这是一个环状区域。
如果Rx->Rx+，则无公共收敛区域，X（z）无收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的Ｘ（z）值，因此就不存在Z变换的解析式，这种Ｚ变换就没有什么意义。
例3-5x（n）=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。
解这是一个双边序列，其Z变换为
设
若|a|<1，则存在公共收敛域
其序列及收敛域如图3-6所示。
若|a|≥1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数，这种序列如图3-7。
序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。
图3-6双边序列及收敛域图3-7Z变换无收敛域的序列
表3-1几种序列的Z变换
3.2Z变换收敛域的性质:
性质1ROC在Z平面是中心在原点的一个圆环或圆盘,即：
;
性质2当且仅当x[n]的Z变换的ROC包括单位圆时,x[n]的傅立叶变换才绝对收敛.
性质3.ROC内不能包括任何极点.
性质4.若x[n]是一个有限长的序列，那么其收敛域就是整个Z平面，可能在Z=0与Z=
除外。
性质5若x[n]是一个右边序列，那么其收敛域就是从X（z）中的最外面的有限极点向外延伸至（可能包括）Z=
。
性质6若x[n]是一个左边序列，那么其收敛域是从X（z）中的最里面的非0极点向内延伸至（可能包括）Z=0。
性质7若x[n]是一个双边序列，那么可以看成是一个左边序列与一个右边序列的和，其收敛域一定是一个Z平面的环状。
性质8ROC必须是一具连通的区域。
由于序列的Z变换不仅取决于表达式，而且取决于ROC，同X（z）表达式如ROC不同则对应完全不同的序列，见下节。
3．3Z反变换
已知函数X（z）及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，表示为
x（n）=Z-1［X（z）］
Z反变换的一般公式为
若
则
直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上,求Z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。
一般求Z反变换的常用方法有三种：
围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。
（1）围线积分法（留数法）
这是求Z反变换的一种有用的分析方法。
根据留数定理，若函数F（z）=X（z）zn-1在围线c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有
（3-1式）
或
（3-2式）
Res［X（z）zn-1,zk］表示函数F（z）=X（z）zn-1在极点z=zk上的留数。
式（3-1）表示函数F（z）沿围线c反时针方向的积分等于F（z）在围线c内部各极点的留数之和。
式（3-2）说明，函数F（z）沿围线c顺时针方向的积分等于F（z）在围线c外部各极点的留数之和。
由式（3-1）及式（3-2），可得
代入
有：
（3-3式）
（3-4式）
根据具体情况，既可以采用式（3-3），也可以采用式（3-4）。
例如，如果当n大于某一值时，函数X（z）zn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内部极点求留数则较简单。
如果当n小于某一值时，函数X（z）zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选用c外部的极点求留数就方便得多。
现在来讨论如何求X（z）zn-1在任一极点zr处的留数。
设zr是X（z）zn-1的单一（一阶）极点，则有
如果zr是X（z）zn-1的多重极点，如l阶极点，则有
例3-6已知
求Z反变换。
解：
围线c以内包含极点a，如图3-8粗线所示。
当n<0时，在z=0处有一个-n阶极点。
因此
图3-8收敛域|z|>|a|
式中，a是单阶极点
在z=0处有一个-n阶极点（n<0），
因此
即
这个指数因果序列是单阶极点的反变换，这个反变换是很典型的，在以下的部分分式中还要用到这个结果。
实际上，由于收敛域在函数极点以外，并且包括∞点，因此可以知道该序列一定是因果序列。
用留数法计算的结果也证实了这一点。
所以，在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n<0时出现的极点了，因为它们的留数和一定总是零。
在应用留数法时，收敛域是很重要的。
同一个函数X（z），若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。
例如，仍然以上面的函数为例，改变其收敛域，可以看到结果完全不同。
例3-7已知
求Z反变换。
解
这时由于极点a处在围线c以外（见图3-9），所以当n>0时围线c内无极点；而n<0时只在z=0处有一个-n阶极点。
因此
即
例中，在n<0时，也可用围线外极点a的留数来求，
从收敛域在函数极点所在圆以内，就能判断序列是左边序列，计算出来结果也证实了这个结论
图3-9收敛域|z|<|a|
（2）部分分式展开法
在实际应用中，一般X（z）是z的有理分式，可表示成X（z）=P（z）/Q（z），P（z）及Q（z）都是实系数多项式，且没有公因式。
可将X（z）展开成部分分式的形式，然后利用基本Z变换对求各简单分式的Z反变换（注意收敛域），再将各个反变换相加起来，就得到所求的x（n）。
为了看出如何求得部分分式展开，假设X（z）可以表示成z-1的多项式之比，即
为了得到X（z）的部分分式，将上式进一步展开成以下形式:
式中，ck是X（z）的非零零点，dk是X（z）的非零极点。
如果M式中，Ak是常数，k=1,2,…,N。
若X（z）的收敛域为|z|>max［|dk|］，因此上式部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z函数，得
式中，系数Ak可利用留数定理求得
如果M≥N，且除一阶极点外，在z=di处还有s阶极点，则X（z）可展开成
式中，Bn可用长除法求得。
Ak可由式（1-76）求出。
系数Cm由下式得到
或
展开式各项被确定后，再分别求右边各项的Z反变换，则原序列就是各项的反变换序列之和。
例3-8设
试利用部分分式法求Z反变换。
解X（z）有两个极点，d1=2和d2=0.5，收敛域为|z|>2，则X（z）的零极点如图3-10所示。
由收敛域可知x（n）是一个右边序列。
因为极点全部是一阶的，因此X（z）能表示为:
求得系数为:
图3-10例3-8的ROC
因此X（z）为
得:
即:
例3-9在这个例子中要考虑例1-12中给出的X（z）所对应的全部可能序列。
解根据图3-10的零极点图和收敛域性质，X（z）有三种不同的收敛域：
（1）|z|>2,如例3-8,情况1已经证明是一个右边序列。
（2）,情况2对应于一个左边序列。
（3）,情况3则对应于一个双边序列。
因为X（z）的部分分式展开仅决定于X（z）的代数式，所以对所有三种情况都是一样的。
针对X（z）的三种不同的收敛域，
情况1：
情况2：
情况3：
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