行程问题解题技巧精编版.docx

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行程问题解题技巧精编版

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（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-9018）

行程问题解题技巧

行程问题解题技巧

行程问题

在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。

此类问题一般分为四类：

一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。

行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。

相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。

相遇问题

两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。

这类问题即为相遇问题。

相遇问题的模型为：

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：

A，B两地的路程＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间

基本公式有：

两地距离=速度和×相遇时间

相遇时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相遇时间

二次相遇问题的模型为：

甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

则有：

第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

相遇问题的核心是“速度和”问题。

利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。

相离问题

两个运动着的动体，从同一地点相背而行。

若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。

它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。

解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。

基本公式有：

两地距离=速度和×相离时间相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间

相遇（相离）问题的基本数量关系：

速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程

在相遇（相离）问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。

追及问题

两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。

慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。

有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。

解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

基本公式有：

追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间

速度差×追及时间=追及（或领先）的路程

追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差

要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。

如：

运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。

常用公式：

行程问题基本恒等关系式：

速度×时间=路程，即S=vt.

行程问题基本比例关系式：

路程一定的情况下，速度和时间成反比；

时间一定的情况下，路程和速度成正比；

速度一定的情况下，路程和时间成正比。

相遇追及问题中符号法则：

相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。

流水行船问题中符号法则：

促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。

行程问题常用比例关系式：

路程比=速度比×时间比，即S1/S2=v1/v2×t1/t2

电梯运行规律：

能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×顺电梯运动所需时间

能看到的电梯级数=（人速—电梯速度）×逆电梯运动所需时间

2v1v2

往返运动问题核心公式：

往返平均速度=-------（其中v1和v2分别表示往返的速度）

v1+v2

3S1+S2

两次相遇问题核心公式：

单岸型S=-------；两岸型S=3S1-S2（S表示两岸的距离）

2

相向而行：

相遇时间=距离÷速度之和

相背而行：

相背距离=速度之和×时间

注意：

同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。

在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。

环形运动的追击问题和相遇问题：

若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈；若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。

解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。

对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。

分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。

理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。

（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的

At+bt=st=s/a+bS甲=a*t=a*s/a+bS乙=b*t=b*s/a+b

封闭路线中的行程问题

解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。

封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。

在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。

直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。

每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。

流水行船问题

顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。

解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。

已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。

解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：

船速：

在静水中的速度

水速：

河流中水流动的速度

顺水船速：

船在顺水航行时的速度

逆水速度：

船在逆水航行时的速度

船速+水速=顺水船速

船速－水速=逆水船速

（顺水船速+逆水船速）÷2=船速

（顺水船速－逆水船速）÷2=水速

顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速×2

过桥问题

一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。

解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。

基本公式有：

桥长+车长=路程

平均速度×过桥时间=路程

过桥时间=路程÷平均速度

解行程问题的方法

已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。

解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。

行程问题的基本数量关系是：

速度×时间=路程

路程÷速度=时间

路程÷时间=速度

行程问题常见的类型是：

相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。

（一）相遇问题

两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。

它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。

相遇问题根据数量关系可分成三种类型：

求路程，求相遇时间，求速度。

它们的基本关系式如下：

总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

1.求路程

（1）求两地间的距离

例1两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。

甲乙两地相距多少千米（适于五年级程度）

解：

两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。

一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。

两车行驶路程之和，就是两地距离。

56×4=224（千米）

63×4=252（千米）

224+252=476（千米）

综合算式：

56×4+63×4

=224+252

=476（千米）

答略。

例2两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。

5小时后，两列火车相距多少千米（适于五年级程度）

解：

此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。

480-（40+42）×5

=480-82×5

=480-410

=70（千米）

答：

5小时后两列火车相距70千米。

奥数行程问题解题方法

例3甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。

二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。

从开始走到第二次相遇，共用了6小时。

A、B两地相距多少千米（

适于五年级程度）

解：

从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一个AB之长；而到第二次相遇，两人走的路程总共就是3个AB之长（图35-1），这三个AB之长是：

（5+4）×6=54（千米）

所以，A、B两地相距的路程是：

54÷3=18（千米）

答略。

例4两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。

两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。

求甲、乙两地间的距离。

（适于五年级程度）

解：

两车相遇时，两车的路程差是20千米。

出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。

由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。

（60+55）×[20÷（60-55）]

=115×[20÷5]

=460（千米）

答略。

*例5甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。

求A、B两地之间的距离。

（适于五年级程度）

解：

由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了1.5×2千米（图35-2），甲比乙每小时多行（6-5）千米。

由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出A、B两地之间的距离。

（6+5）×[1.5×2÷（6-5）]

=11×[1.5×2÷1]

=11×3

=33（千米）

答略。

由两车“在离中点2千米处相遇”可知，甲车比乙车少行：

2×2=4（千米）

所以，乙车行的路程是：

甲车行的路程是：

A、B两站间的距离是：

24+20=44（千米）

答略。

同普通客车相遇。

甲、乙两城间相距多少千米（适于六年级程度）

快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。

已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行80千米，可以求出两车速度之和。

又已知两车相遇时间，可以按“速度之和×相遇时间”，求出两车相对而行的总行程。

普通客车已行驶

普通客车与快车速度之和是：

60+80=140（千米/小时）

两车相对而行的总路程是：

140×4=560（千米）

两车所行的总路程占全程的比率是：

甲、乙两城之间相距为：

综合算式：

答略。

2）求各行多少

例1两地相距37.5千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。

相遇时甲、乙二人各走了多少千米（

适于五年级程度）

解：

到甲、乙二人相遇时所用的时间是：

37.5÷（3.5+4）=5（小时）

甲行的路程是：

3.5×5=17.5（千米）

乙行的路程是：

4×5=20（千米）

答略。

例2甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。

相遇后他们又都走了1小时。

两人各走了多少千米（

适于五年级程度）

解：

到甲、乙二人相遇所用的时间是：

40÷（4+6）=4（小时）

由于他们又都走了1小时，因此两人都走了：

4+1=5（小时）

甲走的路程是：

4×5=20（千米）

乙走的路程是：

6×5=30（千米）

答略。

例3两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行48.65千米，第二列火车每小时行47.35千米。

在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。

到相遇时两列火车各行了多少千米（

适于五年级程度）

解：

两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。

可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。

从出发到相遇所用时间是：

5.2÷（48.65-47.35）

=5.2÷1.3

=4（小时）

第一列火车行驶的路程是：

48.65×4=194.6（千米）

第二列火车行驶的路程是：

47.35×4=189.4（千米）

答略。

*例4东、西两车站相距564千米，两列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。

第一列火车比第二列火车每小时快2千米。

相遇时这两列火车各行了多少千米（

适于五年级程度）

解：

两列火车的速度和是：

564÷6=94（千米/小时）

第一列火车每小时行：

（94+2）÷2=48（千米）

第二列火车每小时行：

48-2=46（千米）

相遇时，第一列火车行：

48×6=288（千米）

第二列火车行：

46×6=276（千米）

答略。

2.求相遇时间

例1两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。

两车开了几小时以后相遇（

适于五年级程度）

解：

已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。

用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。

500÷（55+45）

=500÷100

=5（小时）

答略。

例2两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市

答略。

例3在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。

据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。

我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌人每小时前进5千米。

我军出发几小时后与敌人相遇（

适于五年级程度）

解：

此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。

（62.75-11）÷（6.5+5）

=51.75÷11.5

=4.5（小时）

答：

我军出发4.5小时后与敌人相遇。

例4甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。

如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇（

得数保留一位小数）（适于五年级程度）

解：

此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。

先分别求出速度再求和，根据“时间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。

200÷（200÷5+200÷4）

=200÷（40+50）

=200÷90

≈2.2（小时）

答：

两车大约经过2.2小时相遇。

例5在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。

快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒钟6米。

从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟（

适于五年级程度）

解：

因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。

总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。

（180+210）÷（9+6）

=390÷15

=26（秒）

答略。

3.求速度

例1甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。

快车每小时行60千米。

慢车每小时行多少千米（

适于五年级程度）

解：

先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：

550÷5-60

=110-60

=50（千米）

答略。

例2A、B两个城市相距380千米。

客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时相遇。

货车比客车每小时快5千米。

这两列车每小时各行多少千米（

适于五年级程度）

解：

客车每小时行：

（380÷4-5）÷2

=（95-5）÷2

=45（千米）

货车每小时行：

45+5=50（千米）

答略。

例3甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。

快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米（

适于五年级程度）

解：

两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。

从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。

再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。

50-（980÷10-50）

=50-（98-50）

=50-48

=2（千米）

答略。

例4甲、乙两地相距486千米，快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过6小时相遇。

已知快车与慢车的速度比是5∶4。

求快车和慢车每小时各行多少千米（

适于六年级程度）

两车的速度和是：

486÷6=81（千米/小时）

快车每小时行：

慢车每小时行：

答略。

例5两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。

一辆汽车每小时行37千米。

另一辆汽车每小时行多少千米（

适于五年级程度）

解：

如果两地间的距离减少120千米，4.5小时两车正好相遇。

也就是两车4.5小时行465-120=345千米，345千米除以4.5小时，可以求出两车速度之和。

从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。

答略。

例6甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。

甲步行，每小时走5千米，先出发0.8小时。

乙骑自行车，骑2小时后，两人在某地相遇。

乙骑自行车每小时行多少千米（

适于五年级程度）

解：

两人相遇时，甲共走：

0.8+2=2.8（小时）

甲走的路程是：

5×2.8=14（千米）

乙在2小时内行的路程是：

40-14=26（千米）

所以，乙每小时行：

26÷2=13（千米）

综合算式：

[40-5×（0.8+2）]÷2

=[40-5×2.8]÷2

=[40-14]÷2

=26÷2

=13（千米）

答略。

例7甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。

甲先出发，每小时步行5千米。

1小时后乙骑自行车出发，骑了2小时，两人相距11千米。

乙每小时行驶多少千米（

适于五年级程度）

解：

从相距的50千米中，去掉甲在1小时内先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：

50-5-11=34（千米）

这时，原题就改变成“两地相隔34千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。

甲步行，乙骑自行车，甲每小时走5千米。

经过2小时两人相遇。

乙每小时行多少千米？

”

由此可知，二人的速度和是：

34÷2=17（千米/小时）

乙每小时行驶的路程是：

17-5=12（千米）

综合算式：

（50-5-11）÷2-5

=34÷2-5

=17-5

=12（千米）

答略。

（二）追及问题

追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。

由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：

距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

*例1甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。

他们同时向同一个方向前进。

甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。

几小时后乙能追上甲（

适于高年级程度）

解：

求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：

10-5=5（千米）

再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。

9÷5=1.8（小时）

综合算式：

9÷（10-5）

=9÷5

=1.8（小时）

答略。

*例2甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。

乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。

甲几小时才能追上乙（

适于高年级程度）

解：

甲每小时行：

5×1.2=6（千米）

甲每小时能追上乙：

6-5=1（千米）

相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。

6÷1=6（小时）

答：

甲6小时才能追上乙。

*例3甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。

甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。

二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙（

适于高年级程度）

解：

此题的运动路线是环形的。

求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。

因此，甲追上乙的时间是：

400÷（350-250）

=400÷100

=4（分钟）

答略。

*例4在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。

在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。

从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间（

适于高年级程度）

解：

敌我两军行进的速度差是：

8.5-5.5=3（千米/小时）

我军追上敌军用的时间是：

6÷3=2（小时）

从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：

2+0.5=2.5（小时）

综合算式：

60÷（8.5-5.5）+0.5

=6÷3+0.5

=2.5（小时）

答略。

*例5一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。

离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。

通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。

通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍（

适于高年级程度）

解：

通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。

通讯员的速度等于队伍的2倍（10÷5=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷2）千米。

这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。

根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。

（3+3÷2）÷（10-5）

=4.5÷5

=0.9（小时）

答略。

（三）相离问题

相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。

解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。

例1哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走85米，弟弟同时由家往西到学校去上学，每分钟走75米。

几分钟后二人相距960米（

适于四年级程度）

解：

二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。

因此，得：

960÷（85+75）

=960÷160

=6（分钟）

答略。

例2甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。

甲每小时行6千米，乙每小时行7千米。

8小时后，甲、乙二人相距多少千米（

适于四年级程度）

解：

先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。

（6+7）×8

=13×8

=104（千米）

答略。

*例3东、西两镇相距69千米。

张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。

已知张每小时比王多行1.5千米。

二人每小时各行多少千米出发地距东镇有多少千米（适于高年级程度）

解：

由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是（69÷6）千米/小时。

张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。

从而可以分别求出二人的速度。

张每小时行：

（69÷6+1.5）÷2

=（11.5+1.5）