2x02－2mx0＋m2－20=0

∵△≥0,∴－2≤m≤2,又∵x02＋y02＞10恒成立，∴m＞2,或m＜－2

∴m的取值范围是[－2，－2]∪（2，2]

1．5直线与圆的综合应用

A组

1．B．提示：

用点到直线的距离公式或用△法．

2．A．提示：

先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式．

3．B．提示：

考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．

4．．提示：

由三点共线得两两连线斜率相等，＋2b=ab，两边同除以ab即可．

5

0．提示：

依据半径、弦长、弦心距的关系求解．

6．

（1）入射线所在直线的方程是：

5x－4y＋2=0；

（2）反射点（－，－）．提示：

用入射角等于反射角原理．

7．点A既在BC边上的高所在的直线上，又在∠A的平分线所在直线上，由

得A（－1，0）

∴kAB=1

又∠A的平分线所在直线方程为y=0

∴kAC=－1

∴AC边所在的直线方程为y=－（x＋1）①

又kBC=－2,

∴BC边所在的直线方程为y－2=－2（x－1）②

①②联列得C的坐标为（5，－6）

8．设所求轨迹上的任意一点H（x,y），圆上的切点Q（x0,y0）

∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH为菱形．

∴x0=x,y0=y

2．

∵点Q（x0,y0）在圆上，x02＋y02=4

∴H点的轨迹方程是：

x2＋（y－2）2=4（x≠0）．

B组

1．B．提示：

直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．

2．D．提示：

设圆心（x,y），则

3．C．提示：

考虑斜率不相等的情况．

4．．提示：

弦的垂直平分线过圆心．

5．B，D．提示：

圆心到直线的距离=|sin（θ＋）|

1．

6．作MC⊥AB交PQ于M，则MC是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M为PQ的中点．设M（x,y）,则点C，O1，O2的坐标分别为（x,0）,（,0）,（,0）

xxO，O，由平面几何知识知∠O1MO2=90°．

∴|O|2＋|O|2=|O1O2|2，代入坐标化简得：

x2＋4y2=9（－3＜x＜3）

7．∵BT,CK分别是∠B和∠C的平分线，∴点A关于BT,CK的对称点A′，A″必在BC所在直线上，所以BC的方程是x＋2y－3

0．

8．线段OP的中点坐标为（（b3－b）,（c3－c））,以OP为直径的圆的方程是[x－（b3－b）]2＋[y－（c3－c）]2=[（b3－b）]2＋[（c3－c）]2……①

将x2＋y2=（＋1）2代入①得：

（b3－b）x＋（c3－c）y=（＋1）2

这就是过两切点的切线方程．

因b3－b=b（b＋1）（b－1），它为三个连续整数的乘积，显然能被整除．

同理，c3－c也能被3整除．

于是（＋1）2要能被3整除，＋1要能被3整除，因a是整数，故这是不可能的．

从而原命题得证．